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TEMA III. MATRICES REALES
1. Definición de matriz. Una matriz real de orden mxn siendo m y n números naturales es
un conjunto de mxn números distribuidos en “m” filas y “n” columnas.
Ejemplos:
4 x 3
2 x 3
A los números que componen las matrices se les llama elementos. Se representan en general
por la expresión aij donde “i” representa la fila y “j” la columna en la que se encuentra.
Ejemplo:
2 x 3 21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
2. Clases de matrices.
a) Si el número de filas es igual al de columnas se llama cuadrada
b) Si no es igual se llama rectangular
c) Si sólo hay una fila se llama matriz fila Ejemplo: ( 5 – 2 6 )
d) Si sólo hay una columna se llama matriz columna. Ejemplo:
e) Dada una matriz A, su traspuesta ( A
t
) es la que se obtiene al cambiar filas por
columnas en el mismo orden. Ejemplo: A =
2 x 3
A
t
3 x 2
f) Si todos los elementos de la matriz son 0 se llama matriz nula. Ejemplos: A=
2 x 3
B =
3 x 3
g) En las matrices cuadradas los elementos de la forma a
ii
forman la diagonal principal.
La otra diagonal se llama secundaria. Ejemplos :
. Los números 0,
1, 4 forman la diagonal principal y el 9, 1 y – 2 la secundaria
h) Una matriz cuadrada es simétrica si se cumple que aij = aji. Ejemplo:
i) Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si los elementos que no están en la
diagonal principal son 0. Ejemplo:
j) Una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1 se
llama matriz unidad o identidad. Ejemplo:
k) Una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o debajo de la diagonal
principal son 0 se llama matriz triangular. Ejemplo:
3. Igualdad de matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y además los elementos colocados en el
mismo lugar, valen lo mismo. (han de ser la misma matriz)
Ejemplo: Calcula a, b, c y d para que las matrices A =
b
a
y B =
d
c
sean
iguales
Sol: Comparándolas se tiene que a = 7 ; b = 5 ; c = 2 ; d = – 3
4. Operaciones con matrices
a) Suma. Dadas dos o más matrices del mismo orden, su suma es otra matriz del mismo
orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar
de las matrices sumandos.
Ejemplo:
2 x 3
2 x 3 2 x 3
b) Multiplicación por un número. Para multiplicar una matriz cualquiera por un número
real, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho número.
Ejemplo: – 2∙
2 x 3
2 x 3
c) Producto de matrices. El resultado de multiplicar dos matrices es otra matriz en la que el
elemento que ocupa el lugar c
ij
se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al
multiplicar todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la
columna “j” de la segunda matriz.
Ejemplo:
a)
c d
a b
b)
c d
a b
∙
5. Dadas A =
D
C
B
comprobar que a) A∙(B – D) = A∙B – A∙D b) A∙(B∙C) = (A∙B)∙C c) (C∙D)
t
= D
t
∙C
t
y calcula d) A
t
∙B e) (B – 2D)
t
SOLUCIONES
1) a) A – B =
b) 2A – 3B =
c) (A – B)
t
d) AB =
e) BA =
f) A
t
g) A
t
B =
2) a)
b)
c)
d)
e)
f)
3) a)
e )
5 a 7 b 4 c
2 a 3 b c
d )
b) 23 c )
4) a) a = 1 b = 2 c = 4 d = 10 b) a = 3 b = 0 c = 1 d = 2
5) a)
b c d e
6. Determinante de una matriz cuadrada
Es un número asociado a toda matriz cuadrada y que en el caso de las de 2x2 y 3x3 se calcula
de las siguientes maneras.
Sea A =
21 22
11 12
a a
a a
su determinante que se expresa
11 22 12 21
21 22
11 12 a ∙a a ∙a
a a
a a
A = = −
En el caso de que sea A =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
se calcula como:
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
A
11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11
a a a +a a a +a a a −a a a −a a a −a a a
Obsérvese que en este caso los productos positivos están formados por los elementos de la
diagonal principal y sus dos paralelas multiplicadas por el elemento que está en el extremo
opuesta. Análogo para la secundaria y sus paralelas. Este método es conocido como la “regla
de Sarrus”
Ejemplos:
Calcula 5 (^4 )^6 (^2 )^20128
2 4
5 6
A = − − − =− + =−
− −
=
Calcula
= − +− − + − − − −− − =
−
−
−
= 3 ( 3 ) 6 ( 2 ) 1 ( 4 ) 4 ∙ 2 ∙ 5 5 ( 3 )( 4 ) ( 2 ) 4 ∙ 6 1 ∙ 2 ∙ 3
4 2 6
4 3 1
3 2 5
A
7. Menor complementario y adjunto de un elemento
A =– 3∙A
12
+ 2∙A
22
+ (– 1)∙A
32
− =
− −
−
−
− +
− −
− ( 1 )
1 2
1 2
( 1 )∙
1 0
1 2
( 1 ) 2 ∙
1 0
1 2
( 3 )∙
= ( – 3)∙2∙( – 1) + 2∙2 + ( – 1)∙( – 4)∙( – 1) = 6 + 4 – 4 = 6 que coincide con Sarrus.
