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Matemáticas III (Convocatoria ordinaria. Fecha: 16-1-2017)
APELLIDOS _______________________ NOMBRE ________________ GRUPO _______
Nomenclatura: SG = solución general.
Ejercicio 1. Para el estudio de la dinámica del precio p t de una acción se han utilizado dos
modelos diferentes.
- El primer modelo es
p' p 1 , p 0 3
. Obtener la SG. Dibujar aproximadamente la
solución de p t cuando p 0 1. (1p)
- El segundo modelo es
2
p ' 3p p , p 0. Obtener la SG y calcular
t
Lim p t. (1.5p)
Ejercicio 2. Sean dos bienes A y B. Las funciones de oferta, demanda y condición de equilibrio
en el mercado del bien A son:
A A St 10 4 pt 1 (^) ;
A A Dt 50 10pt ;
A A S (^) t Dt.
Las funciones de oferta, demanda y condición de equilibrio en el mercado del bien B son:
B B A S (^) t 2 2 pt 1 (^) pt 1 ;
B B Dt 22 5pt;
B B St Dt.
- Obtener la SG del precio en el mercado del bien A. Estudiar la estabilidad del precio de
equilibrio. (1p)
- Obtener la SG del sistema asociado a la evolución conjunta de los precios de los dos bienes.
Estudiar la estabilidad del vector de precios de equilibrio. (1.5p)
Ejercicio 3. Hallar la SG y analizar la estabilidad del equilibrio en dos modelos alternativos sobre
la evolución de la tasa de inflación xde un país:
- x '' x ' x 1 , (1p) 2) t 2 t 1 t x x x 1 . (1p)
Ejercicio 4. Determinar razonadamente los conjuntos de valores del parámetro tal que
- el equilibrio del sistema
t t
t t
x (^) / x
y (^) / y
^ ^
1
1
sea atractor. (0.5p)
- el equilibrio del sistema
x ' / x
y ' / y
^
sea atractor. (0.5p)
Ejercicio 5. Obtener la SG y analizar la estabilidad de los equilibrios en los siguientes sistemas:
t t
t t
x (^) / x
y / y
1
1
, (1p) 2)
x ' / x
y ' / y
^
. (1p)
SOLUCIÓN DETALLADA
Ejercicio 1. Para el estudio de la dinámica del precio p t de una acción se han utilizado dos
modelos diferentes.
- El primer modelo es:
p' p 1 , p 0 3
. Obtener la SG. Dibujar aproximadamente la
solución de p t para la condición inicial p 0 1.
- El segundo modelo es:
2
p ' 3p p , p 0. Obtener la SG. Calcular
t
Lim p t.
SOLUCIÓN:
Apartado 1)
La SG de la ecuación completa es la suma de la SG correspondiente a la ecuación homogénea
asociada y el equilibrio p *(constante).
La SG de la ecuación homogénea asociada es
t / p Ce.
El equilibrio p * verifica que p ' 0. En definitiva, sustituyendo en la ecuación completa
tenemos
0 p * 1 3
. Por tanto, p*^ ^3.
La SG de la ecuación completa es
t / p t 3 Ce
La solución para la condición inicial p 0 1 verifica que
0 1 3 Ce. Resolviendo la incógnita
tenemos que C 2. En definitiva, la solución del PVI anterior es
t / p t 3 2e.
Se cumple que
t
Limp t 3. Al ser p 0 1 3 , el dibujo de la trayectoria de p t es
monótona creciente convergiendo al equilibrio igual a 3.
Apartado 2)
Podemos obtener la SG aplicando el método de separación de variables o como una ecuación
de Bernouilli.
2A) Por separación de variables
(^)
dp (^2) 3p p p 3 p dt
, entonces
dp dt p 3 p
Paso 4: Deshaciendo el cambio de función realizado al principio, tendremos la solución para la
EDO original:
(^1) 3t K e 1/ 3 p
. Despejando p: (^)
3t
p Ke 1/ 3
. Si multiplicamos numerador
y denominador por 3 tenemos:
3t 3t
p 3Ke 1 Ce 1
.
Puedes comprobar que esta solución coincide exactamente con la hallada con el método
anterior (o sea, método de variables separables).
Si calculamos ahora el límite:
^
t t^ 3 t
Limp t Lim 3 1 Ce 1 0
.
El equilibrio es igual a 3 y es globalmente asintóticamente estable (GAE).
Ejercicio 2. Sean dos bienes A y B. Las funciones de oferta, demanda y condición de equilibrio
en el mercado del bien A son:
A A St 10 4 pt 1 (^) ;
A A Dt 50 10pt ;
A A S (^) t Dt.
Las funciones de oferta, demanda y condición de equilibrio en el mercado del bien B son:
B B A S (^) t 2 2 pt 1 (^) pt 1 ;
B B Dt 22 5pt;
B B St Dt.
- Obtener la SG de la evolución del precio en el mercado del bien A. Estudiar la estabilidad del
precio de equilibrio.
- Obtener la SG del sistema asociado a la evolución conjunta de los precios de los dos bienes.
