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Universidad Nacional de Piura
MATEMÁTICA BÁSICA
GUÍA DE CLASE: FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Lic. Relly Panta Palacios MSc
1 Funciones
1.1 INTRODUCCIÓN
Muchos modelos matemáticos se describen mediante el concepto de función. Un fabricante desea conocer la relación entre las ganancias de su empresa y su nivel de producción. Un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de cierto cultivo de bacterias con el paso del tiempo, un sociólogo quisiera conocer la relación entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista de palabras. En cada caso la pregunta es la misma: ¿ Cómo depende una cantidad de otra? Esta dependencia entre dos cantidades se describe convenientemente en matemáticas mediante una función.
Definición 1
Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f una relación de A en B , cuyo dominio es D (^) f , f es llamada función de A en B , si para cada elemento x ∈ D (^) f existe un único elemento y ∈ B tal que ( x ; y ) ∈ f ∧ y = f ( x ). Simbólicamente: f es una función, si
∀ x ∈ D f , ∃! y ∈ R f /( x , y ) ∈ f ↔ y = f ( x )
Esta definición es equivalente a:
f : A → B es función si( x , y ) ∈ f ∧ ( x , z ) ∈ f ⇒ y = z
1.2 Función real de una variable real
Dominio de una función
f : A → B
D f =
x ∈ A /∃! y ∈ B ∧ y = f ( x )
⊂ A
Rango de una función
f : A → B
R f =
y = f ( x ) ∈ B / x ∈ A
⊂ B
Ejemplo 1
Sean A = {0, 2, 4}. B = {1, 3, 5} y f : A → B / f ( x ) = 2 x + 1. Determine f ,su dominio, su rango y su gráfica.
Definición 2 Función real de variable real
Una función f : A → B , donde A y B son subconjuntos no vacíos de R, se denomina función real de variable real o función de una variable real de valores reales.
Ejemplo 2
Sea f =
( x , y ) ∈ A × B / y = 2 x
, donde A = N y B = R, entonces: f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), ..., ( n , 2 n )}
Definición 3 Dominio y rango de una función real
1 El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar x , de tal manera que y sea real.
2 El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de y , luego se analiza todos los valores posibles que pueda tomar y , de tal manera que x sea real.
Ejemplo 3
Sea f : [−5, 3〉 → R tal que f ( x ) = 3 − 2 x , ∀ x ∈ [−5, 3〉. Tenemos
Dominio: D (^) f = [−5, 3〉 Rango: R (^) f = 〈−3, 13]
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Ejemplo 4
Hallar el Dominio y rango de la siguiente función: y = f ( x ) =
p 2 + x − x^2
1.3 Propiedad fundamental de las funciones reales de variable real
Una función f ⊂ R^2 es una función real si y sólo s toda recta vertical corta a la gráfica de f en solo punto.
1.4 Clasificación de las funciones según su naturaleza
Entre las funciones reales de variable real, existen ciertas funciones de uso frecuente. Éstas son:
Definición 4 Función constante
Es la función definida por f ( x ) = c , x ∈ R,donde c es una constante
real.
D f = R y , R f = { c }.
Su gráfica es una recta horizontal.
Definición 5 Función lineal
Es la función definida por f ( x ) = ax + b , x ∈ R, donde a y b son constan-
tes, con a ̸= 0.
Dominio: D f = R Rango: R f = R
Ejemplo 5
Sea f : A → B una función definida por:
f ( x ) =
1 si x ⩽ − 1
x + 2 si − 1 < x ⩽ 3
4 si x = 5.
Hallar el dominio, el rango y representar la gráfica de la función.
Definición 6 Función cuadrática
Es la función definida por f ( x ) = ax^2 + bx + c , a ̸= 0. La gráfica de esta función es una parábola de vértice V
− 2 ba , c − b
2 4 a
N Nota
- Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
- Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
- El valor máximo o mínimo de esta función ocurre en el vértice, es decir. f
− 2 ba
= c − b
2 4 a es valor máximo o mínimo de la función.
Estudiamos algunos ejemplos de fenómenos reales que son modelados por funciones cuadráticas. Estos ejemplos y los ejercicios de Aplicación para esta sección presentan parte de la variedad de situaciones que de manera natu- ral son modelados por funciones cuadráticas.
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Por lo tanto, de acuerdo con este modelo, el precio del boleto de S /23.50 es simplemente demasiado alto; a ese precio, nadie va a ver jugar a su equipo. (Desde luego, el ingreso también es cero si el precio del boleto es cero.)
Definición 7 Función Racional
Una función racional tiene la forma: f ( x ) =
P ( x ) Q ( x ) Donde P ( x ) y Q ( x ) son polinomios en x.
❑ Dominio de la función racional
D f = { x ∈ R/ Q ( x ) ̸= 0} = R − { x ∈ R/ Q ( x ) = 0}
Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus gráficas se ven bastante diferentes de las grá- ficas de funciones polinomiales.
Funciones Racionales de Proporcionalidad inversa
Son aquellas que presentan la siguiente fórmula general: f ( x ) = kx , donde k es una constante. El dominio de esta función son todos los números reales excepto el 0 ya que anula el denominador. La gráfica está formado por hipérbolas.
Para k = 1, la función será: f ( x ) =
x
Dominio: D f = R − {0} R f = R − {0}.
Propiedades
✍ Si k > 0 entonces la gráfica se ubica en el primer y tercer cuadrante.
✍ Si k < 0 entonces la gráfica se ubica en el segundo y cuarto cuadrante.
x
y
(a) Caso k > 0
x
y
(b) Caso k > 0
Figura 1: Gráficas de la función f ( x ) = kx
Otras formas de funciones racionales son:
f ( x ) =
ax + b cx + d
g ( x ) =
k x + a
Asíntotas de una función racional.
① Asíntotas horizontales: La recta x = h es una asíntota vertical de la función y = f ( x ).
② Asíntotas verticales: La recta y = k es una asíntota horizontal de la función y = f ( x ).
En la figura (2) se visualiza la gráfica de la función racional f ( x ) = x
(^4) + x − 3 x^4 − 16 , cuyas asíntotas verticales son^ x^ = −^2 ∧ x = 2 y la asíntota horizontal es y = 1.
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x
y
x = − 2 x = 2
y = 1
Figura 2: Gráficas de la función f ( x ) = (^2) xx +− 41
Ejemplo 7
Calcule las asíntotas horizontales y verticales de la siguiente función y = (^) 2(^4 xx 2 −−^5 1)
Definición 8 Función irracional
Son aquellas que tienen la forma f ( x ) = n
p g ( x ). Donde:
❑ g ( x ) es una función polinómica o una función racional.
❑ n : se llama índice de la raíz.
✍ El dominio de una función irracional de índice impar es R.
✍ El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radi-
cando sea mayor o igual que cero.
1.5 Función irracional de índice impar
x
y
(a) f ( x ) = 3
p x^2 − 5 x + 6
x
y
(b) f ( x ) =
p x^2 − 5 x + 6
Ejemplo 8
Calcule las asíntotas y dominio de la función f ( x ) =
x + 4 p x^2 − 5 x + 6
