¡Descarga Models teorics de probabilitat y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
ESTADÍSTICA Ciències Ambientals
MODELS TEÒRICS DE PROBABILITAT
TRANSPARÈNCIES
Curs acadèmic 2004-
Carles Barceló i Vidal Àrea d’Estadística i Investigació Operativa Departament d’Informàtica i Matemàtica Aplicada Universitat de Girona
VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA
Concepte
Una variable numèrica X és diu que és aleatòria quan, a priori, no se sap exactament quin valor pren però sí que es coneix quins valors numèrics pot arribar a prendre i la probabilitat que els adquireixi.
Una variable aleatòria [v.a.] discreta X queda determinada quan es coneixen:
- Tots els possibles valors x 1 , ..., xk que pot arribar a prendre la variable X.
- Les probabilitats p 1 , ..., pk que la variable X prengui els valors x 1 , ..., xk, respectivament: p 1 =P[X=x 1 ], p 2 =P[X=x 2 ], ..., pk =P[X=xk]. És fàcil entendre que sempre es complirà que p 1 + p 2 + ...+ pk =1.
VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA
Funció de densitat de masses
- Funció de densitat de masses d’una v.a. Si una v.a. discreta X pren els valors x 1 , ..., xk amb probabilitats respectives p 1 , ..., pk, la seva funció de densitat de masses es defineix com la funció f tal que:
- f(x 1 )=p 1 , f(x 2 )=p 2 , ..., f(xk)=pk;
- f(x)=0, en cas que x≠x 1 , x≠x 2 , ... i x≠xk. És a dir, f val 0 per tot arreu excepte en els punts x 1 , ..., xk on pren els valors p 1 , ..., pk, respectiva- ment.
- Exemple [“llançament dau”]
x 1 x 2 ... xi ...
pi fX(xi)=pi p 1 p 2
1 2 3 4 5 6
fX(x) 1/
x
VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA
Esperança
- Esperança [mitjana o valor esperat] d’una v.a.
El valor esperat o esperança d’una v.a. X és la suma dels valors x 1 , ..., xk que pren la variable, ponderats per les respectives probabilitats p 1 , ..., pk. És a dir,
μ = E{X} = p 1 ⋅ x 1 + p 2 ⋅ x 2 + … + pk⋅ xk. L’esperança μ d’una v.a. X s’interpreta com el “centre” de la funció de la seva funció de densitat de masses.
- Exemple [“llançament dau”]
μ = E{X} = 1/6⋅1+1/6⋅2+1/6⋅3+1/6⋅4+1/6⋅5+1/6⋅6 = 3.5 punts
x 1 x 2^ μ^ x 3
1 2 3 μ^ 4 5 6
1/
x
VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA
Esperança i variància
- Exemple [“Llançament 3 vegades moneda”]
X = “nombre total de cares que es poden obtenir en 3 llança- ments d’una moneda simètrica” E{X} = μ = 0.1250 + 0.3751 + 0.3752 + 0.1253 = 1.5 cares var{X} = σ^2 = 0.125(0-1.5)^2 + 0.375(1-1.5)^2 + 0.375(2-1.5)^2 + 0.125(3-1.5)^2 = 0. desv{X} = σ = 0. 75 = 0.866 cares
La roda de la ruleta té 37 sectors iguals: 18 de color negre, 18 de color vermell i 1 de color blanc (banca).
Apostem 100€ al color vermell. Això vol dir que si surt “vermell” ens tornen els 100€ que hem apostat i ens donen 100€ més (guanyem, doncs, 100€). En cas contrari, perdem els 100€ que hem apostat (“guanyem -100 €”).
X = “guany d’aquest joc d’atzar”
- X pot prendre dos valors: -100€ i +100€.
- Les probabilitats són: p 1 =P[X=-100] = 19/37 = 0.5135; p 2 =P[X=+100] = 18/37 = 0.
- L’esperança d’aquest joc és igual a: E{X} = μ = 0.5135 * (-100) + 0.4835 * (+100) = -2.703€ Això vol dir que, a la llarga, si anem jugant a aquest joc de la ruleta, perdrem en mitjana 2.703€ per partida.
LLEI BINOMIAL
- Elements
- Fenomen aleatori simple amb únicament dos possibles resultats:
- un resultat es coneix com a “èxit”;
- i l’altre com a “fracàs” [“no èxit”]. Suposarem p la probabilitat d’èxit. Per tant, 1- p serà la probabilitat de fracàs.
- Aquest fenomen aleatori simple el repetim n vegades. Suposarem que les repeticions es realitzen independentment una de l’altra.
