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Matem´aticas Empresariales Anexo a los temas 3 y 4: Optimizaci´on con restricciones de desigualdad.
Anexo temas 3 y 4: Optimizaci´on con restricci´on de
desigualdad
Joaqu´ın F. S´anchez Lara
Departamento de Matem´atica Aplicada Universidad de Granada
[email protected]
Grado en Administraci´on y Direcci´on de Empresas Curso 2014- Joaqu´ın F. S´anchez Lara Anexo temas 3 y 4: Optimizaci´on con restricci´on de desigualdad 1 / 16
1 Objetivo
2 Idea para la resoluci´on
3 Ejemplos
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Anexo temas 3 y 4: Optimizaci´on con restricci´on de desigualdad 2 / 16
Objetivo
Objetivo
Comprobar como lo aprendido en los temas 3 y 4 permite resolver algunos problemas de optimizaci´on con restricciones de desigualdad. En concreto el siguiente problema
Opt. f (x, y) s.a. g(x, y) ≤ k
donde la regi´on factible sea compacta y la funci´on objetivo sea continua.
Idea para la resoluci´on
Uso teorema de Weierstrass
Si tenemos el problema
Opt. f (x, y) s.a. g(x, y) ≤ k
donde la regi´on factible sea compacta y la funci´on objetivo sea continua
Uso del teorema de Weierstrass Como se dan la hip´otesis de dicho teorema, sabemos que existen el m´aximo y m´ınimo absolutos.
Idea para la resoluci´on
M´etodo
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Idea para la resoluci´on
Localizaci´on de los extremos
Pero... ¿ donde puede alcanzarse un extremo absoluto? En el interior de la regi´on factible o en la frontera y dependiendo de donde se encuentre debemos aplicar diferentes t´ecnicas para encontrarlo:
Si el extremo absoluto est´a en el interior de la regi´on factible (se verifica la restricci´on con la desigualdad estricta: g(x, y) < k) sabemos encontrarlo: es un punto cr´ıtico de la funci´on objetivo
∇f (x, y) = (0, 0).
Si el extremo absoluto est´a en la frontera de la regi´on factible (se verifica la restricci´on con la igualdad: g(x, y) = k) tambi´en sabemos encontrarlo: es un extremo absoluto del problema
Opt. f (x, y) s.a. g(x, y) = k
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Idea para la resoluci´on
Localizaci´on de los extremos
Idea para resolverlo Para resolver el problema
Opt. f (x, y) s.a. g(x, y) ≤ k
Partimos el problema en estos otros 2:
Opt. f (x, y) s.a. g(x, y) < k
Opt. f (x, y) s.a. g(x, y) = k
y juntando sus soluciones obtenemos la soluci´on del problema conjunto.
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo 1: Resolvamos el problema
Opt. x^2 + 4y^2 − 2 xy s.a. x^2 + 4y^2 ≤ 1
La funci´on objetivo, f (x, y) = x^2 + 4y^2 − 2 xy es continua y la regi´on factible compacta, luego el teorema de Weierstrass garantiza la existencia de m´aximos y m´ınimos absolutos. Estos ´optimos deben ser soluci´on de alguno de estos 2 problemas:
Opt. x^2 + 4y^2 − 2 xy s.a. x^2 + 4y^2 < 1
Opt. x^2 + 4y^2 − 2 xy s.a. x^2 + 4y^2 = 1
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo 2 Resolvamos Opt. x^2 + y
s.a
y ≤ 1 − x y ≤ 1 + x y ≥ 0
Este se puede resolver por el m´etodo gr´afico, pero veamos como se podr´ıa resolver usando las t´ecnicas de los temas 3 y 4, que se pueden usar para muchos m´as problemas (por ejemplo si no sabemos dibujar las curvas de nivel o alguna de las restricciones).
Como se puede aplicar el teorema de Weierstrass, tenemos garantizada la existencia de extremos globales.
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Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo 2 (continuaci´on) Busquemos los candidatos a extremos: En el interior de la regi´on factible: puntos cr´ıticos de f (x, y) = x^2 + y ∇f (x, y) = (2x, 1)
que no puede anularse, por tanto no hay puntos cr´ıticos de f y no hay extremos en el interior de la regi´on factible. En la frontera: a) Sobre la recta y = 1 − x: ser´ıan soluciones del problema Opt. x^2 + y s.a y = 1 − x
. Solo tiene un m´ınimo en (x, y) =
2 ,^
1 2
que est´a en la regi´on factible del problema original con lo que ya tenemos un candidato. Si no hubiera estado en la regi´on factible del problema original, no nos valdr´ıa. Joaqu´ın F. S´anchez Lara Anexo temas 3 y 4: Optimizaci´on con restricci´on de desigualdad 14 / 16
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo 2 (continuaci´on) En la frontera: b) Sobre la recta y = 1 + x: ser´ıan soluciones del problema Opt. x^2 + y s.a y = 1 + x
. Solo tiene un m´ınimo en (x, y) =
2 ,^
1 2
que tambi´en est´a en la regi´on factible del problema original con lo que tenemos otro candidato. c) Sobre la recta y = 0: ser´ıan soluciones del problema Opt. x^2 + y s.a y = 0
. Solo tiene un m´ınimo que se encuentra en
(0, 0), y ´este tambi´en est´a en la regi´on factible del problema original, por lo que tenemos otro candidato. d) Los “picos” de la frontera (ya que los problemas a), b) y c) no los pueden detectar): (− 1 , 0), (1, 0) y (1, 1).
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo 2 (continuaci´on) Por tanto tenemos los candidatos a extremos: ( 1 2
, (0, 0) , (− 1 , 0) , (1, 0) , y (0, 1)
y tenemos
f
, f
, f (0, 0) = 0 ,
f (− 1 , 0) = 1 , f (1, 0) = 1 , f (0, 1) = 1
por lo que el m´aximo global se alcanza en los puntos (− 1 , 0), (1, 0) y (0, 1) y vale 1 mientras que el m´ınimo global se alcanza en (0, 0) y vale − 1.