Se puede practicar eligiendo otra línea.
10. Propiedades de los determinantes
1. Si una matriz cuadrada tiene una l ínea con todos los elementos 0, el determinante vale 0
2. Si una matriz cuadrada tiene dos l íneas paralelas iguales, el determinante vale 0
3. Si una matriz cuadrada tiene dos l íneas paralelas proporcionales, el determinante vale 0
4. El determinante de una matriz cuadrada y el de su traspuesta valen lo mismo
5. Si se intercambian dos l íneas paralelas, el determinante cambia de signo
6. Si multiplicamos los elementos de una l ínea por un número, el determinante también queda
multiplicado por el mismo número
Ejemplo: Sea la matriz A =
. Su determinante vale A^ =32. Ahora multiplicamos
la segunda columna ( por ejemplo) por 3. Nos quedaría la matriz B =
. Su
determinante sería
B =
96 que sería 32∙
7. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de
dichas matrices, es decir
A∙ B =A ∙ B
8. Un determinante no var ía si le sumamos a una línea otra o más líneas paralelas
multiplicadas por números cualesquiera.
Esta propiedad es importante para calcular determinantes de matrices de órdenes superiores a
3 ya que podemos conseguir que una de las líneas tenga todos sus elementos igual a 0 excepto
uno y al calcular el determinante por adjuntos, el problema quede bastante reducido.
Ejemplo: Calcular este determinante
2 4 0 5
3 2 3 4
3 2 1 2
2 3 2 4
−
−
−
. Elegimos una línea que tenga
un 1 ó – 1. Por ejemplo la segunda fila. Según esta propiedad, el valor no cambia si
multiplicamos la tercera columna por – 3 y se la sumamos a la primera. Después repetiremos
el proceso multiplicando la tercera columna por 2 y se la sumaremos a la segunda y por
último, multiplicaremos la tercera columna por – 2 y se la sumaremos a la cuarta.
Obtendremos este
determinante:
2 4 0 5
6 8 3 2
0 0 1 0
8 1 2 8
−
− −
− −
. De esta forma hemos conseguido que la segunda fila
tenga todos los elementos 0 excepto el 1. Ahora desarrollamos el determinante por los
adjuntos de la segunda fila y al multiplicar cada adjunto por 0 nos dará 0, quedándonos
únicamente: 1∙A
23
= ∙(^1 )^286
2 4 5
6 8 2
8 1 8
− = −
−
− −
−
EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcular el valor de los siguientes determinantes:
a)
1 0 1
3 0 2
1 1 0
d )
2 1 2
3 1 3
7 2 6
c )
1 3 1
0 2 3
1 2 0
b )
1 3
2 5
− −
−
−
− −
−
−
−
e)
6 1 1 0
0 1 2 1
0 1 1 1
1 0 0 2
− −
−
f)
1 2 1 1
1 0 4 2
2 1 2 3
1 3 1 1
−
−
−
g)
1 1 1 2
2 1 1 0
0 1 2 1
1 2 0 1
− −
−
h)
2 4 0 5
3 2 3 4
3 2 1 2
2 3 2 4
−
−
−
SOLUCIONES a) 1 b) – 1 c) – 1 d) – 1 e) 11 f) – 9 g) – 29 h) – 286
11. Rango de una matriz.
Dada una matriz cualquiera ( no tiene porqué ser cuadrada), su rango es el orden (número de
filas o columnas) que tiene la mayor submatriz cuadrada que se puede extraer de la dada con
determinante distinto de 0.
