Matem´aticas I: Grupo D, Control 3, Intermedio, Diciembre de 2010
Instrucciones: Este control tiene un total de 5 preguntas y califica sobre 10 puntos. Constituye
el 25 % de su calificaci´on. Entregarlo implica que NO puede figurar como no presentado en la
pr´oxima convocatoria. Conteste a las preguntas en un cuadernillo aparte. Solamente puede
entregar un cuadernillo. No entregue esta hoja de enunciados. La duraci´on es 75 minutos.
1. [3 puntos] Dado el campo escalar f(x, y) = xy, se pide:
(a) [1 punto] representar las curvas de nivel 0, 1, 2, −1 y −2.
(b) [1 punto] representar el gradiente de la funci´on en el punto (1,1).
(c) [1 punto] calcular el plano tangente a la funci´on en el punto anterior.
Soluci´on:
Omitimos la representaci´on, que forma parte de la respuesta. De modo general, la curva de
nivel ces la funci´on y=c
x. Si c > 0, la funci´on es decreciente en todo su dominio, es
positiva y convexa para x > 0 y negativa y c´oncava para x < 0. Adem´as, y=c
xey=−c
x
son una la imagen especular de la otra respecto del eje de abcisas. Las curvas de nivel mas
alejadas del origen indican un mayor valor del campo escalar. La curva de nivel 0 es los ejes
de ordenadas. En el punto (1,1) es ∇f(1,1) = (1,1). La ecuaci´on del plano tangente es
z=f(1,1) + ∇f(1,1) ·(x−1, y −1) = x+y−1.
2. [2 puntos] Dado el campo escalar f(x, y) = 3 ln(x+ 1) + y, se pide:
(a) [1
/
2punto] calcular aproximadamente la variaci´on de la funci´on en el paso del punto (1,1)
al (3/2,1/2).
(b) [11
/
2puntos] Resuelva el problema m´ax{f(x, y)}s.a: x+y= 10.
Soluci´on:
La variaci´on aproximada de la funci´on viene dada por la diferencial, que es el producto escalar:
∇f(1,1)·(∇x, ∇y), donde (∇x, ∇y) = (1/2,−1/2) es el vector desplazamiento, dicho producto
es 1/4. La soluci´on de dicho problema esta caracterizada por una condici´on de tangencia junto
con la restricci´on. Denotando g(x, y) = x+y−10, dicha condici´on de tangencia es fy
fx=gy
gx,
que da lugar a x= 2 y, por tanto, y= 8.
