Metodo Simplex, para problemas del compendio, Esquemas y mapas conceptuales de Investigación Cualitativa

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El método Simplex permite resolver cualquier problema de

programación lineal. Todos los software y aplicativos se basan en el

método simplex.

Para la solución de un problema, se debe partir de la forma estándar.

Si aplicamos el método simplex al caso del carpintero que fabrica

mesas y sillas, tomando la versión estándar ya obtenida en el método

Algebraico.

Ejemplo 1: Maximizar Z = 7 X 1

+ 5 X

2

+0 X

3

+ 0 X

4

s. a.

4 X

1

+ 3 X

2

+ X

3

+ 0 X

4

2 X

1

+ X

2

+ 0 X

3

+ X

4

X

1

, X

2

, X

3

, X

4

En base a ello construimos la tabla del simplex con los coeficientes de

la FO (encabezado) y con los coeficientes de las restricciones para la

primera tabla.

Completando la tabla 1

Ahora hay que evaluar la tabla 1, para ello se calcula Zj (utilidad

bruta), y (Cj – Zj) que corresponde a la utilidad neta.

Para calcular Zj para cada columna se multiplican los Cj de las

variables básicas por los coeficientes de la columna en la tabla 1. Los

valores que se calculan seguidamente, deben ocupar el lugar indicado

con letras de color rojo.

Z1 = 0(4)+0(2)=0 Z2 = 0(3)+0(1)=0 Z3 = 0(1)+0(0)=

Z4 = 0(0)+0(1)=0 ZT =

Cj

VARIABLES

X CANT RELACIÓN

1

X

2

X

3

X

4

0 X

3

0 X

4

Zj Z1 Z2 Z3 Z4 ZT

(Cj – Zj)

Completando la tabla 1

Para calcular (Cj-Zj) se resta el coeficiente de la FO (parte superior de

la tabla) menos el correspondientes Zj. De la siguiente forma:

Para determinar el pivote, seleccionar el mayor positivo (Cj –Zj),

para nuestro caso es el 7. Quiere decir que el pivote estará en la

columna de X 1

(solo pueden ser el 4 o el 2).

Para calcular la relación, dividimos cada valor de la columna

“cantidad” entre cada coeficiente de la columna de X 1

Cj

VARIABLES

X CANT RELACIÓN

1

X

2

X

3

X

4

0 X

3

0 X

4

Zj 0 0 0 0 0

(Cj – Zj) (^7 5 0 0)  Mayor (+)

Cualquier tabla (excepto la 1ª) se construye en base a la anterior.

Primero se debe reemplazar una variable básica (la variable de la

columna del pivote reemplaza a la variable de la fila), todas las

demás variables básicas continúan.

Para la tabla 2 , la variable X 1

reemplaza a X 4

en la misma fila 2, X 3

continúa en la fila 1 (con sus respectivos coeficientes o Cj).

Luego se calcula la 2ª fila (porque el pivote está en la 2ª fila),

dividiendo toda la segunda fila de la tabla 1 entre pivote (2), el

resultado se anota en la segunda fila de la tabla 2.

Cj

VARIABLES

X CANT RELACIÓN

1

X

2

X

3

X

4

0 X

3

7 X

1

Zj Menor

(Cj – Zj) (^)  Mayor

La columna del pivote en la nueva tabla, que en cualquier simplex ya

tiene el 1 generado en el paso anterior, se completa con ceros para

formar un vector unitario, entonces el elemento que falta en la

columna X 1

debe ser cero, en este caso es un solo cero (ver el cero

sobre el 1 de la columna X 1

). Con eso se formó un vector unitario en

la tabla 2.

Cj

VARIABLES

X CANT RELACIÓN

1

X

2

X

3

X

4

0 X

3

7 X

1

Zj Menor

(Cj – Zj) (^)  Mayor

Ahora completamos la evaluación de la tabla 2, hasta determinar el

nuevo pivote como en la tabla 1.

Tabla 2

Esta solución es fabricar solo 50 mesas (X 1

) con la FO=$350, igual a

la solución 6 del Método algebraico y al punto C del método gráfico.

El nuevo pivote es el 1 de la columna de X 2

; entonces para una

tercera y última tabla X 2

entrará en lugar de X 3

; porque debe ser

variable básica. El proceso se torna repetitivo, es decir a partir de la

tabla2 se calcula la tabla 3.

Cj

VARIABLES

CANT RELACIÓN

X

1

X

2

X

3

X

4

0 X

3

7 X

1

Zj 7 7/2 0 7/2 350 Menor

(Cj – Zj) 0 3/2 0 -7/2 (^)  Mayor (+)

Ahora presentamos el problema terminado

La solución del problema es X 1

= 30; X

2

= 40; Z= 410; X

3

= X

4

Solución que coincide con las obtenidas por el método algebraico y

gráfico para este mismo problema.