- Ens interessa estudiar el nombre total d’èxits que podem obtenir en les n repeticions.
- Llei binomial Bin(n;p)
- n = nombre repeticions del f.a. simple
- p = P[“èxit”]
- X = “nombre total d’èxits en les n repeticions” Aleshores, X és una v.a. discreta que pot prendre els valors 0,1,2, ..., n. Es pot demostrar com:
P[“obtenir m èxits”] = P[X=m] = pm p nm m
n (^) − −
on !( )!
m n m
n m
n −
, essent
0! = 1; i m!=m⋅(m-1)⋅(m-2)⋅ ...⋅ 2 ⋅ 1
LLEI BINOMIAL
- Esperança i variància d’una llei Bin(n;p)
Si una v.a. X segueix una llei binomial, aleshores es compleix que:
- Esperança: μ = E{X} = n⋅p S’interpreta com el nombre mitjà d’èxits com hom espera obtenir després de n repeticions del f.a.
- Variància: var{X} = σ^2 = n⋅p⋅(1-p)
- Desviació estàndard: desv{X] = σ = np ( 1 − p )
- Exemple [“Llançament 3 vegades moneda”]
F.a. simple: “Llançament d’una moneda simètrica” Éxit = “sortir cara” p = P[“èxit”] = ½ = 0. Nombre de repeticions: n = 3. X = “nombre cares en 3 llançaments moneda” ~ Bin(n=3; p=1/2)
- P[X=0] = (^03) 0. 50.^ ( 1 − 0. 5 )^30 = 0. 125
(^) −
- P[X=1] = (^13) 0. 51.^ ( 1 − 0. 5 )^31 = 0. 375
(^) −
- P[X=2] = (^23) 0. 52.^ ( 1 − 0. 5 )^32 = 0. 375
(^) −
- P[X=3] = (^33) 0. 53.^ ( 1 − 0. 5 )^33 = 0. 125
(^) −
Esperança: μ = E{X} = 3 ⋅ 1/2 = 0.5 cares Desviació estàndard: σ = 3 * 0. 5 *( 1 − 0. 5 )= 0.87 cares
LLEI BINOMIAL
Exemple
- Exemple [“Nombre de malalts en una classe”]
Se sap que una determinada malaltia està afectant a un 10% dels nens i nenes fins a 6 anys. En una classe d’ensenyament infantil de P3, hi ha 20 infants. Ens interessem pel nombre d’infants d’aquesta classes afectats per la malaltia. F.a. simple: “triar a l’atzar un nen d’aquesta població” Éxit = “estar malalt” p = P[“èxit”] = 0.1 Nombre de repeticions: n=20. X = “nombre d’infants malalts de la classe” ~ Bin(n=20; p=0.1) B(n=20;p=0.1)
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x
f(x)
Preguntes:
- Probabilitat que hi hagi dos infants malalts [i 18 no malalts]: P[X=2] = (^202) 0. 12 .( 1 − 0. 1 )^202 = 0. 2852
(^) −
- Probabilitat que hi hagi algun infant malalt: P[X=1] = 1- P[X=0] = 1- (^200) 0. 10.^ ( 1 − 0. 1 )^201 = 1 − 0. 920 = 0. 8784
(^) − (^).
- Probabilitat que el nombre d’infants malalts sigui com a màxim 5: P[X≤5] = P[X=0]+P[X=1]+...+P[X=5] = [taules] = 0.
- Nombre mitjà d’infants malalts de la classe: μ = E{X}=20⋅0.1 = 2 infants.
LLEI de POISSON Concepte
Es diu que una v.a. X segueix una llei de Poisson de paràmetre λ si:
- X pot prendre qualsevol dels valors 0,1,2, ...;
- la probabilitat que X prengui el valor m és igual a
P[X=m] = λ
λ (^) − e m
m
! Es compleix que: μ=E{X}=λ i σ^2 =var{X}=λ.
Pois(Lambda=1.5)
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
(^0123456789101112131415) x
f(x)
Pois(Lambda=3.5)
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
(^0123456789101112131415) x
f(x)
APROXIMACIÓ D’UNA LLEI BINOMIAL
PER UNA LLEI DE POISSON
- Elements
- X = “nombre d’èxits en n repeticions indepen- dents d’un f.a. simple”
- p = P[“èxit”] Aleshores, X ~ Bin(n;p). Suposem que:
- La probabilitat p = P[“èxit”] és “ molt petita ”. És a dir, el que anomenem “èxit” és un esdeveni- ment molt difícil de que ocorri.
- El nombre n de repeticions del f.a. simple és “ molt gran ”.
