1
Exercicis corresponents al Tema 3
1. En (R2,Tu× Tu) considereu S={(x, y)∈R×R:x2+y2= 1}.´
Es Sobert? ´
Es tancat?,
justifiqueu la resposta.
2. (*) Siguen (X, TD) i (Y, TD) espais topol`ogics amb la topologia discreta. Proveu que la topologia
producte, TD× TD, ´es la topologia discreta. Proveu el mateix amb la topologia trivial.
3. Proveu que el producte de dues topologies cofinites no ´es, en general, la topologia cofinita.
4. Siguen (X1,T1)i(X2,T2) espais topol`ogics. Demostreu que si T0
1⊂ T1iT0
2⊂ T2llavors
T0
1× T 0
2⊂ T1× T2.
5. Siguen (X1,T1)i(X2,T2) espais topol`ogics. Proveu que l’aplicaci´o
t: (X1×X2,T1× T2)→(X2×X1,T2× T1)
donada per t(x1, x2) = (x2, x1) ´es un homeomorfisme.
6. Siguen (X1, d) i (X2, d0) espais m`etrics i siga H⊆X1×X2. Proveu que un punt (x1, x2)∈ad(H)
si i nom´es si existeix una successi´o, {x1
n}∞
n=1, de punts de X1i una successi´o, {x2
n}∞
n=1, de punts
de X2tals que, {x1
n}∞
n=1 convergeix a x1en (X1, d), {x2
n}∞
n=1 convergeix a x2en (X2, d0) i a m´es
a m´es (x1
n, x2
n)∈Hper a tot n∈N∗.
7. Siga (X, d) un espai m`etric. Proveu que la dist`ancia
d: (X×X, Td× Td)−→ (R,Tu)
(x, y)7→ d(x, y)
´es cont´ınua. (Ajuda: Feu servir |d(x, y)−d(z, t)| ≤ d(x, z) + d(y , t)).
8. (*) Siga (X, T) un espai. Definim la diagonal com el subconjunt de X×X
4={(x, x)∈X×X:x∈X}.
Demostreu que ´es un obert en (X×X, T × T ) sii T´es la topologia discreta.
9. Siguen (X1,T1)i(X2,T2) espais topol`ogics. Doneu un exemple d’un conjunt S⊂X1×X2que
no siga obert per`o que p1(S)∈ T1ip2(S)∈ T2on p1ip2s´on les corresponents projeccions.
10. Considerem (R,Tu). Proveu que
A={(1
n, n) : n∈N∗}
´es tancat en (R2,Tu) i que p1(A) no ho ´es.
Aix`o demostra que les projeccions, en general, no s´on aplicacions tancades.