Estudiar la estabilidad del vector de precios de equilibrio.
SOLUCIÓN:
Apartado 1) A partir de la condición de equilibrio:
A A 10 4 pt 1 (^) 50 10pt y simplificando
se obtiene la EDF
A A t t 1
p 6 p 5
.
El precio de equilibrio verifica que
A 2 A A^30
p * 6 p * p * 5 7
.
La SG de la ecuación será
t A t
p C 5 7
y las soluciones convergerán al equilibrio en
oscilaciones amortiguadas. El precio de equilibrio es GAE.
Apartado 2) Sean las siguientes ecuaciones de precios para los bienes A y B (igualando oferta y
demanda en cada mercado):
A A t t 1
p 6 p 5
y
B B A t t 1 t 1
p 4 p p 5 5
La SEDF resultante es:
^ ^
^ ^ ^
A A t t 1 B B t t 1
p 5 p 6
p 1 2 p 4
.
La matriz (triangular) tiene el autovalor doble 2 / 5.
La SG de la SEDF es la suma de la SG del sistema homogéneo asociado y el vector de precios de
equilibrio.
A continuación vamos a obtener la matriz P (matriz de paso). Como
no es autovector,
entonces podemos tomarlo como segunda columna de la matriz P. Por tanto, la primera
columna será:
. En definitiva,
P
.
El equilibrio se obtiene a partir de resolver el siguiente sistema:
^
^ ^
A A A
B B A B
p * p * 6 5 p^ * 30 / 7
1 2 p * 170 / 49 p * p * p * 4 5 5
.
Por último, la SG del SEDF es:
(^) (^) (^) (^) (^) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
t t 1
A t 1 B (^) t t 2
t p 0 1 5 5 C 30 / 7
p 1/ 5 0 2 C 170 / 49 0 5
.
Se comprueba que
^
^ ^ ^ ^ ^
^
t t 1
A (^) t t t 1 t B^ t t 2
t
1
2
Lim Lim t p 0 1 5 5 C 30 / 7 Lim p 1/ 5 0 C 170 / 49 2 0 Lim 5
0 1 0 0 C 30 / 7 30 / 7
1/ 5 0 0 0 C 170 / 49 170 / 49
En definitiva, el vector de equilibrio es GAE.
Ejercicio 4. Determinar razonadamente los conjuntos de valores del parámetro tal que
- el equilibrio del sistema
t t
t t
x / x
y / y
^
1
1
sea atractor. (0.5p)
- el equilibrio del sistema
x ' / x
y ' / y
^
sea atractor. (0.5p)
SOLUCIÓN:
Apartado 1) La matriz (canónica) del SEDF
t t
t t
x (^) / x
y / y
^
1
1
tiene los autovalores:
i
. Para que el equilibrio (vector de ceros) sea atractor , el módulo debería ser
estrictamente menor que 1. Es decir,
2 2 1 2 1 1 2 4
de manera que
. El intervalo de valores de tal que el equilibrio del sistema es
atractor es el siguiente: ,
.
Apartado 2) Los autovalores del SEDO son los mismos que en el apartado A pues la matriz es la
misma. En definitiva, i
. Para que el equilibrio (vector de ceros) sea atractor debe
cumplirse que la parte real debe ser negativa. Es decir, 0.
Ejercicio 5. Obtener la solución general y analizar la estabilidad de los equilibrios en los
siguientes sistemas:
t t
t t
x / x
y / y
1
1
, 2)
x ' / x
y ' / y
^
.
SOLUCIÓN: En los dos apartados las matrices son canónicas. Esto significa que la matriz de
paso P en ambos casos es igual a la matriz identidad. Es decir,P
.
Apartado 1) Los autovalores del SEDF es i
y
(equilibrio atractor ). El
argumento sería
.
La SG es la siguiente:
t t
t
cos t s en t x (^) C
y (^) C s en t cos t
^
^
^ ^
^ ^ ^
1
2
.
El equilibrio es GAE. Vamos a comprobarlo:
t t t t t t
cos t s en t x (^) C Lim Lim Lim y (^) C s en t cos t
^
^
^
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
1
2 0
.
Apartado 2) Los autovalores de la SEDO son i
. El equlibrio será repulsor pues la parte
real del autovalor es positiva. La SG de la ecuación completa es la suma de la SG del sistema
homogéneo asociado y el vector de equilibrio. La SG del sistema homogéneo es el siguiente:
t
t t cos s en x C e y t t C s en cos
^
^ ^
1
2
El vector de equilibrio cumple lo siguiente:
/ x *
/ y *
.
Por tanto,
/ x * x * /
/ y * y * /
^
^
.
En definitiva, la SG del sistema completo es el siguiente:
t
t t cos s en x t C / e y t t t C / s en cos
^
^ ^
1
2
.
Vamos a comprobar a continuación que el vector de equilibrio es repulsor:
t t t t
t t cos sen x t C / Lim Lim e Lim y t t t C / sen cos
^
^ ^ ^ ^
^
1
2
.