Otra definición: El rango de una matriz cualquiera es el rango de las filas o columnas ( es el
mismo) considerando éstas como vectores de R
n
, es decir es el número de filas o columnas
linealmente independientes. Una consecuencia de esta definición, es que el rango no se
modifica si se permutan entre sí dos líneas paralelas
EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcular el rango de las matrices:
c )
b )
a )
c) Ad (A
t
d) A
∙Ad(A )
A
1 t
Se puede comprobar que es cierta multiplicándola por la A y viendo que nos da la matriz
Ejemplo 2: Calcular la matriz inversa de la A =
a)
A =− 2 ≠ 0
b) A
t
c) Ad(A
t
d) A
15. Propiedades de la matriz inversa
a) ( A ) A
1 1 =
− −
b) ( ) ( )
1 t t 1 A A
− −
= c)^
1 1 1 ( A∙B) B ∙A
− − −
= d) I
n
1
= In
e) A ( de orden n) es invertible ⇔^ rangA = n
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Calcular la matriz inversa, cuando se pueda de las matrices:
d )
c )
b )
1 3
a )
2) Halla los valores de λ para los que la matriz A =
λ −
λ
no tiene inversa
Nota: Serán aquellos valores que anulen el determinante
3) Halla los valores de “m” para los que la matriz A =
4 1 m
0 m 3
no tiene inversa
SOLUCIONES: 1) a)
b)
d )
c )
2) λ^ =^0 y λ=^7 3) m = 3 y m = 1
15. Transformaciones elementales de una matriz
Son de tres tipos:
a) Tipo I: consiste en permutar entre sí dos filas
b) Tipo II: consiste en multiplicar una fila por un número no nulo
c) Tipo III: consiste en sumar a una fila, otra multiplicada por un número no nulo
Ejemplo 1:
Sea A =
. Le aplicamos una transformación elemental del tipo I que
consiste en permutar las dos primeras filas. Se indicaría: F 1 F
2
y obtendríamos:
F
1
F
2
Ejemplo 2:
Sea A =
Le aplicamos una del tipo II consistente en multiplicar la 3ª
fila por – 2. Se escribiría F 3 –2 F
3
- 2, obtenemos la matriz elemental
Si le aplicamos una transformación del tipo III y sumamos a la primera fila la segunda
multiplicada por 3 obtenemos la matriz elemental
PROBLEMAS DE EXAMEN
1. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. Entonces (A
−
B)
2
es igual a:
a) A
2 −
B
2
b) A
2 −
2AB + B
2
c) A
2 −
AB
−
BA + B
2
d) A
2 −
AB + BA
−
B
2
Sol: Calculamos:
(A
−
B)
2
= (A
−
B)(A
−
B) = A∙A
−
BA
−
AB + B∙B = A
(^2) −
BA
−
AB + B
2
que es
la c).
Téngase en cuenta que el producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa. Entonces
A∙B ≠ B∙A y no se puede poner
−
BA
−
AB =
−
2A∙B
2. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. Determinar cu ál de las
siguientes afirmaciones es falsa:
a) (A
t
t
= A b) (A + B)
t
= A
t
+ B
t
c) (B∙A)
t
= B
t
∙A
t
d) r(B) = r(B
t
Sol: Por las propiedades de la trasposición de matrices, la respuesta falsa es la c) que sería:
(B∙A)
t
= A
t
∙B
t
3. La matriz real
1 b 0
1 a
es invertible si:
a) a (^) ≠ 1 y b (^) ≠ 0 b) a (^) ≠ 0 y b (^) ≠ 1 c) a (^) ≠ 0 d) b (^) ≠
−
Sol: Para que sea invertible su determinante ha de ser distinto de 0. Lo
calculamos:
( 1 )
1 0
1
a b
b
a
=− −
−
−
. La única posible es la b)
4. Consideremos la matriz real M =
a 1
0 b
a 0
. Se verifica:
a) r(M) = 0 si a = b = 0 b) r(M) = 2 si a ≠ 0
c) r(M) = 1 si b ≠ 0 d) r(M) = 1 si a ≠ 0 y b ≠ 0
Sol: El rango de una matriz es el número de filas o columnas L.I. En el caso a) la matriz sería
y el rango sería 1 y sería falsa. La c) es falsa ya que para esta matriz, por ejemplo:
el rango sería 2. La d) es falsa ya que para esta matriz por ejemplo
el rango
sería 2.
La respuesta es la b) ya que al no ser a igual a 0, las dos columnas son distintas de
y
nunca son proporcionales.
