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Titulación: Doble Grado de Derecho y ADE Asignatura: Estadística Empresarial (Básica, 2º curso)
NÚMEROS ÍNDICE
Existen numerosas situaciones prácticas en las que interesa estudiar cómo evoluciona
una cierta magnitud en el tiempo. El conjunto de posibles valores que toma una variable en
distintos instantes de tiempo se denomina serie temporal.
Ejemplo 1:
Sea X = “número de pasajeros (en millones de personas) de una línea aérea en el mes de
agosto”. Si se observa esta variable en el mes de agosto de los años 2007-2012 se obtiene la siguiente serie temporal:
Año t 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Nº pasajeros 9,412 9,424 9,844 10,177 10,872 11,
1. ÍNDICES SIMPLES
Objetivo: Estudiar la evolución de una magnitud, X , a lo largo del tiempo.
Se define el índice simple para la variable X en el instante t , referido al instante t 0 ,
como
(^00)
100 t
t
t t
X
X
I
Ejemplo 2 (Problema 1):
Si se considera la serie temporal recogida en el ejemplo anterior, podríamos calcular los índices simples asociados a cada año, con base el año 2007:
Año t Nº^ pasajeros^ (^^ Xt ) 2007
2007 100
t t
X X
I
Interpretación: El número de pasajeros en agosto del año 2012 es un 26,8487% superior al número de pasajeros en agosto del año 2007. Es decir, el número de pasajeros en agosto del año 2012 se ha visto multiplicado por el factor 1,2684 respecto al número de pasajeros en agosto del 2007.
Propiedades de los índices simples:
CIRCULAR:
0 '^ ' 0
t t 100 t t t t
I I I
INVERTIBILIDAD:^0
0
=
t t
t t
I
I
Ejemplo 3 (Problema 2):
Para estudiar la evolución de la población española desde 1900 se elaboró un índice con base en dicho año. La tabla siguiente muestra algunos valores del citado índice:
Año t It | 1900 100 1960 163, 1970 182
Calcular el índice con base 1960. Interpretar los índices I 1970|1900y I 1970|1960.
Notar que no puede usarse directamente la definición de índice simple para calcular el índice
con base 1960 puesto que se desconocen los valores Xt ; se utilizan las propiedades circular y
de invertibilidad:
- ¿ I 19001960? Puesto que conocemos el índice I 19601900 , podemos usar la propiedad de
invertibilidad de la forma: 19601900
19001960
100 100 10000 163, 3
I
I.
- ¿ I 19601960? I 19001900 =100, puesto que los instantes t y t 0 coinciden.
- ¿ I 19701960? Puesto que conocemos los índices I 19701900 y I 19001960 , podemos usar la
propiedad de invertibilidad (utilizando el año 1900 como instante t ') de la forma:
19701960 19701900 19001960
1 1 100 100
I I I 182 61,1247 111, 2469.
Interpretación: La población española en 1970 es un 82% superior a la población en 1900 y un 11,2469% superior a la población en 1960. Es decir, la población en 1970, respecto a la población en 1900, se ha multiplicado por un factor 1,82 y, respecto en a la población en 1960, por un factor 1,11.
2. ÍNDICES COMPUESTOS
Objetivo: Estudiar la evolución de k -magnitudes, X 1 , , Xk , simultáneamente, a lo largo
del tiempo.
0
1 2
0 0 0 0
0 0 0
1 2 1
1 2 1
Instante :
Instante :
j
j
t t t t kt t
k k j k k j
t t t^ t
t t t t
t
t
X X X X
X X X X
I I I
Se define el índice compuesto agregado para las variables X 1 , , Xk en el instante t ,
referido al instante t 0 , como
0
1 0
100 1 k
j t
k
j t t
t
j
j
X
X
I.
Se define el índice compuesto media aritmética para las variables X 1 , , Xk en el
instante t , referido al instante t 0 , como
(^0 1 )
1 k
I t t ki I jt t
Ejemplo 5 (Problema 6): La tabla siguiente recoge la evolución temporal de los precios de varios alimentos:
Año t Carne Pan Leche 2002 5,11 0,06 0, 2007 7,21 0,11 0, 2012 8,41 0,14 0,
a) Obtener los índices de precios simples para cada uno de los alimentos con base en 2007. b) Calcular el índice de precios compuesto media aritmética con base en 2007. c) Obtener el índice de precios compuesto agregado con base en 2007.
Para realizar los cálculos de manera ordenada, los incorporamos a la tabla anterior de la siguiente forma:
a) Índices simples con base 2007.
