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- (Puntos: 1) Dada la funci´on f (x) = xe(2x−4)
(a) (0,4 puntos) Calcula la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en el punto x = 2. (b) (0,6 puntos) Calcula, en caso de que existan, los m´aximos y m´ınimos locales de la funci´on.
Respuesta
(a) La recta debe pasar por el punto (2, f (2)) = (2, 2) ya que f (2) = 2e^0 = 2. La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en ese punto, como f ′(x) = e(2x−4)^ + xe(2x−4)2 entonces f ′(2) = 1 + 4 = 5. Entonces la ecuaci´on de la recta tangente es y − 2 = 5(x − 2) ⇒ y = 5x − 8 (b) En los m´aximos y m´ınimos locales de la funci´on la primera derivada se anula, entonces
f ′(x) = e(2x−4)^ + xe(2x−4)2 = e(2x−4)^ (1 + 2x) = 0
como la funci´on exponencial no se anula 1 + 2x = 0 ⇒ x = − 12 es el ´unico punto cr´ıtico. Para ver si se trata de m´aximo, m´ınimo o punto de inflexi´on calculamos el signo de la segunda derivada:
f ′′(x) = 2e(2x−4)(1 + 2x) + e(2x−4) 2
Como f ′′^
= 2e(−5)^ > 0 entonces en x = − 12 se alcanza un m´ınimo local
- (Puntos: 2) Sea f (x) una funci´on dos veces derivable en su dominio con las siguientes caracter´ısticas:
La derivada de la funci´on es negativa en (−∞, −8) ∪ (− 5 , 2) y positiva en (− 8 , −5) ∪ (2, +∞)
x→−∞l´ım f^ (x) = +∞ Tiene como ´unico punto de inflexi´on (− 7 , 2) Tiene ´unicamente un m´aximo local y un m´ınimo local con valores fmin = 1 y fmax = 4 Los puntos de corte con los ejes son (− 2 , 0), (6, 0) y (0, −4) Tiene una as´ıntota horizontal que es y = 3 Tiene una discontinuidad asint´otica en x = 2
(a) (0,8 puntos) Esboza la gr´afica de la funci´on: en el dibujo debe quedar clara la forma y curvatura de la gr´afica y debe estar completamente explicada dicha gr´afica (en caso contrario no puntuar´a) (b) (0,4 puntos) Razona qu´e signo tiene la derivada segunda en el intervalo abierto (− 6 , 2). (c) (0,4 puntos) Razona qu´e valor tiene (^) x→l´ım+∞ f (x).
(d) (0,4 puntos) Razona qu´e valor tiene f ′(−5).
Respuesta
(a) Ver gr´afica al final (b) El signo de la segunda derivada est´a relacionado con la curvatura de la funci´on. Como la funci´on tiene un ´unico punto de inflexi´on en x = −7, en el intervalo (− 6 , 2) tendr´a todo el tiempo la misma curvatura y por tanto la derivada segunda el mismo signo. Como en ese intervalo est´a x = −5, donde se alcanza un m´aximo, la funci´on ser´a c´oncava y por tanto la segunda derivada negativa. (c) La funci´on tiene una as´ıntota horizontal que es y = 3 esto significa que l´ım x→−∞ f (x) = 3 o
x→l´ım+∞ f^ (x) = 3. Como el primer l´ımite nos dicen que es +∞^ entonces^ x→l´ım+∞ f^ (x) = 3 (d) En los m´aximos y m´ınimos locales la derivada se anula. Como en x = −5 se alcanza un m´aximo local, f ′(−5) = 0.
