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CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Primitivas de una función
Dada una función real de variable real
f
x f x
R R
llamamos primitiva de f (x)a una función F (x)tal que F ′(^ x)=f(x).
Ejemplo
Si
2 f ( x)= 18 x entonces
3 F ( x)= 6 x es una primitiva de f (x) ya que
2 F ′ x = x =f x.
También F ( x)+ C,siendo C cualquier constante, es primitiva de f (x) puesto que
( F (x)+ C)′=F'(x)+C'=F′(x)+ 0 =F′(x)=f(x).
Por lo tanto, una función f (x) llevará asociado un conjunto de funciones
primitivas.
Ejemplo
2 1
3 F 1 x = x + →F′x = x =f x
2 2
3 F 2 x = x + →F′x = x =f x
Integral indefinida
La integral indefinida de una función f (x) es igual al conjunto de primitivas de
dicha función.
f ( )x dx = F x( ) + C , ∀C ∈
R
Propiedades
∫ (^ f^1 (x)+^ f^2 (x))dx=∫f^1 (x)dx+∫f^2 (x)^ dx
∫ k f^ ( )x dx^ =^ k^ ⋅^ ∫ f^ ( )x dx^ ,^ ∀k^ ∈R
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
- Integración inmediata
Lo utilizaremos cuando la función que hemos de integrar sea la derivada de una
función conocida.
C
n
f x f x f x dx
n n
1
Ejemplo: C
x x x x x dx +
3 5 3 4 2
dx Lf x C f x
f x = +
Ejemplo: dx Lx x C x x
x = + + +
∫ (^45 )
4
3
a C La
a f x dx
f x fx
( )^1 ()
Ejemplo: C L
x dx
x x
3 3 5 5
2
e f x dx e C
f x fx
( ) () '( )
Ejemplo: e xdx e xdx e C
x x x
∫ ⋅^ = ∫ ⋅ = +
22 22 22
4
dx arctgf x C f x
f x = +
2
Ejemplo:
dx arctg x C x
dx x
∫ ∫^2
2 2
- Integración por partes
Este método es adecuado cuando el integrando sea el producto de dos funciones,
siendo una de ellas de tipo logarítmico o exponencial. Llamaremos “u” a una de las
funciones y “dv” a la otra.
El método se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones:
Descomposición en suma de fracciones simples
Calculamos las raíces de Q (x)resolviendo la ecuación Q( x)= 0.
- Por cada raíz real simple r aparece un sumando x r
A
- Por cada raíz real múltiple r de multiplicidad h aparecen h sumandos
h
h
x r
A
x r
A
x r
A
x r
A
3
3 2
1 2 −
- Por cada par de raíces complejas simples ( α + βi)y ( α − βi)aparece un
sumando (^22)
x
Mx N .
Las constantes A, A 1 , A 2 , A 3 ,…, M y N se determinan identificando el numerador del
integrando con el numerador que resulta al sumar todas las fracciones simples.
Ejemplo:
dx x x
x
3 2
3
2
2
3 2 2 − +
x x
Ax Bx x C x
x
C
x
B
x
A
x x
x
x x
x
Entonces ha de ser: 2 1 ( 1 ) ( 2 )( 1 ) ( 2 )
2 x + =Ax− +B x+ x− +C x+.
E identificando coeficientes,
1 2 2 ( min )
2
A B C tér osindependie ntes
A B C coeficientedex
A B coeficientedex
⇒ A=− B= C=
C
x x
x C L
x Lx Lx
dx x
dx x
dx x
dx x x
x
−
1 1 /^3
3 2
- Integración por cambio de variable
Cuando la integral no se adapte a ninguno de los métodos anteriores haremos un
cambio de variable (llamando t a una función de la variable x), para transformarla en
otra que sí se adapte. Resuelta la integral, volveremos a la variable inicial.
- Cambio de variable en funciones racionales de :
x e
t
dt
e
dt edx dt dx
e t
x
x
x
Ejemplo:
arctgt C arctg e C
dt t t
dt
t
t dx e
e dx e
e
x
x
x
x
x
2 2 2 2
- Cambio de variable en funciones con raíces de x ( , ,...):
1 / 2 1 / 3 x x
1
1 /
siendom mc m dx m t dt
x t t x
m
m m
=
−
Ejemplo:
5
6 16
5 2
3
1 / 3
1 / 2
3
con mc m dx t dt
x t t x
t dt t
t dx x
x dx x
x
8 6 4 2 2 2
7 5 3 7 / 6 5/ 6 3/ 6 1/ 6 1/ 6
t dt t t t dt dt t t
t t t x x x t arc tg t C x arc tg x C
