matematicas, Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga matematicas y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

TEMA 1

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Funciones de una variable

1. Conceptos básicos.
2. Funciones elementales:

• Funciones polinómicas y racionales.
• Función logarítmica y exponencial.

3. Límites y continuidad.
4. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables.
5. Aplicaciones del cálculo diferencial. Derivadas de orden superior.

1. CONCEPTOS BÁSICOS

1.1 Introducción a las funciones de una variable.

Dominio e Imagen

La mayoría de los fenómenos cambian con el tiempo: la temperatura, los ingresos de un individuo, las ventas de una empresa, los precios de un determinado bien, el consumo eléctrico, …. Decimos entonces que el tiempo es la variable independiente y esos fenómenos (variables) dependen de él.

Temperaturas medias en España los últimos 30 días Euribor (Enero 2005-Septiembre 2009)

La letra elegida para designar a la variable independiente, a la dependiente y a la función que expresa la dependencia entre las variables es irrelevante, podemos elegir la que queramos.

Da igual decir G=f(x)=px a decir G=h(x)=px

Hay muchos fenómenos que no se pueden explicar a través de la dependencia de una única magnitud.

G  p x

El gasto depende tanto del número de Cd’s comprados como del precio de cada Cd. En este caso decimos que el gasto es una función de dos variables G=f(p,x).

Aquí estudiaremos en detalle sólo las funciones que dependen de una única variable. Sin embargo tendremos en cuenta que las funciones de una variable con las que trabajamos muchas veces se han obtenido fijando las restantes en ciertos valores.

Se llama dominio de la función f (y se denota por D, D(f ) ó Dom(f) ) al

mayor subconjunto de IR donde la expresión f tiene sentido.

y=ln(x), y=1/(x-1), y=3x+10, y=x^2 -6x+9, 3,^

x y  x  y  e

f : D  IR  IR

Halla el dominio de las siguientes funciones

Hay expresiones que no se pueden evaluar para cualquier valor de la

variable independiente.

Por ejemplo la función f ( ) x  1  x^2 solo se puede evaluar si x^  [ 1,1]

Lo indicamos:

¿Cuál es el dominio de f+g y f/g? ¿Cuál es el dominio de (^) f?

En general se denomina función a cualquier ley ente dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento de A un único elemento de B

A B

En los casos que vamos a estudiar tanto A como B son subconjuntos de los números reales, por eso se dice que la función es una función real de variable rea l. ¿Cómo se han obtenido los números reales? Ampliando sucesivamente el conjunto de números en consideración.

f

Conjunto^ Conjunto final inicial

Q R

N Z C

Naturales = {0,1,2,...} Enteros = {...,-2,-1,0,1,2,...} Racionales = { / , donde , , 0} Reales donde son los irracionales Complejos

a b a b  b   

N Z Q Z R= Q I I s C

Dada la función halla el dominio y el recorrido.

Calcula f(3), f(x+1) , f(2a) y f(a+b)

ln( )

x

f x

x

Una función se dice que es par si f(x)=f(-x) e impar si f(x)=-f(-x). Dí

si las siguientes funciones son pares o impares 2 1 ( )^ ,^2 ( )^2 1 3 ( ) 2 1

x f x x n^ n IN f x x^ f x e x (^) x

     (^) 

Demuestra que la función ( ) satisface la propiedad

a

f x  x

f (  x )  a f ( ) x

f(x)=2x-

Función lineal

f(x)=x^2 +

Función cuadrática (polinómica de grado 2)

x

f(x)

x

f(x)

¿Cómo dibujamos la gráfica de una función?

• Conociendo las gráficas de las funciones elementales
• Estudiando cortes con los ejes, simetrías, intervalos de crecimiento y decrecimiento, asíntotas, concavidad o convexidad de la función, máximos y mínimos, …
• A partir de una tabla de valores, una vez que sabemos las características básicas de la gráfica

MATERIAL COMPLEMENTARIO - MAPLE

Cargo el paquete de gráficos, no es necesario para gráficos sencillos, pero sí lo necesito si luego quiero animarlos,….

No especifico el rango de valores de la variable independiente que quiero considerar (Maple toma por defecto el intervalo [-10,10]

Especifico el rango de valores de la variable independiente que quiero considerar

Especifico el rango de valores para ambas variables

Usa la ayuda de maple para saber cómo representar las gráficas de varias funciones a la vez

Ejemplo:

f(x)=x^2 h(x)=f(x+1)=(x+1)^2 h(x)=f(x-1)=(x-1)^2

Representa x^ , x^ ^ 2,^ x ^3

f(x)

f(x)+a

a

Traslación vertical

f(x)=x^2 h(x)=f(x)+4=x^2 +

Si conocemos la gráfica de la función f, ¿cuál es la gráfica de h x ( )  f x ( )  a , a  0?

Representa

1 1

x x x

e e e

 

ex

ex

e x ^1

ex

e x ^1

e x ^1  2

f(x)

kf(x),k>

Dilatación k> Contracción 0<k<

Dilatación-contracción

vertical

Con Maple

MATERIAL COMPLEMENTARIO

• MAPLE

El gráfico es idéntico si cambiamos la escala en el eje y

Esta propiedad nos puede resultar muy útil para esbozar la gráfica de una función.