- (Puntos: 1) Enuncia el Teorema de Bolzano. Razona si es posible aplicarlo a la funci´on
f (x) =
−x^2 + 6 x < 2 3 x − 4 x ≥ 2 en el intervalo [− 4 , 4].
comprobando claramente si cumple o no todas las condiciones del teorema. Respuesta El Teorema de Bolzano dice que cualquier funci´on real f (x) continua en un intervalo cerrado [a, b] y que cumpla que los valores f (a) y f (b) tienen signos distintos, se anula en alg´un punto de dicho intervalo, es decir, existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. En la funci´on del ejemplo f (−4) = −16 + 6 = − 10 < 0 y f (4) = 12 − 4 = 8 > 0 tienen signos opuestos. Adem´as la funci´on es continua en [− 4 , 2) por tratarse de una par´abola. Tambi´en es continua en (2, 4] donde es una recta. Falta ver si es continua en el punto x = 2 donde enlazan las dos funciones. La funci´on existe f (2) = 2, y para ver el l´ımite en ese punto hacemos los l´ımites laterales
l´ım x→ 2 −^
f (x) = l´ım x→ 2 −
(−x^2 + 6) = −4 + 6 = 2
l´ım x→ 2 +^
f (x) = l´ım x→ 2 +
(3x − 4) = 6 − 4 = 2
Como los tres valores coinciden, la funci´on es continua tambi´en en x = 2 y por lo tanto s´ı se puede aplicar el Teorema de Bolzano a esta funci´on.
- (Puntos: 1,5) Calcula el ´area cerrada comprendida entre las gr´aficas de las funciones f (x) = 4 − x^2 , g(x) = − 2 x + 1. Respuesta Los puntos en los que se cortan estas funciones cumplen 4 − x^2 = − 2 x + 1 ⇒ x^2 − 2 x − 3 = 0. Las soluciones de esa ecuaci´on son x = −1 y x = 3. Observando que la primera funci´on es la par´abola y = −x^2 desplazada verticalmente 4 unidades y la segunda funci´on es una recta de pendiente m = − 2 es evidente que la regi´on de la que hay que calcular el ´area es la marcada en azul en la figura adjunta y que siempre la funci´on f es mayor que la g.
Por lo tanto el ´area es
A =
− 1
(f (x) − g(x)) dx =
− 1
4 − x^2 + 2x − 1
dx =
− 1
3 − x^2 + 2x
dx
Como F (x) =
3 − x^2 + 2x
dx = 3x −
x^3 + x^2 + C
A =
− 1
3 − x^2 + 2x
dx = F (3) − F (−1) = 9 − 9 + 9 + 3 −
u^2
Respuesta
a) La matriz A tiene al menos rango 2 ya que evidentemente sus dos primeras filas son linealmente independientes. Si calculamos el determinante det(A) = α − 2 − 2 + 1 = α − 3. Si α 6 = 3 ⇒ det(A) 6 = 0 y el rango ser´a 3. Si α = 3 ⇒ det(A) = 0 y el rango ser´a 2. b) A es la matriz de coeficientes del sistema, el n´umero de filas de la matriz es el n´umero de ecuaciones y por tanto tiene 3 ecuaciones. El n´umero de columnas es el n´umero de variables y el sistema tendr´a 3 inc´ognitas. c) La matriz ampliada del sistema es
2 − 1 α 1
Resolviendo por Gauss: A la 3a^ fila le restamos dos veces la 1a
0 1 α − 2 3
A la 3a^ fila le restamos la 2a
0 0 α − 3 2
Si α = 3 el rango de la matriz de coeficientes es dos y, como se observa, el de la ampliada 3 y por lo tanto el sistema es incompatible. Si α 6 = 3 las dos matrices tienen rango 3 y como es tambi´en el numero de inc´ognitas el sistema es compatible determinado de soluci´on: (α − 3) z = 2 ⇒ z =
(α − 3) y + z = 1 ⇒ y = 1 − z = 1 −
(α − 3)
(α − 5) (α − 3)
x − y + z = − 1 ⇒ x = −1 + y − z = −1 +
(α − 5) (α − 3)
(α − 3)
(α − 3) d ) Cuando α = 0 seg´un hemos visto en el primer apartado det(A) = −3, entonces por las propiedades de determinantes: det(A′) = det(A) = −3, det
A−^1
det(A)
det(2A) = 2orden^ det(A) = 8(−3) = − 24 det(AA′) = det(A) det(A′) = (−3)^2 = 9