Condición para Maximizar (Cj –Zj) ≤ 0

Cj

VARIABLES

7 5 0 0

X1 X2 X3 X4 CANT RELACIÓN

0 X 3

4 3 1 0 240 60

0 X 4

(2) 1 0 1 100 50

Zj 0 0 0 0 0 Menor

(Cj – Zj) (^7 5 0 0)  Mayor (+)

0 X 3 0 (1) 1 -2 40 40

7 X 1 1 1/2 0 1/2 50 100

Zj 7 7/2 0 7/2 350 Menor

(Cj – Zj) 0 3/2 0 -7/2 (^)  Mayor (+)

5 X 2 0 1 1 -2 40

7 X 1

1 0 -1/2 3/2 30

Zj 7 5 3/2 1/2 410

(Cj –Zj) 0 0 -3/2 -1/2 (^)  Todos ≤ 0

Cuando hay empate en el mayor (Cj –Zj) o en la menor Relación, se

recomienda seleccionar la primera. El método Simplex es selectivo, si

se debió seleccionar la otra opción, el simplex conduce a la solución

correcta.

Cuando se tenga una restricción como la siguiente: La cantidad de

productos tipo A debe ser como mínimo igual a la cantidad de

producto B.

Se tendría la siguiente expresión X1≥X

Convertida en restricción X1 – X2 ≥ 0

Para tener un vector unitario en la matriz es conveniente convertir al

modelo de restricción con signo “menor o igual que”, multiplicando

ambos miembros por (-1), se obtiene -X1 + X2 ≤ 0

Este artificio solo funciona con el cero en el segundo miembro

(porque (0) (-1) = 0), con otros valores dará una cantidad negativa al

lado derecho, que en la tabla del simplex representa el valor de

alguna variable, sin cumplir la restricción de no negatividad.

Ejemplo 2:

Maximizar Z = 10X 1

+ 15X

2

s. a.

2X

1

+ 2X

2

X

1

+ 2X

2

4X

1

+ 2X

2

X

1

, X

2

Estandarizando:

Maximizar Z = 10X 1

+ 15X

2

+0X

3

+ 0X

4

+0X

5

s. a.

2X

1

+ 2X

2

+X

3

+ 0X

4

+0X

5

X

1

+ 2X

2

+0X

3

+ X

4

+0X

5

4X

1

+ 2X

2

+0X

3

+ 0X

4

+X

5

X

1

, X

2

, X

3

, X

4

, X

5

Se muestra la tabla completa de resolución Simplex del problema

Ejemplo 3

Maximizar Z = 3X

1

+ 3X

2

+ X

3

2X

1

+ 3X

2

+ X

3

X

1

+ 3X

2

+ 2X

3

2X

1

+ 2X

2

+ X

3

X

1

, X

2

Estandarizando: Maximizar Z = 3X

1

+ 3X

2

+ X

3

+ 0X

4

+0X

5

2X

1

+ 3X

2

+ X

3

+ 0X

4

+0X

5

X

1

+ 3X

2

+ 2X

3

+ X

4

+0X

5

2X

1

+ 2X

2

+ X

3

+ 0X

4

+X

5

X

1

, X

2

, X

3

, X

4

, X

5

Tabla Simplex ejemplo 3

Cj (^) VARIAB

3 3 1 0 0

X^ CANT^ RELACIÓN 1

X 2

X 3

X 4

X 5

Cj* *** *** 2 (3) 1 0 0 18 6

Zj* 0 X 4

1 3 2 1 0 30 10

Zj* (^) 0 X 5

2 2 1 0 1 36 18

Zj* 0 0 0 0 0 0 Menor

Cj – Zj** (^2 3 1 0 0)  Mayor (+)

3 X 2

(2/3) 1 1/3 0 0 6 9

0 X 4

-1 0 1 1 0 12 -

0 X 5

2/3 0 1/3 0 1 24 36

Zj 2 3 1 0 0 18 Menor

Cj – Zj (^1 0 0 0 0)  Mayor (+)

3 X 1

1 3/2 1/2 0 0 9

0 X 4

0 3/2 3/2 1 0 21

0 X 5

0 -1 0 0 1 18

Zj 3 9/2 3/2 0 0 27

Cj –Zj 0 -3/2 -1/2 (^0 0)  Todos ≤ 0

Para el cálculo de Zj*:

Z1* = (0)(1)+(0)(2)=

Z2* = (0)(3)+(0)(2)=

Z3* = (0)(2)+(0)(1)=

Z4* = (0)(1)+(0)(0)=

Z5* = (0)(0)+(0)(1)=

Para el cálculo de Cj-Zj

C1-Z1= 2-0=2 (no se usan los Cj del encabezado, sino los elementos

de la fila vacante, en este caso la fila 1)

C2-Z2= 3-0=

C3-Z3= 1-0=

C4-Z4= 0-0=

C5-Z5= 0-0=

Una vez completada la vacante en la segunda tabla, se continúa

normalmente.

Ejemplo 4

Maximizar Z = 2X

1

+ 3X

2

+ X

3

X

1

+ 2X

2

+ X

3

2X

1

+ 3X

2

+ 2X

3

2X

1

+ 2X

2

+ 3 X

3

X

1

, X

2

, X

3

Estandarizando: Maximizar Z = 2X

1

+ 3X

2

+ X

3

+ 0X

4

+0X

5

X

1

+ 2X

2

+ X

3

+ X

4

+ 0X

5

2X

1

+ 3X

2

+ 2X

3

+ 0X

4

+0X

5

2X

1

+ 2X

2

+ 3X

3

+ 0X

4

• X 5

X

1

, X

2

, X

3

, X

4

, X

5

Al observar el problema ya podemos afirmar que habrá dos

vacantes porque hay dos restricciones que no son “menor o

igual que”.