Exercicis d’ `
Algebra Curs 2017-2018, 1a llista
Grau en Enginyeria Inform`atica
I. Nombres complexos
1. Calculeu la part real, la part imagin`aria, el m`odul, el conjugat i l’invers, de cadascun dels
nombres complexos seg¨uents:
(1 + i)3,(1 + i)6, i17,i−1
i+ 1 i7+i+ 1,(3 + 3i)4,(−i)−1,i−4
2i−3.
2. Expresseu cadascun dels seg¨uents nombres complexos en forma polar:
−5i, 1 + √3i, 3 + 3i, 5√3+5i, −π, −7+7i, 1−√3i
2,cos(π
5)−isin(π
5).
Calculeu (3 + 3i)829, (5√3 + 5i)135 , (−7 + 7i)1017, [(1 −√3i)/2]4002.
3. Calculeu la part real, la part imagin`aria, el m`odul, el conjugat i l’invers, de cadascun
nombres complexos seg¨uents:
eiπ,2e−2π i/3, ecos(2), ecos(2)i,12eπi/6, e2πi/3+e4π i/3, e−1+iπ/4, e5+iπ/2.
4. Dibuixeu en el pla complex els subconjunts seg¨uents:
A1={z∈C:|z+ 3|<2}, A2={z∈C:|Re z|+|Im z|<1},
A3={z∈C:|z| − z=i}, A4={z∈C:|z| ≤ Re z+ 2}
5. Calculeu les arrels quadrades, expressades en forma cartesiana, de tots els nombres com-
plexos dels exercicis 2 i 3.
6. Proveu que per a tot nombre complex zes t´e ez= 0. Proveu que per a tot parell z, w de
nombres complexos, la igualtat ez=ewequival a z−w∈2πiZ.
7. Trobeu f´ormules trigonom`etriques de sin(3x) i cos(3x) en funci´o de sin(x),cos(x),sin(2x)
i cos(2x).
8. Calculeu les arrels c´ubiques, en forma polar, dels nombres complexos
−1, i, e, 8,1 + i
9. Trobeu les arrels dels polinomis quadr`atics i biquadr`atics seg¨uents:
x2+ 3x+ 4 x2+ 4i x2+√5
x2+ 2ix +i−1x2+ 2ix +√3i x2+ 2ix −√3i
x4+ 4x2+ 3 x4+x2+ 1 x4−(1 −i)x2−i
10. Factoritzeu, a C[x]iaR[x], els polinomis: x4+ 16, x3+ 27, x4−1, x6+x3+ 4.
11. Factoritzeu a C[x]iaR[x] el polinomi x4+x3+x2+x+ 1.
Indicaci´o: Calculeu el pro ducte (x4+x3+x2+x+ 1)(x−1).
12. Factoritzeu a C[x] els polinomis:
x3+ (i−1)x2+ (1 −i)x−1, x3+i, x3−(√3 + i).
