Modelo de Markowitz no lineal, Diapositivas de Modelación Matemática y Simulación

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OPTIMIZACION NO LINEAL

Aplicaciones con el Modelo Financiero

Markowitz

Modelo Markowitz

• (^) El modelo de Markowitz ha conseguido un gran éxito a nivel teórico, dando lugar a múltiples desarrollos y derivaciones, e incluso sentando las bases de diversas teorías de equilibrio en el mercado de activos financieros, como la Línea de Mercado de Capitales (LMC) y Activos de Capital a Precios de Mercado (CAPM), entre otros.
• (^) El enfoque propuesto de Markowitz, sobre la conformación de portafolios de inversión, revolucionó el campo de las finanzas, entregando principios, como el de portafolios eficientes, que están presentes en una gran cantidad de modelos de construcción de

• (^) Un portafolio eficiente, según Markowitz, es aquel que tiene un mínimo riesgo, para un retorno dado o, equivalentemente un portafolio con un máximo retorno para un nivel de riesgo dado.
• (^) El presente modelo financiero plantea el uso de los multiplicadores de LaGrange para solucionar el modelo de optimización de portafolios de inversión de Markowitz aplicado a activos disponibles en el mercado accionario de la bolsa de valores, en un período de tiempo dado.

• (^) Una de las formas de encontrar este conjunto de portafolios eficientes es a través del siguiente modelo, que sólo considera la minimización de la varianza media del portafolio y que corresponde al siguiente problema de programación no lineal que se expone a continuación:

• (^) Al tiempo t = 0 se tiene un monto M

que se desea invertir a una semana en

un portafolio de inversión, integrado

con acciones de n empresas. Se tiene

como datos los precios diarios de cada

una de las acciones en los tres meses

previos a t = 0. El número de acciones

de cada empresa se debe determinar

de tal forma que el riesgo del

portafolio sea mínimo y su

rendimiento semanal sea igual o

mayor a una r∗ dada.

• (^) El rendimiento diario esperado E(ri) se puede estimar por medio de los datos a través de la media muestral :

• (^) Es importante también determinar la dependencia entre los rendimientos de las acciones. La covarianza mide esta dependencia. Se estima la covarianza a través de la covarianza muestral Cov(ri , rj ) que se calcula por:

• (^) El rendimiento relativo de un activo Ai se denotará por ri y se define por la expresión. Si el precio al tiempo final Pi^1 es una variable aleatoria, también lo es ri. Sea mi el número de acciones que se compran del activo i. Entonces:

• (^) Primera restricción.- Para que s

cumpla que el costo del portafolio sea

igual a M se debe satisfacer:

• (^) Segunda restricción.- Tenemos que el

rendimiento de un portafolio es:

con V^0 = M

• (^) Entonces:

• (^) Esta restricción se formula matemáticamente asi:

• (^) Para finalizar obtenemos que en suma

la formulación matemática del

PROBLEMA DEL PORTAFOLIO OPTIMO

es:

ACTIVIDAD

COMPLEMENTARIA