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22GIOI Investigación C.
EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL Y SIMPLEX
Enlaces calculadora SIMPLEX http://reshmat.ru/simplex_method_lpp.html https://linprog.com/ Formule como problemas de PL y desarrolle la solución con método SIMPLEX paso a paso en los ejercicios 1, 2 y 3. A partir del ejercicio 4, utilice calculadora SIMPLEX.
Ejercicio 1
Se pide maximizar la función Z^ =^ 2x 1 + 3x 2 por el método Simplex, sujeta a las restricciones: 4x 1 +^ 5x 2 ≤ 20 8x 1 + 3x 2 ≤ 24 X 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 Sean s 1 y s 2 las variables de holgura asociadas a la primera y segunda restricciones (^) respectivamente.
- ¿Cuál es la variable que entra en la primera iteración? X
- ¿Cuál es la variable de salida en la primera iteración? S
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22GIOI Investigación C. Sean s 1 , s 2 , y s 3 las variables de holgura asociadas a la primera, segunda y tercera restricción (^) respectivamente. Resuelva este problema por el método Simplex. Responda a las siguientes preguntas. a) Primera iteración a. ¿Cuál es la variable de entrada en la primera iteración? X b. ¿Cuál es la variable de salida en la primera iteración? S c. ¿Cuál es el valor de la función objetivo después de la primera iteración? Z= b) Solución óptima a. ¿Cuántas iteraciones en total se necesitan para alcanzar el óptimo? Solo una b. ¿Cuál^ es^ el^ valor^ de^ x 1 en^ la^ solución^ óptima?^0 c. ¿Cuál^ es^ el^ valor^ de^ x 2 en^ la^ solución^ óptima?^5 d. ¿Cuál^ es^ el^ valor^ de^ x 3 en^ la^ solución^ óptima?^0 e. ¿Cuál es el valor óptimo de la función objetivo? f. ¿Cuáles variables de holgura son positivas en la solución óptima? Dos, s1=20 y s3=
Ejercicio 3
Maximizar la función z = 2x 1 -x 2 + 5x 3 – 5x 4 sujeta a las restricciones: 2x 1 + 3x 2 - 5x 4 ≤ 12 X 2 + x 3 ≤ 22 2x 1 – x 2 + 3x 3 + 5x 4 ≤ 52 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, X 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0 Sean s 1 , s 2 y s 3 las variables de holgura asociadas a las restricciones. a) Primera iteración a. ¿Cuál es la variable de entrada en la primera iteración? X b. ¿Cuál es la variable de salida en la primera iteración? S c. ¿Cuál es el valor de la función objetivo después de la primera iteración? Z=86, b) Iteración final
22GIOI Investigación C. a. ¿Cuántas iteraciones en total se necesitan para alcanzar el óptimo? 2 b. ¿Cuál es la variable de entrada en la iteración final? X c. ¿Cuál es la variable de salida en la iteración final? S c) Solución óptima
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Ejercicio 4
Una empresa produce dos productos: El producto I y el producto II. Requiere una hora en la máquina A y 2 horas en la máquina B para producir una unidad del producto A; y 2 horas en la máquina A y una hora en la máquina B para producir una unidad del producto II. Cada unidad del Producto I genera un beneficio de 200 euros y cada unidad del Producto II genera un beneficio de 300 euros. La disponibilidad de estas dos máquinas es limitada: 40 horas semanales y 50 horas semanales, respectivamente, para A y B. La dirección desea saber cuántas unidades deben producirse de estos dos productos para maximizar el beneficio semanal. Sea x 1 y x 2 el número de unidades a producir para el Producto I y el Producto II por semana respectivamente, y s 1 y s 2 las variables de holgura asociadas a las restricciones para la Máquina (^) A y la Máquina B respectivamente. Formule este problema como un LP y resuélvalo por el método Simplex. Responda a las siguientes preguntas.
- Escriba la función objetivo de beneficio en euros para maximizar
- Una de las restricciones de este problema es sobre la disponibilidad de la máquina A. El lado derecho de la restricción es el número de horas disponibles en la máquina A por semana, es decir, 40, en horas. Escriba el
22GIOI Investigación C. b. ¿Cuál es la variable de entrada en la iteración final? X c. ¿Cuál es la variable de salida en la iteración final? S c) Solución óptima a. ¿Cuántas unidades de Producto I se producen por semana? 20 b. ¿Cuántas unidades de Producto II se producen por semana? 10 c. ¿Cuál es la ganancia semanal óptima? 7000 d. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera al implementar la solución óptima? i. Se han agotado todas las horas disponibles sólo para la máquina A. ii. Se han agotado todas las horas disponibles sólo para la máquina B. iii. Se han agotado todas las horas disponibles para la máquina A y la máquina B.* iv. Ninguna de las anteriores. Resolución del problema por el método gráfico El problema anterior tiene 2 variables de decisión y también se puede resolver por el método gráfico.^ Representar las restricciones en un gráfico con x 1 como el eje horizontal y x 2 como el eje vertical. La posición de cada punto se especifica mediante sus coordenadas (x 1 , x 2 ). Por ejemplo, el punto con coordenadas (2, 3) es el punto en la posición cuyo valor x 1 es 2 y valor x 2 es 3. Conteste las siguientes preguntas. Las siguientes coordenadas representan las posiciones de los vértices en el gráfico. ¿Cuál de ellos está en la región factible? (Marque todas las que correspondan).
