Topologia Elemental I-Curs 2006-07
Pr`actica 13. Connexi´o
Objectiu 1. Estudiar la connexi´o de subespais del pla euclidi`a (R2,Te).
a) Proveu que R2´es connex i que R×Q´es disconnex.
b) Estudieu si el subespai R×Q∪Q×R´es connex o disconnex.
Denotem per B+iB−els conjunts seg¨uents:
B+={x∈R2; (x1−1)2+x2
2<1}
B−={x∈R2; (x1+ 1)2+x2
2<1}
c) Dibuixeu els conjunts seg¨uents i estudieu si s´on o no connexos
B+∪B−
ad(B+)∪ad(B−)
ad(B+)∪B−
Objectiu 2. Estudiar la connexi´o de subespais del pla amb la m`etrica
de correus (R2,Tc) i amb la m`etrica de l’ascensor (R2,Ta)
a) Demostreu que en el pla amb la topologia de correus cap recta ´es
connexa.
b) Demostreu que en el pla amb la topologia de l’ascensor les rectes
verticals s´on connexes. S´on connexes tamb´e les rectes horitzontals?
c) Estudieu si R2´es connex amb cadascuna d’aquestes dues topolo-
gies.
d) Estudieu si R×]0,∞[ ´es connex amb cadascuna d’aquestes dues
topologies.
e) Contesteu a les mateixes preguntes que en l’exercici c) de l’objectiu
1, per`o ara considerant en el pla la topologia de l’ascensor.
1
