¡Descarga Matemáticas 04 2010 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemàtiques II Primer Control Grup 42 16-4-
Resolució
- En una rotonda circular de 7m de radi hi hem fet
un camí de 2m d’amplada. El camí el recobrim
amb grava i la resta de la rotonda amb gespa,
tal com s’indica a la figura. Calculeu la superfície
de cada tros.
Coneixem els tres costats del triangle ABO , així podem
calcular l’angle
α = AOB:
sin 2 arcsin 0, 2867
a
radians
r
α
= = → α= =
L’angle
β = AOC és β = π − α. Això ens permetrà
calcular l’àrea del triangle ACO. Una de les àrees amb
gespa és el sector circular
AOC restant-li l’àrea del
triangle ACO :
2 2 2
7 sin 63, 0168 126, 0336
gespa gespa
S = àrea AOC àrea AOC r S m
− = β− β= → =
Finalment, l’àrea amb grava serà la diferència entre l’àrea de tota la circumferència i les dues
àrees amb gespa:
2 2
grava gespa
S = π ⋅ r −S = 27,9045 m
- Considereu la funció:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
si , 0,
1 si , 0, 0
x y
x y
x y f x y
x y
a) Doneu-ne el domini, el recorregut i estudieu-ne la continuïtat.
Resolució:
Observant l’expressió de la funció per ( ,x y ) ≠ (0, 0)
notem que el denominador no s’anul·la, i en el
punt (0, 0)
la funció també està definida, per tant
2
Dom f ( ) = .
Per determinar el recorregut de la funció podem fer un canvi a polars:
cos
sin
x r
y r
θ
θ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
cos cos sin (cos sin )
cos sin cos 2
sin cos sin
x r x y r r r
y r x y r r r
θ θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
Així, Re c f( ) = −[ 1,1]. També es podria justificar observant que:
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
x
x y x y
x y x y y
x y
r = 7m
a = 2m
A
B
O
C
gespa
1
S
2
gespa
1
S
2
grava
S
α
β
Per a qualsevol punt ( ,x y ) ≠ (0, 0)la funció és contínua per ser quocient de polinomis i el
denominador no s’anul·la. L’únic punt on la funció podria no ser continua és el (0, 0) , per això
intentem calcular el límit de la funció en aquest punt. Fem el mateix canvi a polars:
( ) ( )
2 2
2 2
, 0,0 0
lím lím cos 2 cos 2
x y r
x y
x y
→ →
És a dir, el límit de la funció quan ( ,x y ) → (0, 0)depèn de la direcció, així el límit no existeix i la
funció no és contínua en (0, 0).
b) Calculeu-ne les derivades parcials i estudieu-ne la diferenciabilitat.
Al (0, 0) la funció no és diferenciable ja que no és contínua.
Per ( ,x y ) ≠ (0, 0) les seves derivades parcials són:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
f x y x x y x y x xy
x y
x x x y
x y x y
f x y y x y x y y x y
x y
y y x y
x y x y
les derivades parcials són quocients de dos polinomis amb el denominador diferent de 0. Per tant,
la funció és diferenciable per a qualsevol punt ( ,x y ) ≠(0, 0).
Mentre que les derivades parcials en (0, 0) són:
0 0 0
0 0 0
0, 0 lím lím lím 0 0
0, 0 lím lím lím
x x x
y y y
f x f f
x x x
f y f f
y y y y
→ → →
→ → →
Així que només existeix una de les derivades parcials, això també ens indica que la funció no és
diferenciable en el (0, 0).
a) Doneu la definició de gradient d’una funció de dues variables en un punt i expliqueu la
relació geomètrica amb la superfície que representa aquesta funció.
Fet a classe de teoria
b) Considerem el paraboloide el·líptic d’equació
2 2
z = − x − 3 y + 2 x− 1. Calculeu quines són
les direccions de pendent màxim, de pendent mínim i de pendent nul en els punts
i
La direcció de pendent màxim ve donada pel gradient:
2 2
g g
g x y x y x g x y x y x y x y
x y
En el punt (1, 0) el gradient és ∇g (1, 0) =(0, 0)
, és a dir, és un punt estacionari (màxim, mínim o
punt de sella). En totes direccions el pendent és 0.
Per calcular un valor aproximat del nombre e avaluem el polinomi en
x =
2 3
3
e f P
L’error comès el podrem fitar amb el Teorema de Lagrange, considerant 0 ≤ c≤ 0,5:
4
(4) 2
4 4 4
2 1 3
c
c e
f c e e
↑ ↑
< <
Això és:
3 3
3 3
e P e P
P e P e
I per tant, no podem assegurar que cap de les xifres decimals obtingudes sigui correcta.
Per aproximar el nombre e mitjançant (0, 5)
n
P amb un error inferior a
8
−
, n ha de satisfer
( 1) 1 2 2
1 1 8
n n c c
n n
f c e e e
n n n n n
n
( n +1)!
7
8
9
10
11
8
−
Per tant, amb el polinomi de Taylor d’ordre 11 obtenim un error en l’aproximació inferior a
8
−
