UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA SEDE AZOGUES
MÉTODOS NUMÉRICOS
TEMA:
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
ALUMNOS:
MATÍAS CASTRO
MAURO CORONEL
MARCO VÁSQUEZ
DOCENTE:
ING. GEOVANNY GONZÁLEZ
FECHA:
MIÉRCOLES 10 DE JULIO DEL 2019
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Modelos matemáticos de estudios, Tesis de Matemáticas
Resolución de problemas de matemáticas
Tipo: Tesis
2011/2012
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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA SEDE AZOGUES
MÉTODOS NUMÉRICOS
TEMA:
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
ALUMNOS:
MATÍAS CASTRO
MAURO CORONEL
MARCO VÁSQUEZ
DOCENTE:
ING. GEOVANNY GONZÁLEZ
FECHA:
MIÉRCOLES 10 DE JULIO DEL 2019
Contenido
- INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................................
- OBJETIVOS
- OBJETIVO GENERAL.......................................................................................................................................
- OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Integración numérica
- La regla de integración trapezoidal...............................................................................................................
- Integración de Romberg
- Diagrama de flujo
- Programación en Excel
- Programación en Matlab
Integración numérica
Consiste en encontrar una buena aproximación al área bajo la curva que representa una función
f(x), que ha sido determinada a partir de datos experimentales o a partir de una expresión
matemática.
Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes son los procedimientos más comunes de integración
numérica, se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados con
una función aproximada que sea fácil de integrar, estas son:
- La regla de integración Trapezoidal.
- La regla de Simpson.
Estas reglas están diseñadas para casos en los que los datos a integrarse están espaciados de manera
uniforme.
La regla de integración trapezoidal para cuando los valores de la función en los extremos de los
límites de integración son conocidos
Con el método de Integración Trapezoidal se obtiene una aproximación del área bajo la curva de
una función dividiéndola en n fajas de ancho Δx y aproximando el área de cada faja mediante un
trapecio, como se indica en la siguiente figura:
La fórmula de integración Trapezoidal es la siguiente:
[𝑓
0
𝑖
𝑛
𝑛− 1
𝑖= 1
]
𝑏
𝑎
2
y se dice que es una fórmula que genera aproximaciones del orden 𝑂(ℎ
2
[𝑓
0
𝑖
𝑛
𝑛− 1
𝑖= 1
]
Integración de Romberg
Con el nombre de extrapolación de Richardson se conoce a un conjunto de técnicas que generan
mejores aproximaciones a los resultados buscados o aproximaciones equivalentes a métodos de
alto orden, a partir de las aproximaciones obtenidas por medio de algún método de bajo orden y
pocos cálculos. Dichas técnicas están basadas en el análisis del error de truncamiento, cuya
aplicación a la integración numérica se presenta a continuación.
Supóngase que el error de truncamiento de cierto algoritmo de aproximación de
𝑏
𝑎
se expresa
𝑟
( 𝑟
)
Donde “c” es independiente de “h”, “r” es un entero positivo y “ξ” un punto desconocido de (a, b).
Luego de obtener dos aproximaciones de “I”, con tamaños de paso distintos: “h1” y “h2”, de llamar
a dichas aproximaciones “I1” y “I2”, respectivamente, y despreciar errores de redondeo, se puede
escribir
1
1
𝑟
( 𝑟
)
1
Diagrama de flujo
Programación en Excel
inicio
datos
F(X)
a
𝐼 ≈
ℎ
2
[𝑓
( 𝑥
0
)
- 2 ∑ 𝑓
( 𝑥
𝑖
)
- 𝑓(𝑥
𝑛
)
𝑛− 1
𝑖= 1
]
𝐼
𝐾
(𝑚)
=
4
𝑚
𝐼
𝑘+ 1
(𝑚− 1 )
− 𝐼
𝑘
(𝑚+ 1 )
4
𝑚
− 1
; 𝑚 = 1 , 2 , 3 , …
fin
no
si
MAURO CORONEL
MARCO VAZQUES
MATIAS CASTRO
a b primero ultimo
0 1 0 1,22515E-16 NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5
PI 3,14159265 6,126E-
i x f(x) Ax n TRAPECIO 0,
0 0 1 1 6,12574E-17 0,5 0,
1 1 1,22515E-16 0,63807119 0,
0,60355339 0,6366144 0,
i x f(x) Ax n TRAPECIO 0,63670545 0,
0 0 0,5 2 0,5 0,62841744 0,
1 0,5 1 0,
2 1 1,22515E-16 0,
i x f(x) Ax n TRAPECIO
0 0 0,25 4 0,
1 0,25 0,
2 0,5 1
3 0,75 0,
4 1 1,22515E-
i x f(x) Ax n TRAPECIO
0 0 0,125 8 0,
1 0,125 0,
2 0,25 0,
3 0,375 0,
4 0,5 1
5 0,625 0,
6 0,75 0,
7 0,875 0,
8 1 1,22515E-
i x f(x) Ax n TRAPECIO
0 0 0,0625 16 0,
1 0,0625 0,
2 0,125 0,
3 0,1875 0,
4 0,25 0,
5 0,3125 0,
6 0,375 0,
7 0,4375 0,
8 0,5 1
9 0,5625 0,
10 0,625 0,
11 0,6875 0,
12 0,75 0,
13 0,8125 0,
14 0,875 0,
15 0,9375 0,
16 1 1,22515E-
INTEGRANTES:
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
ECUACION A UTILIZAR ∗
inicio
datos
F(X)
a
≈
ℎ
2
0
- 2 + ( )
− 1
= 1
( )
=
4
- 1
( − 1 )
−
( + 1 )
4 − 1
; = 1 , 2 , 3 , …
fin
no
si