Matrius (II)
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Asignatura: Algebra, Profesor: , Carrera: Estadística, Universidad: UB
Tipo: Ejercicios
2017/2018
1 / 36
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Matrius (II)
Matrius elementals.
Definici´o: S’anomena matriu elemental a la que resulta d’aplicar una
transformaci´o elemental a la matriu identitat.
Matrius elementals.
Definici´o: S’anomena matriu elemental a la que resulta d’aplicar una
transformaci´o elemental a la matriu identitat.
Tipus de transformacions elementals: Tipus I (intercanvi de files)
Eij =
Eij A intercanvia les files i i j de la matriu A.
Eij A, intercanvia les files i i j de la matriu A,
comprovem-ho:
a 11 · · · · · · · a 1 m
· · · · · · · · ·
ai 1 · · · · · · · aim
· · · · · · · · ·
aj 1 · · · · · · · ajm
· · · · · · · · ·
an 1 · · · · · · · anm
a 11 · · · · · · · a 1 m
· · · · · · · · ·
aj 1 · · · · · · · ajm
· · · · · · · · ·
ai 1 · · · · · · · aim
· · · · · · · · ·
an 1 · · · · · · · anm
Tipus II, multiplica fila per escalar
Ei (k) =
· · · · k · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · 1
Ei A, multiplica per k la fila i-`essima de A.
Tipus III, suma fila, pr`eviament multiplicada per un
escalar.
Eij (k) =
0 · 1 · k · 0
· · · · · · ·
0 · · · 1 · 0
· · · · · · ·
0 · · · · · 1
Eij (k)A suma k vegades la fila j a la fila i; la fila j la deixa igual.
La idea ´es que EA, on E ´es alguna matriu elemental, s’obt´e de A aplicant
a les seves files la mateixa transformaci´o elemental amb que E s’obt´e de I.
Si considerem AE tenim el mateix que abans per`o ara tot el que diem ´es
relatiu a columnes.
La idea ´es que EA, on E ´es alguna matriu elemental, s’obt´e de A aplicant
a les seves files la mateixa transformaci´o elemental amb que E s’obt´e de I.
Si considerem AE tenim el mateix que abans per`o ara tot el que diem ´es
relatiu a columnes.
Corol·lari Sigui H la forma normal de Hermite per files de A, llavors
H = E 1 E 2 · · · Ek A
on les Ei s´on matrius elementals.
Matriu inversa
Ens limitem ara a matrius quadrades.
Definici´o: A ´es invertible si i nom´es si existeix B tal que
AB = I = BA
B es representa per A
− 1 .
Matriu inversa
Ens limitem ara a matrius quadrades.
Definici´o: A ´es invertible si i nom´es si existeix B tal que
AB = I = BA
B es representa per A
− 1 .
Propietats elementals de les matrius invertibles:
Matriu inversa
Ens limitem ara a matrius quadrades.
Definici´o: A ´es invertible si i nom´es si existeix B tal que
AB = I = BA
B es representa per A
− 1 .
Propietats elementals de les matrius invertibles: Si A i B s´on
invertibles, llavors AB i BA tamb´e ho s´on.
B
− 1 A
− 1 AB = I , per tant B
− 1 A
− 1 = (AB)
− 1
De la mateixa manera es veu que A
− 1 B
− 1 = (BA)
− 1 .
Matriu inversa
Ens limitem ara a matrius quadrades.
Definici´o: A ´es invertible si i nom´es si existeix B tal que
AB = I = BA
B es representa per A
− 1 .
Propietats elementals de les matrius invertibles: Si A i B s´on
invertibles, llavors AB i BA tamb´e ho s´on.
B
− 1 A
− 1 AB = I , per tant B
− 1 A
− 1 = (AB)
− 1
De la mateixa manera es veu que A
− 1 B
− 1 = (BA)
− 1 .
Si A ´es invertible, llavors A
t tamb´e ho ´es:
Com que BA = I per ser A invertible, tenim (BA)
t = I = A
t B
t = I o sigui
B
t = (A
− 1 )
t = (A
t )
− 1 .
Lema
Tota matriu elemental ´es invertible i la seva inversa tamb´e ´es elemental.
Demostraci´o: En efecte, Eij Eji = I.
Lema
Tota matriu elemental ´es invertible i la seva inversa tamb´e ´es elemental.
Demostraci´o: En efecte, Eij Eji = I.
(Ei (k))
− 1 = Ei (
1 k