Método Simplex - IO 1, Apuntes de Investigación de Operaciones

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MÉTODO SIMPLEX

Reglas de la formulación:

Max (z) = Min (-z)

Min (z) = Max (-z)

Ri ≥ bi → Ri - si = bi Variable Supérflua (S)

R

i

≤ b

i → R i

+ h

i

= b

i Variable de Holgura (h)

R

i

≤ b

i → - R i

≥ - b

i

R

i

≥ b

i → - R i

≤ - b

i

R

i

= b

i →

Ri ≥ bi

R

i

≤ b

i 6.- Si Xj n.r.s. , se debe realizar cambio de variable

X

j

= X

j

´ - X

j

´´ , donde X

j

´ ≥0 y X

j

5.- Si Xj ≤ 0, se debe realizar cambio de variable

X

j

= - X

j

´ , donde X

j

Algoritmo SIMPLEX: Fase 1 :

1. Formular el problema en Formato Estándar.
2. Transferir los coeficientes de la fila Z y de las Restricciones Funcionales en la Tabla Inicial o Tabla Cero. FASE 2 :
3. Verificar la optimalidad de la Tabla, constatanto que los coeficientes fila Z sean Cero ( 0 ) o mayor que (>) Cero ( 0 ) para el caso de Maximizar. Para el caso de Minimizar Cero ( 0 ) o menor que (<) Cero ( 0 ). Si cumple con la condición, se encontró la solución óptima ( luego termina), caso contrario continuar con el Paso
4. Establecer la columna de la variable que entra a la base, considerando el coeficiente más negativo de la fila Z (caso de Max) o coeficiente más positivo de la fila Z(caso Min). Luego se determina la fila de variable que sale de base como aquella que tiene el menor radio, que resulta de dividir el lado derecho y el valor del coeficiente de la columna que entra a la base. FASE 3 :
5. Identificar el elemento PIVOTE como el coeficiente que resulta de la intersección de la columna que entra a la base y la fila que sale de la base.
6. Realizar operaciones Gauss – Jordan de operaciones fila-columna para encontrar la siguiente iteración. Pasar al Paso 3.

Ejemplo de Simplex:

Vamos a resolver el problema Gepetto:

Cambio de variable x = x 1 e y= x 2

Función Objetivo:

Max Z= 3x 1 + 2x 2 (función objetivo)

Sujeto a (s.a:)

2 x 1 + x 2 ≤ 100 (restricción de acabado) x 1 + x 2 ≤ 80 (restricción de carpinteria) x 1 ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos) Restricciones de no negatividad:

x 1 ≥ 0 (restricción de signo)

x 2 ≥ 0 (restricción de signo)

FORMA ESTANDAR:

1Z - 3 x 1 - 2 x 2 + 0 h 1 + 0 h 2 + 0 h 3 = 0

0Z + 2 x 1 + x 2 +1h 1 + 0h 2 +0h 3 = 100

0Z + x 1 + x 2 +0h 1 + 1h 2 +0h 3 = 80

0Z + x 1 + 0x 2 +0h 1 + 0h 2 +1h 3 = 40

x 1 , x 2 , h1 , h 2 , h 3 ≥ 0

F.O.:

S.a:

2. Paso 2 : Escribir en la tabla inicial simplex (Iteración Cero): En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción, la primera fila con los coeficientes de la función objetivo. Iteración Inicial (Iteración Cero) Base Z Variables No-Básicas (VNB0)– Iteración cero Variables Básicas (VB0) Iteración cero Solució n Coeficiente VB X 1 X 2 h 1 h 2 h 3 LD Radio ρ Z 1 - 3 - 2 0 0 0 0 h 1

h 2 0 1 1 0 1 0 80 h 3 0 1 0 0 0 1 40

3. Paso 3 : Verificar la optimalidad de la tabla, al tratarse de un problema de MAXIMIZAR, todos los coeficientes de la fila Z deben cero o mayor que cero. Iteración Inicial (Iteración Cero) Base Z Variables No-Básicas (VNB0)– Iteración cero Variables Básicas (VB0) Iteración cero Solució n Coeficiente VB X 1 X 2 h 1 h 2 h 3 LD Radio ρ Z 1 - 3 - 2 0 0 0 0 h 1

h 2 0 1 1 0 1 0 80 h 3 0 1 0 0 0 1 40 Dos coeficientes que no cumplen con la condición de optimalidad

4. Paso 4 A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, (FLECHA AZUL PARTE SUPERIOR), observamos la primera fila, la cual muestra los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente más negativo (en valor absoluto). - En este caso, la variable X 1 de coeficiente - 3. - Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige cualquiera de ellos. - Si en la primera fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la primera fila fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color verde fosforescente).

Iteración Inicial (Iteración UNO) Base Z Variables No-Básicas (VNB0)– Iteración cero Variables Básicas (VB0) Iteración cero Solució n Coeficiente VB X 1 X 2 h 1 h 2 h 3 LD Radio ρ Z 1 - 3 - 2 0 0 0 0 h 1 0 2 1 1 0 0 100 100/2= h 2

h 3 0 1 0 0 0 1 40 40/1=4040/1= Menor radio

Coeficiente más negativo

Paso 5:

En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el ELEMENTO PIVOTE, 1 , este indica que la variable de decisión X 1 entra y la variable de holgura h 3 sale. Paso 6: Encontrar los coeficientes para la nueva tabla simplex. Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila por el valor del ELEMENTO PIVOTE “ 1 ”, ya que este se debe convertir en 1. En nuestro caso ya es uno, por tanto la división nos da los mismos valores. A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.

• Para la columna de X 1 (variable que entra a la Base), se debe tener el vector unitario en la nueva Iteración, esto por definición de Variable Básica, para ello se aplica operaciones fila-columna. Base VB Z h 1 h 2 h 3 Base VB Z h 1 h 2 X 1

X 1

Iteración “0” (^) Iteración “1”

Para la nueva fila de X 1 (variable que entra a la Base), se divide los coeficientes la fila de h 3 (variable que sale de la Base) entre el valor del ELEMENTO PIVOTE. h 3

Divido por “ 1 ” X 1 0 1 0 0 0 1 40 Para Fila “ X

”: ELEMENTO PIVOTE

Para Fila “ h

”: X 1 0 1 0 0 0 1 40 Fila de variable que entró a la Base (nueva): Fila de h 1 de la Iteración Cero:

• Para operar sobre la fila h 1 , se multiplica la fila de la Variable que entró a la Base por el coeficiente que debe ser cero cambiado de signo (multiplicado por (-1)), en este caso por “-2”. Multiplicar por “ - 2 ” 0 - 2 0 0 0 - 2 - 80

Estos coeficientes se suman a los de la Fila h 1 inicial

Nueva Fila “ h 1 ”

h 1 0 2 1 1 0 0 100 100/2= Elemento que debe ser “Cero” h 1

Para Fila “ h

”: X 1 0 1 0 0 0 1 40 Fila de variable que entró a la Base (nueva): Fila de h 2 de la Iteración Cero:

• Para operar sobre la fila h 2 , se multiplica la fila de la Variable que entró a la Base por el coeficiente que debe ser cero cambiado de signo (multiplicado por (-1)), en este caso por “-1”. Multiplicar por “ - 1 ” 0 - 1 0 0 0 - 1 - 40

Estos coeficientes se suman a los de la Fila h 1 inicial

Nueva Fila “ h 2 ”

h 2 0 1 1 0 1 0 80 Elemento que debe ser “Cero” h 2 0 0 1 0 1 - 1 40