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- Determine el espacio factible para cada una de las siguientes restricciones independientes dado que 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥ 0. (a) − 3 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥ 6 Haciendo − 3 𝑥 1 + 𝑥 2 = 6 encontramos los puntos de cortes con los ejes coordenados así. Si 𝑥 1 = 0 , entonces 𝑥 2 = 6 , y si 𝑥 2 = 0 , tendremos que 𝑥 1 = − 2 y despejando 𝑥 2 tendremos 𝑥 2 = 3 𝑥 1 + 6. La región que se encuentra en el primer cuadrante sombreado de azul, representa el espacio factible para dicha solución, dado que 𝑥 1 ,𝑥 2 ≥ 0
(b) 𝑥 1 − 2 𝑥 2 ≥ 5 Haciendo 𝑥 1 − 2 𝑥 2 = 5 encontramos los puntos de cortes con los ejes coordenados así. Si 𝑥 1 = 0 , entonces 𝑥 2 = − 5 2 , y si^ 𝑥^2 =^0 , tendremos que^ 𝑥^1 =^5 y despejando 𝑥 2 tendremos 𝑥 2 = 𝑥 1 − 5
La región que se encuentra en el primer cuadrante sombreado de azul, representa el espacio factible para dicha solución, dado que 𝑥 1 ,𝑥 2 ≥ 0
(d) 𝑥 1 − 𝑥 2 ≤ 0 Haciendo 𝑥 1 − 𝑥 2 = 0 encontramos los puntos de cortes con los ejes coordenados así. Si 𝑥 1 = 0 , entonces 𝑥 2 = 0 , y si 𝑥 2 = 0 , tendremos que 𝑥 1 = 0 y despejando 𝑥 2 tendremos 𝑥 2 = 𝑥 1 La región que se encuentra en el primer cuadrante sombreado de azul, representa el espacio factible para dicha solución, dado que 𝑥 1 ,𝑥 2 ≥ 0
(e) −𝑥 1 + 𝑥 2 ≥ 0 Haciendo −𝑥 1 + 𝑥 2 = 0 encontramos los puntos de cortes con los ejes coordenados así. Si 𝑥 1 = 0 , entonces 𝑥 2 = 0 , y si 𝑥 2 = 0 , tendremos que 𝑥 1 = 0 y despejando 𝑥 2 tendremos 𝑥 2 = 𝑥 1
Graficando estas 3 funciones tenemos. Como podemos ver la flecha en color negro, indica la dirección del incremento de Z. (b) Maximizar 𝑧 = − 5 𝑥 1 − 6 𝑥 2 Para esto daremos una serie de valores a z para que por medio de estos podamos generar una serie de rectas que nos permitirán determinar la dirección. Para maximizar 𝑧 = 𝑥 1 − 𝑥 2 tomemos 3 valores para Z los cuales podría ser 2, 4 y 6, obteniendo:
Graficando, tenemos: Como podemos ver la flecha en color negro, indica la dirección del incremento de Z. (c) Maximizar 𝑧 = − 3 𝑥 1 + 𝑥 2 Para esto daremos una serie de valores a z para que por medio de estos podamos generar una serie de rectas que nos permitirán determinar la dirección. Para hecho tomemos los valores 2, 4 y 6 para z
Graficando tenemos:
- Determine el espacio de soluciones y la solución óptima del modelo de Reddy Mikks para cada uno de los siguientes cambios independientes.
La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambio
Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará
factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del
problema de maximización.
Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes
del plano
Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)
Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)
Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el
sistema de ecuaciones:
Sustituyendo x 1 en la ecuación 2 se tiene:
Sustituyendo x 1 en la ecuación 1 se tiene:
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 2
Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene:
Sujeta a:
La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambio:
Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará
factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del
problema de maximización.
Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes
del plano
Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)
Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)
Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el
sistema de ecuaciones:
Sustituyendo x 2 en la ecuación 2 se tiene:
Sustituyendo x 2 en la ecuación 1 se tiene:
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 2
Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene:
Al sumar encontramos que
Veamos ahora la grafica
La región en verde es la región factible y solo esta dentro de ella los puntos
se corte de la recta 2 con el eje y, el corte entre la recta 2 y la recta 3 y el
corte entre la recta 3 con el eje y, dichos puntos son:
(0,2), (0,3) y (2,2)
Maximizar
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 2
Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene:
Al sumar encontramos que
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 3
Multiplicando 1 por 1 y 2 por 6 se tiene:
Al sumar encontramos que
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 2 y 3
Al sumar encontramos que
Veamos ahora la grafica
La región amarilla es la región factible debido a que la línea azul solo hace
parte de la solución
Los puntos que hacen parte de la solución son: (4,0), (0,3), (1.3,2.3) y
,3/2) y (0,1)
Maximizar
Por tanto el máximo es 21 mil dólares cuando se usa 3 toneladas de pintura
para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores.
d. La disponibilidad diaria de materia prima, M1 es de por lo menos 24
toneladas
Maximizar
Sujeta a:
La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambio:
Los únicos puntos de la solución son los que están en la zona fuxia de
modo que dichos puntos son: (4,0), (6,0) y (3,1.5)
Maximizar
Por tanto el máximo es 30 mil dólares cuando se usa 6 toneladas de pintura
para exteriores solamente.
e. La disponibilidad diaria de materia prima M1, es de 24 toneladas como
mínimo y la demanda diaria de pintura para interiores excede a la de pintura
para exteriores es por lo menos 1 tonelada.
Maximizar
Sujeta a:
Las ecuaciones en rojo son las que han determinado cambios:
Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará
factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del
problema de maximización.
Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes
del plano
Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)
Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)
Por ello tenemos los puntos (0,1) y (-1,0)
Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el
sistema de ecuaciones:
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 2
Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene:
