Matem´aticas I Grado en 08-02-2010
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1. Sea H={x∈IRn/ Ax =θ}con A∈ Mm×n. Obtener razonadamente la dimensi´on del subespacio
Hseg´un sea el rango de la matriz A.
2. Obtener la dimensi´on, las ecuaciones param´etricas y una base del subespacio Fdado por:
F={(x, y, z, t)∈IR4/ x + 2y+t= 0, x +y+t= 0, x + 3y+t= 0}
3. Estudiar para qu´e valores del par´ametro a∈IR es diagonalizable la matriz
A=
a−1 1
0 1 3
0 2 2
4. Para a= 4, obtener, si es posible, la base de autovectores respecto a la que la matriz anterior es
diagonalizable.
5. Una empresa que produce tres bienes A, B, C con cantidades x1, x2, x3respectivamente, tiene como
funci´on de beneficios
q(x1, x2, x3) = x2
1−2x2
2+x2
3−4x1x2−2x1x3−4x2x3
a) ¿ Puede ocurrir que dicha empresa tenga p´erdidas?
b) ¿ Qu´e suceder´a en el caso en que las variables pertenezcan al subespacio vectorial
F=<(1,0,1),(1,0,−1) >?
c) ¿Que suceder´a en el caso en que no se produzca nada del segundo bien?
6. Enunciar de forma apropiada una condici´on necesaria de diferenciabilidad y una condici´on suficiente
de integrabilidad.
7. Sea f:IR3−→ IR2definida por f(x, y, z ) = (Ln µx+y
z¶,esen(xz))estudiar la diferenciabilidad de la
funci´on y obtener su jacobiana en un punto gen´erico.
8. Sean f:IR3−→ IR2definida por f(x, y , z) = µx+y
z, sen(xz)¶, y g:IR2−→ IR2definida por
g(u, v) = (Ln(u), ev), obtener la matriz jacobiana de g◦fen el punto (0,1,1).
9. Calcular Zex
e2x−1dx
10. Calcular Z Z D
x dxdy siendo D={(x, y)∈IR2/ x +y≤1, y ≥x2−1}.
¿Representa la integral anterior el ´area del recinto D?