Año t
Carne Pan Leche X (^1) t I (^1) t (^) |2007 X (^2) t I (^2) t |2007 X (^3) t I (^3) t (^) |
(^2002) 5,11 70,873 8 0,06 54,5454 0,3 76,923 1 (^2007) 7,21 100 0,11 100 0,39 100 (^2012) 8,41 116,6435 0,14 127,2727 0,45 115,
b) Índice compuesto agregado con base 2007.
Año t
Carne Pan Leche
X 1 t X 2 t X 3 t X 1 t X 2 t X 3 t
1 2 3
(^1 07 2 07 )
t 2007
I X^ t^ X^ t^ Xt
X X X
c) Índice compuesto media aritmética con base 2007.
Año t
Carne Pan Leche
X (^1) t I (^1) t |2007 X (^2) t I (^2) t |2007 X (^3) t I (^3) t (^) | (^1) |2007 2 |2007 3 | |2007 (^3)
t t t t
I I I I
(^2002) 5,11 70,873 8 0,06 54,5454 0,3 76,923 1 67, (^2007) 7,21 100 0,11 100 0,39 100 100 (^2012) 8,41 116,6435 0,14 127,2727 0,45 115,3846 119,
Interpretación: A la vista que proporciona el índice compuesto media aritmética, los precios simultáneos de la carne, del pan y de la leche son en 2012 un 19,767% superiores a los precios de dichos alimentos en 2007. Es decir, en los cinco años que transcurren de 2007 a 2012, los precios simultáneos de carne, pan y leche se han visto multiplicados por el factor 1,19767.
Ejercicio 3 (Problema 7)
La tabla siguiente recoge precios, en céntimos de €, de 3 cereales a lo largo de 5 años:
Año t Trigo Cebada Maíz 1 23,76 21,72 25, 2 26,04 22,00 26, 3 29,29 24,47 29, 4 29,48 23,22 30, 5 30,03 23,35 30,
a) Obtener los índices de precios simples para cada uno de los cereales con base en el año t = 1. b) Calcular el índice de precios compuesto media aritmética con base en el año t = 1. c) Obtener e interpretar el índice de precios compuesto agregado con base en el año 1.
La utilidad de este índice estriba en informar sobre la evolución temporal conjunta de
los precios p 1 , , pk suponiendo que la estructura de consumo (es decir, las
cantidades q 1 , , qk ) no varía sustancialmente a lo largo del tiempo.
En caso contrario, es necesario utilizar el índice de Paasche, P , que utiliza los
siguientes datos
P es un índice compuesto ponderado con pesos (que dependen del bien k y del instante
t ):
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1
t t t t (^) t t t t t t t t
k
j j k j^ j j j j (^) k t t j k j (^) j i i j j i j
p q
p q j k p
w P w
t t t p
p q p q
Ejercicio 4 (Problema 8)
Con los datos de precios y cantidades siguientes:
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Año Precio Cantidad Precio Cantidad Precio Cantidad t^ p (^1) t^ q (^1) t^ p (^2) t^ q (^2) t^ p (^3) t^ q (^3) t 2009 14,6 8425 61,2 1350 122,4 430 2010 14,8 8480 61,8 1390 123,4 430 2011 18,5 8860 76,4 1500 140,6 460 2012 22,4 9120 84,0 1750 158,2 475
a) Calcular el índice de precios compuesto agregado de los tres bienes con base en 2009. b) Calcular el índice de precios de Laspeyres con base en 2009. c) Calcular el índice de precios de Paasche con base en 2009.
Ejercicio 5 (Problema 9)
Con los precios y cantidades siguientes:
Bien A Bien B Bien C Año Precio Cantidad Precio Cantidad Precio Cantidad t^ p (^1) t^ q (^1) t^ p (^2) t^ q (^2) t^ p (^3) t^ q (^3) t 1 250 10 90 6 160 4 2 275 8 120 10 140 8 3 320 7 140 12 130 12
a) Obtener el índice de precios media aritmética de los tres bienes con base en el año 1. b) Calcular el índice de precios de Laspeyres con base en el año 1. c) Calcular el índice de precios de Laspeyres con base en el año 2. d) Calcular el índice de precios de Paasche con base en el año 1. e) Calcular el índice de precios de Paasche con base en el año 2.
(^01 0 2 0 0 1 0 )
1 2 1 2
DATOS: Instante :
Instante :
k k
k k
t t t t t t
t t t t t t
t
t
p p p q q p
p p p q q q
Ejercicio 6 (Problema 10)
El comité de centro de una empresa reclamó subidas salariales basándose en los datos de la tabla siguiente:
Año t Salario medio mensual (€) IPC 2004 1000 100 2008 1200 137 2012 1500 160
a) Justificar la reclamación del comité de centro desde el punto de vista de la pérdida de poder adquisitivo. b) ¿Qué salario deberían haber cobrado en 2008 y 2012 para que su poder adquisitivo fuera el mismo de 2004?