5. Sea A una matriz. Para que el producto A
2
= A∙A esté definido, es necesario y
suficiente que:
A =− 1 ;
t
A ; ( )=
t Ad A
=
− 1 A
que es la b)
Como se cumple que A∙A
1
= A
1
∙A = I, se puede hacer probando a multiplicarlas hasta obtener
la matriz unidad I =
8. La matriz real B =
0 1 b
a 1
es invertible si:
a) a (^) ≠
− 1 y b (^) ≠ 0 b) a = 0 c) a (^) ≠ 0 y b (^) ≠ 1 d) b = 1
Sol: Para que tenga inversa, su determinante ha de ser distinto de 0. Lo calculamos:
( 1 )
0 1
1
a b
b
a
= −
−
−
. La respuesta que lo hace distinto de 0 es la c)
- Dadas las matrices A = ( 0 1 ) B = ( 2 2 ) y C =
, la traspuesta de la
matriz 3A
−
3B
−
2C
t
es:
a) ( − 4 − 3 ) b)
c)
d)
Sol: Calculamos: 3A
−
3B
−
2C
t = 3 ( 0 1 )
− 3 ( 2 2 )
− 2 ( − 1 2 )= ( − 4 − 7 ) y
su
traspuesta es la b)
10. La inversa de la matriz A =
es:
a)
b)
c)
d)
Sol:
A = 1
; A
t
; Ad (A
t
; A
1
que es
la a)
11. Las matrices reales A =
μ
μ
y B =
1 λ
conmutan si.
a)
μ
= 13 y λ= 1 b)
μ
= 1 o λ= 1 c) λ= 0 d) λ∙
μ
Sol: Para que A∙B = B∙A se ha de cumplir que
Al multiplicar nos da:
. Se cumple si
μ
= 13 y λ= 1 que es la a)
12. Sea a un n úmero real y consideremos la matriz real siguiente A =
1 1 a
Si a (^) ≠ − 1 y r es el rango de la matriz A , entonces necesariamente se verifica:
a) r = 2 b) r = 3 c) r = 1 d) Ninguna de las anteriores
Sol: Calculamos el determinante 1
1 1
0 1 0
1 1 1
= −
− −
−
a
a
Entonces sabemos por hipótesis que a (^) ≠ − 1. Pero es a = 1 el rango es 2.
Para los demás casos es 3. La respuesta es la d)
13. Dadas las matrices reales A =
; B =
y C = (^ − 1 − 1 2 ). La
traspuesta de la matriz 2A
−
2B
−
3C
t
es:
Lo calculamos: 2 6 4
2 1
1 0
3 2 1
= − +
−
ab a
b
a . La solución que no lo hace 0 es la c)
17. Sean las matrices reales A =
0 a
y B =
1 b
Se tiene que (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
si:
a) a = 1 y b = 0 b) Para cualquier valor de a y b
c) a = 0 y b = 3 d) a = 3 y b = 18
Sol: A + B =
1 a +b
; (A + B)
2
1 a +b
1 a +b
2
a b a b
A
2
+ 2AB + B
2
0 a
0 a
0 a
1 b
1 b
1 b
2
a
2 a 2 ab
2
b b
2 2
a b a ab b
que se cumple sólo si a = 3 y b = 18 que es la d)
18. Dadas las matrices reales A =
; B =
y C =
la traspuesta de la matriz D = A∙B∙C es:
a)
b)
c)
d)
Sol: Calculamos D =
y su traspuesta es:
que es la d)
19. Sea la matriz A =
1 a 1 0
donde a es un parámetro real. Su rango es:
a) 3 para cualquier a b) 2 si y sólo si a = 0 c) 3 si a = 0 d) 4 si a =
−
Sol: La respuesta d) no es posible al ser como máximo de rango 3, al tener tres filas. Al no ser
proporcionales, la primera y la tercera son L.I. y el rango de momento es 2. Veamos si la
cuarta columna depende de éstas. Calculamos:
0
0 3 3
1 1 0
1 0 1
=
−
−
−
. De momento sigue
siendo 2. Ahora discutimos el rango según la segunda columna.
Calculamos 3 6
0 0 3
1 1
1 2 0
=− −
−
− a a que se anula para a =
−
2. Por tanto si no toma este
valor el rango es 3 que es la c).
20. Sea la matriz A =
0 a 2
1 a 0
. Se verifica:
a) r(A) = 3 si a =
−
1 b) r(A) = 2 si a =
−
c) r(A) = 2 si a =
−
3 d) r(A) = 3 para cualquier valor de a
Sol: Calculamos 6 6
2 3 2
0 2
1 0
= +
−
a a
a
que se anula para a =
−
La respuesta es la b) ya que para ese valor, hay dos columnas L.I. que es la b)
