¡Descarga Pràctica 4. Models de probabilitat y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
2 4 6 8 10
Binomial Distribution: Binomial trials=10, Probability of success=0.
Number of Successes
Probability Mass
SESSIÓ PRÀCTICA 4 – MODELS
Sumari:
- Model Binomial
- Model Normal
- Model de Poisson
- Relació entre el model Binomial i el de Poisson
1. El model Binomial
Recordeu que una llei binomial B(n;p) és una v.a. discreta que té la següent funció de densitat:
pk^ pn^ k
k
n f k PX k
( ) ( 1 ) , per k=0,1,...,n
Distribucions Distr. discretes Distr. Binomial
Podem veure que ens ofereix diferents possibilitats: Quantils binomials Probabilitats binomials acumulades Probabilitats binomials Traça una distribució binomial Mostra d’una distribució binomial
Suposem que tenim un problema de model Binomial on se’ns informa que els paràmetres són n=10 i p=0.70. X ~ B(n = 10, p =0,7). Un experiment aleatori fet 10 vegades, que té una probabilitat d’èxit de 0,7 (70%). Ens demanen:
- Representeu gràficament la funció de densitat d’aquest model. Distribucions Distr. discretes Distr. Binomial Traça una distribució binomial o gràfica de distribució binominal (n=10; p=0.7; Gràfica de la funció de probabilitat)
És simètrica? No. Per què? Hi ha un biaix a l’esquerra i podem veure que el màxim es troba en 7.
Quina és la moda d'aquestes dades? 0,27. Per què? Perquè el nombre de successos màxim (7) el té la probabilitat major de 0,25.
Quina és la probabilitat aproximada de tenir 5 èxits? P(X=5)= 0.26. Mirant el gràfic i interpolant el nombre d’èxits (X) amb la probabilitat (Y)
2 4 6 8 10
Binomial Distribution: Binomial trials=10, Probability of success=0.
Number of Successes
Cumulative Probability
- Representeu gràficament la funció de distribució d’aquest model. Distribucions Distr. discretes Distr. Binomial Traça una distribució binomial o gràfica de distribució binominal (n=10; p=0.7; Gràfica de la funció de distribució)
Quina forma té? Esbiaixada a l’esquerra i en forma d’escala. És coherent el gràfic amb el fet de ser una distribució discreta? Sí. Per què? Perquè la probabilitat es manté en valors continus (2.3, 5.8, ...) i canvia en valors discrets (1, 4, 6, ...)
Quina és la probabilitat aproximada de tenir fins a 5 èxits? P(X5)= 0,6. Mirant el gràfic i interpolant surt 0,6.
Aproximadament a quants èxits hem acumulat una probabilitat del 15%? P(X15)=0.
- Calculeu la probabilitat de tenir exactament 8 èxits[0.2334744405] Distribucions Distr. discretes Distr. Binomial Probabilitats binomials (n=10; p = 0.7) Probability 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 0. 10 0.
P(x=8) = 0.
Quina és la probabilitat de tenir 8 èxits? P(X=8)= 0.2334744405.
Quina és la probabilitat de tenir 5 èxits? P(X=5)= 0.1029193452. Coincideix aproximadament amb el valor que havíeu obtingut a partir del gràfic? Sí.
- Calculeu la probabilitat de tenir com a màxim 8 èxits. [0.8506917] Distribucions Distr. discretes Distr. Binomial Probabilitats binomials acumulades (Valors de la variable = 8; Assajos binominals-n- = 10; Probabilitat d’èxit = 0.7; Cua esquerra)
[1] 0.
0 5 10 15 20
Normal Distribution: Mean=10, Standard deviation=
x
Cumulative Probability
- Representeu gràficament la funció de distribució d’aquest model.
Quina forma té? Exponencial amb estabilització en y = 1. És diferent el gràfic del d’una distribució discreta? Sí. Per què? Perquè un té probabilitats discretes i l’altre les té acumulades.
Quina és la probabilitat aproximada de tenir longituds fins a 5 mm? P(X5)= 0.05.
Aproximadament a quin valor tindríem acumulades el 80% de les longituds? P(X13)=0.80.
- Calculeu la probabilitat de tenir una longitud inferior a 13mm [0.8413447] Distribucions Distr. contínues Distr. Normal Probabilitats normals (acumulades) [Valors de la variable = 13; Mitjana = 10; Desviació típica = 3; Cua esquerra) ]
[1] 0.
Quina és la probabilitat de tenir exactament una longitud de 13mm? P(X=13)= 0.8413447.
- Calculeu la probabilitat de tenir una longitud superior a 13mm [0.1586553] Distribucions Distr. contínues Distr. Normal Probabilitats normals (acumulades) [Valors de la variable = 13; Mitjana = 10; Desviació típica = 3; Cua dreta) ]
[1] 0.
Quina relació té amb la probabilitat anterior? És el seu complementari. Per què? Perquè són probabilitats i les que són complementàries han de sumar 1.
- Calculeu la probabilitat de tenir una longitud entre 4 i 16 mm [0.9544997] Distribucions Distr. contínues Distr. Normal Probabilitats normals (acumulades) [Valors de la variable = 16 4; Mitjana = 10; Desviació típica = 3; Cua esquerra) ]
[1] 0.97724987 0.
Per calcular P(4X16) s’hauria de calcular la P(x =16) – P(x = 4) = 0.
Quina és la probabilitat de tenir una longitud inferior a 16mm? P(X16)= 0. Quina és la probabilitat de tenir una longitud inferior a 4mm? P(X4)= 0. Quina és la probabilitat de tenir una longitud entre 4 i 16mm? P(4X16)= 0.
0 2 4 6 8
Poisson Distribution: Mean=
x
Probability Mass
0 2 4 6 8
Binomial Distribution: Binomial trials=100, Probability of success=0.
Number of Successes
Probability Mass
- Calculeu quina és la longitud màxima que fan el 95% de les extremitats [14.93456] Distribucions Distr. contínues Distr. Normal Quantils normals [Probabilitats = 0.95; Media = 10; Desviació típica= 3; Cua esquerra) ]
[1] 14.
Ens donen una probabilitat acumulada i ens demanen a quin valor obtenim aquesta probabilitat acumulada. És a dir ens demanen quin valor és el quantil 95.
3. El model Poisson i la seva relació amb el model Binomial
Anem a dibuixar la funció de densitat d’un model Binomial amb una n força gran i una p força petita. Per exemple n=100 i p=0.02. Distribucions Distr. discretes Distr. Binomial Traça una distribució [Assajos binomials = 100; Probabilitat d’èxit = 0.02; Gràfica de la funció de probabilitat]
Anem ara a dibuixar la funció de densitat del model Poisson amb esperança (mitjana) igual a 2, és a dir, quan el paràmetre =2. Distribucions Distr. discretes Distr. Poisson Traça una distribució [Media = 2]
Quina semblança tenen els dos gràfics? Són iguals a nivell de probabilitats.
Quina relació podem establir entre la Poisson i la Binomial quan la n de la Binomial és molt gran i la probabilitat és petita? Quan tenim una n molt gran i una p molt petita, podem simplificar els càlculs utilitzant Poisson
Fer càlculs amb la distribució binomial és llarg. Amb Poisson és més curt. En un cas que (en distribució normal) la n sigui molt gran i la p molt petita, es pot aplicar Poisson.