Considerando sólo los vértices factibles, ¿cuál o cuáles dan el valor óptimo (mayor) cuando se sustituyen en la función objetivo? (Marque todas las que correspondan).
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II 3 1000 8
III 4 1600 1
I
V
22GIOI Investigación C. Formule este problema y resuelva por método SIMPLEX. a) Estableciendo función objetivo y restricciones. Sean x 1 , x 2 , x 3 y x 4 el número de autocares que se deben proporcionar de los tipos I, II, III (^) y IV.
- Escriba la función objetivo para el beneficio diario, en miles de euros, para ser maximizados. R: z=2x1+2x2+4x3+5x Además de la restricción de no negatividad, hay 4 restricciones, cada una con el signo ≤ y un número positivo del lado derecho.
- Una de las restricciones se refiere a la disponibilidad de dinero para obtener los autocares. Escriba el lado izquierdo de la restricción, que será la primera. 600x1+1000x2+1600x3+2000x4 ≤ 26000
- Otra restricción se refiere a la disponibilidad de espacio de aparcamiento. Escriba el lado izquierdo de esta segunda restricción. 60x1+80x2+120x3+160x4 ≤ 2000
- Escriba el lado izquierdo de la tercera restricción, relativa al número total de autocares en la flota. X1+x2+x3+x4 ≤ 15
- Escriba el lado izquierdo de la restricción para la suma de los autocares Tipo I y Tipo II, que será la cuarta restricción. X1+x2 ≤ 4 b) Primera iteración Sean s 1 , s 2 y ... sn las variables de holgura asociadas a las restricciones. a. ¿Cuál es la variable de entrada en la primera iteración? X b. ¿Cuál es la variable de salida en la primera iteración? S c. ¿Cuál es el valor de la función objetivo después de la primera iteración? Z=62, c) Segunda iteración
22GIOI Investigación C. ¿Cuál es la variable de salida en la iteración final? S d) Solución óptima a. ¿Cuál es el número de autocares tipo I en la solución óptima? X1= b. ¿Cuál es el número de autocares tipo II en la solución óptima? X2= c. ¿Cuál es el número de autocares tipo III en la solución óptima? X3= d. ¿Cuál es el número de autocares tipo IV en la solución óptima? X4= e. ¿Cuál es el beneficio diario óptimo en miles de euros? Z=65 (miles de € de beneficio) f. ¿Cuáles de las siguientes aseveraciones son ciertas cuando se implementa la solución óptima? La cantidad disponible de dinero para autocares se usa en su totalidad El espacio de parking disponible se usa en su totalidad. Hay 15 autocares en la flota. La flota dispone de todos los 4 tipos de autocares.
Ejercicio 6
El Señor S es nutricionista. Su trabajo consiste en crear productos alimenticios saludables. Supongamos que hay dos productos y que los ingredientes en cuestión son el azúcar y la sal. El producto I contiene 8 gramos de azúcar y 6 gramos de sal y el producto II contiene 6 gramos de azúcar y 7 gramos de sal. Digamos que la cantidad total de azúcar y sal no puede superar los 120 gramos y los 130 gramos respectivamente. El producto I produce 20 euros de beneficio por unidad vendida y el producto II 18 euros de beneficio por unidad vendida. El objetivo del Señor S es maximizar el beneficio con las restricciones nutricionales. Consideremos la siguiente tabla: Producto alimenticio Azúcar (gramos) Sal (Gramos) Beneficio (€) I 8 6 20 II 6 7 18 Hagamos que x 1 y x 2 denoten la cantidad de Producto alimenticio I y Producto II a producir. (^) Formule un problema de Programación Lineal y resuelva a través de calculadora SIMPLEX.
22GIOI Investigación C. Ejercicio 7 Elija uno de los ejercicios 4, 5 o 6, represente el problema en Excel, y resuelva por Solver. Ejercicio 4
22GIOI Investigación C. b. ¿Cuál es la variable de entrada en la iteración final? c. ¿Cuál es la variable de salida en la iteración final? c) Solución óptima a. ¿Cuál es el valor de x1 en la solución óptima? X1= b. ¿Cuál es el valor de x2 en la solución óptima? X2= c. ¿Cuál es el valor de x3 en la solución óptima? X3= d. ¿Cuál es el valor óptimo de la función objetivo? Z= - e. ¿Cuáles variables de holgura son positivas en la solución óptima? S2= 62 y s3=
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