Metodo simplex en Inv Ope, Resúmenes de Investigación de Operaciones

¡Descarga Metodo simplex en Inv Ope y más Resúmenes en PDF de Investigación de Operaciones solo en Docsity!

DE LIBRES

GABRIELA ROMERO GARCÍA

C

ING. INDUSTRIAL 4B

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES

TEMA: APRENDIZAJE III – MÉTODO

SIMPLEX

DE LIBRES

MÉTODO SIMPLEX

El método gráfico indica que la solución óptima de un programa lineal siempre está asociada con un punto esquina del espacio de soluciones. Este resultado es la clave del método simplex algebraico y general para resolver cualquier modelo de programación lineal. La transición de la solución del punto esquina geométrico hasta el método simplex implica un procedimiento que determina en forma algebraica los puntos esquina. Esto se logra convirtiendo primero a todas las restricciones de desigualdad en ecuaciones, para después manipular esas ecuaciones en una forma sistemática. Una propiedad general del método simplex es que resuelve la programación lineal en iteraciones. Cada iteración desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tiene potencial de mejorar el valor de la función objetivo. El proceso termina cuando ya no se pueden obtener mejoras. El método simplex implica cálculos tediosos y voluminosos, lo que hace que la computadora sea una herramienta esencial para resolver los problemas de programación lineal. Por consiguiente, las reglas computacionales del método simplex se adaptan para facilitar el cálculo automático. Para estandarizar, la representación algebraica del espacio de soluciones de programación lineal se forma bajo dos condiciones:  Todas las restricciones (excepto las de no negatividad) son ecuaciones con lado derecho no negativo.  Todas las variables son no negativas.

DE LIBRES

positiva o cero, entonces puede asignársele su valor a una variable cumpliendo con las condiciones de no negatividad. Por una convención, se le asigna a esta variable el nombre de X3 (O el subíndice que correspondiera, según la cantidad de variables del problema). La misma restricción entonces, queda escrita como: 2 X1 + 3 X2 + X3 = 600 Esto no cambia las condiciones del problema (que sigue siendo el mismo), ya que si, por ejemplo, la suma 2 X1 + 3 X2 resulta ser 480, el Método Simplex asignará los 120 restantes a la variable X3. Si intentara asignar un valor de 700 a la suma mencionada, el Simplex no encontrará un valor para darle a la variable X3 (ya que no puede darle valores negativos) y nos dirá que no existe una solución válida para el problema. Podemos ver, entonces, que la variable X3 nos va a indicar cuántos metros cuadrados de tela quedan sin utilizar (o sea, cuantos metros cuadrados faltan usar para llegar al límite máximo de 600). A este tipo de variables se las denomina variables salck o de holgura. El problema queda entonces reescrito así: 2 X1 + 3 X2 + X3 = 600 4 X2 + X4 = 600 2 X1 + X2 + X5 = 500 Z(máx) = 8 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X

DE LIBRES

Para armar la tabla inicial, se debe comenzar por la matriz A. Esta matriz tiene tantas filas como restricciones tenga el problema, y tantas columnas como variables haya, incluidas las slacks. Los valores de cada elemento de la matriz serán los coeficientes de cada variable (columna de la matriz) en cada restricción (fila de la matriz). En nuestro problema, la matriz A quedaría expresada así: Esta matriz debe incluir a la matriz identidad de orden N, siendo N la cantidad de restricciones del problema. Siempre habrá más columnas que filas en A, ya que en el paso anterior hemos agregado una variable slack por cada restricción. La diferencia entre la cantidad de columnas y de filas será, entonces, la cantidad de variables reales del problema original. Las columnas que forman la matriz identidad no necesitan estar ordenadas. En este caso, por ser todas las restricciones del problema de menor o igual, la matriz identidad estará formada por las columnas de las variables slack. Más adelante, veremos qué sucede cuando esto no es así. (En el apartado Variables Artificiales). La matriz A pasa a formar la parte central o estructura de la tabla, que se arma así:

DE LIBRES

SIGNIFICADO DE LA TABLA DE SIMPLEX

La tabla representa un vértice del poliedro del problema. Este vértice es el determinado por la intersección de las rectas asociadas a las variables que no están representadas por la base canónica. (Esta base está formada por las variables incluidas en la matriz identidad, o sea cuyas columnas tienen como coeficientes uno en la intersección con su propia fila y cero en las demás). En este problema, las variables que no están en la base canónica son X y X2. En dicho vértice, los valores de estas variables son iguales a cero (no se produce ningún mantel), y las demás variables tienen los valores indicados en la columna B (X3 = 600; X4 = 600 y X5 = 500; o sea sobra la totalidad de los recursos).

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR

DE LIBRES

RESOLUCIÓN GRÁFICA

Esta es la resolución gráfica del ejercicio. La primera tabla, en donde X1 y X2 valen cero y sobra la totalidad de los recursos, es el punto A (el origen de coordenadas). Luego se pasa al punto B, donde X1 vale cero y X2 vale 150. La traza del funcional que pasa por este punto, ya no pasa por el origen, entonces su valor ya es distinto de cero (es 1500). El siguiente es el punto C, la intersección de X4 = 0 y X3 = 0. Las demás variables valen 75 (X1), 150 (X2) y 200 (X5). La traza del funcional continúa alejándose del origen y ahora vale 2100. La tabla óptima corresponde al punto D, donde están saturados los recursos 1 y 3 (correspondientes a X2 y X5). Este es el punto óptimo, ya que si pasáramos al siguiente punto (E), el funcional retrocedería.

DE LIBRES

Tipo de optimización. E l objetivo del método consistirá en optimizar el valor de la función objetivo. Sin embargo, se presentan dos opciones: obtener el valor óptimo mayor (maximizar) u obtener el valor óptimo menor (minimizar). Además, existen diferencias en el algoritmo entre el objetivo de maximización y el de minimización en cuanto al criterio de condición de parada para finalizar las interacciones y a las condiciones de entrada y salida de la base. Objetivo de maximización. Condición de parada: Cuando en la fila Z no aparece ningún valor negativo. Condición de entrada a la base: el menor valor negativo en la fila Z (o el de mayor valor absoluto entre los negativos) indica la variable Pj que entra a la base. Condición de salida de la base: Una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente positivos. Objetivo de minimización. Condición de parada: Cuando en la fila Z no aparece ningún valor positivo. Condición de entrada a la base: El mayor valor positivo en la fila Z indica la variable Pj que entra a la base. Condición de salida de la base: una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente negativos. Ventajas: No hay que preocuparse por nuevos criterios de parada, condición de entrada y salida de la base ya que se mantienen.

DE LIBRES

Referencias: TAHA Handy A., Investigación de Operaciones, Séptima Edición. https://cpcubo.com/%C2%BFen-que-consiste-el-metodo-simplex/ PHP Simplex. (2006, junio). Método Simplex. Recuperado de http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm