Prácticas EDOS (Matlab), Ejercicios de Cálculo

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PRÁCTICAS EDOS

Adrián Palacio Ruiz

Cálculo y Ecuaciones Diferenciales

1º Grado en Ingeniería Química

Universidad de Castilla-La Mancha

PRÁCTICAS-ENTREGA DE RESOLUCIÓN NUM. EC. DIFERENCIALES.

1. Un modelo matemático para el área A (en cm

2

) que ocupa una colonia de

bacterias ( Bacterias dendroides ) viene dado por:

dA

dt

= A (2.128−0.0432 A )

Suponiendo que el tiempo viene dado en días y que el área inicial es 0.24:

a) Utiliza el método de Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 para obtener una

solución en el intervalo [0,5] y utiliza ésta para para completar la siguiente

tabla.

t(días) 1 2 3 4 5

A (observado en laboratorio) 2,78 13,53 36,3 47,5 49,

A (aproximado) 19,454 12,6436 36,6283 47,3164 49,

X

b) Implementa el código de Adams-Bashforth de orden 4 y utilízalo para

obtener la solución. Completa la tabla y compara con a).

• Tabla comparación de los tres métodos:

t(días) 1 2 3 4 5

ode45 1,9455 12,6456 36,6322 47,3209 49,

AB4 19,454 12,6436 36,6283 47,3164 49,

RK4 19,454 12,6436 36,6283 47,3164 49,

2. Las posiciones de dos masas m1 = m2 = 1 enganchadas a dos resortes de

constantes k1 = 6, y k2 = 4 que están unidos, cuando ninguna fuerza externa

se aplica al sistema y si ninguna fuerza de amortiguamiento está presente,

satisfacen el sistema

x

1

' '

• 10 x

1

− 4 x

2

− 4 x 1

• x

2

' '

• 4 x

2

Si x 1

( 0 )= 0 , x '

1

( 0 )= 1 , x

2

( 0 )= 0 , x

2

'

( 0 )=− 1 , resolver numéricamente el sistema

de ecuaciones diferenciales en el intervalo [0, 20] con

h =0. con un Runge-Kutta

de orden 4. Representa con un subplot las posiciones de las dos partículas

comparando con la solución obtenida con ode45 y el método de medio paso para

sistemas. ¿Cuál es la posición y la velocidad de cada masa al cabo de 10 s con cada

uno de los métodos? Calcula la solución exacta del sistema y calcula el error que se

comete con cada método. ¿Qué método da una mejor aproximación a la solución

exacta?

RK4 Medio Paso ode

Posición 1 -0.1702 -0.2309 -0.

Posición 2 -0.2684 -0.2383 -0.

Velocidad 1 -1.1948 -1.1842 -1.

Velocidad 2 0.5999 0.6005 0.

• Cálculo de error cometido:

RK4 Medio Paso ode

Posición 1 0.0015 1.0023 0.

Posición 2 7.3773e-04 0.5016 0.

El método con el que obtenemos una mejor aproximación es usando Runge-Kutta de

orden 4.

3. Reacciones de tipo Activador-Inhibidor. Consideramos el siguiente sistema

de ecuaciones diferenciales que modelizan la evolución de las

concentraciones de dos sustancias A y B siguiendo un modelo de Gierer-

Meinhardt,

d C

A

dt

= k

1

C

A

2

C

B

− 1

− k

2

C

A

d C

B

dt

= k

3

C

A

2

− k

4

C

B

donde

C

A

( t ) y C

B

( t ) son las concentraciones en el instante t de A y B

respectivamente y

k

1

k

2

k

3

y

k

4

son constantes relacionadas con las

velocidades de las reacciones.

a) Si

k

1

= k

2

y

k

3

= k

4

y

C

A

y

C

B

, resuelve el sistema en

el intervalo de tiempo [0,30] y h = 0_._ 05 usando un método de RK de

orden 4.

Representa conjuntamente la evolución de las concentraciones de A y B

con el tiempo y observa la acción de activador y el inhibidor.

El RK de orden 4 sistemas es el que hemos usado al principio del ejercicio anterior.

La evolución de las concentraciones de A y B con el tiempo la vemos representada en la

siguiente gráfica (método de Heun):

a) ¿Cuál es el valor de las concentraciones A y B al cabo de 15 s con cada uno

de los métodos?

El valor de las concentraciones para t = 15 s es;

Runge-Kutta Heun

Concentración A 1.9480 2.

Concentración B 3.6479 3.