- Aproximació
Llavors es compleix que
P[“ m èxits”] = P[X=m] = pm p nm m
n (^) − −
( 1 ) ≈ λ
λ (^) − e m
m
!
essent λ = n⋅p [=E{X}]. És a dir, la llei binomial Bin(n;p) es pot aproximar per una llei de Poisson Pois(λ=n⋅p).
TAULES DE LA LLEI DE POISSON Pois(λ)
VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA
Concepte
Sovint una v.a. X, en comptes de prendre uns valors molt concrets x 1 ,...,xk amb unes determina- des probabilitats p 1 ,...,pk, pren valors en un rang continu de valors de la recta real.
- Per saber amb quina probabilitat la v.a. X pot prendre aquests valors, es proporciona una funció real positiva f(x):
x a b
- Aleshores, la probabilitat que la v.a. X prengui algun valor comprés entre dos números a i b qualssevol s’interpreta com l’ àrea sota la gràfica de la funció f(x) entre les abscisses x=a i x=b. Per tant, probabilitat és sinònim d’ àrea sota la gràfica. Per això només té sentit calcular probabilitats del tipus P[X≥a], P[X≤a], P[a≤X≤b] o similars.
- En aquests casos es diu que la variable aleatòria X és continua. I la funció f(x) es coneix com la funció de densitat [de probabilitat] de la v.a. X.
- Sempre s’ha de complir que l’ àrea total sota la gràfica de la funció f(x) és igual a 1.
P(a≤X≤b)
f(x)
LA LLEI NORMAL
Funció de Densitat - NORMAL mu=100; sigma=
0
94 96 98 100 102 104 106 x
f(x)
Funció Densitat - NORMAL mu=100; sigma=
0
94 96 98 100 102 104 106 x
f(x)
Funció de Densitat - NORMAL mu=98; sigma=
0
94 96 98 100 102 104 106 x
f(x)
LA LLEI NORMAL
- n X 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0. p
- 2 0 0.9025 0.8100 0.7225 0.6400 0.5625 0.4900 0.4225 0.3600 0.3025 0.
- 1 0.9975 0.9900 0.9775 0.9600 0.9375 0.9100 0.8775 0.8400 0.7975 0.
- 2 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.
- 3 0 0.8574 0.7290 0.6141 0.5120 0.4219 0.3430 0.2746 0.2160 0.1664 0.
- 1 0.9928 0.9720 0.9392 0.8960 0.8438 0.7840 0.7182 0.6480 0.5748 0.
- 2 0.9999 0.9990 0.9966 0.9920 0.9844 0.9730 0.9571 0.9360 0.9089 0.
- 3 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.
- 4 0 0.8145 0.6561 0.5220 0.4096 0.3164 0.2401 0.1785 0.1296 0.0915 0.
- 1 0.9860 0.9477 0.8905 0.8192 0.7383 0.6517 0.5630 0.4752 0.3910 0.
- 2 0.9995 0.9963 0.9880 0.9728 0.9492 0.9163 0.8735 0.8208 0.7585 0.
- 3 1.0000 0.9999 0.9995 0.9984 0.9961 0.9919 0.9850 0.9744 0.9590 0.
- 4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.
- x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. λ=E(X)
- 0 0.905 0.819 0.741 0.670 0.607 0.549 0.497 0.449 0.407 0.
- 1 0.995 0.982 0.963 0.938 0.910 0.878 0.844 0.809 0.772 0.
- 2 1.000 0.999 0.996 0.992 0.986 0.977 0.966 0.953 0.937 0.
- 3 1.000 1.000 1.000 0.999 0.998 0.997 0.994 0.991 0.987 0.
- 4 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.999 0.998 0.
- 5 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.
- 6 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.
- x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.
- 0 0.333 0.301 0.273 0.247 0.223 0.202 0.183 0.165 0.150 0.
- 1 0.699 0.663 0.627 0.592 0.558 0.525 0.493 0.463 0.434 0.
- 2 0.900 0.879 0.857 0.833 0.809 0.783 0.757 0.731 0.704 0.
- 3 0.974 0.966 0.957 0.946 0.934 0.921 0.907 0.891 0.875 0.
- 4 0.995 0.992 0.989 0.986 0.981 0.976 0.970 0.964 0.956 0.
- 5 0.999 0.998 0.998 0.997 0.996 0.994 0.992 0.990 0.987 0.
- 6 1.000 1.000 1.000 0.999 0.999 0.999 0.998 0.997 0.997 0.
- 7 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.999 0.
- 8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1. - σ=√
- μ= -1.5 μ=0 μ=1.
