Presentación Tema 2, Apuntes de Estadística

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Tema 2

Modelos de probabilidad

Jos´e R. Berrendero

Departamento de Matem´aticas Universidad Aut´onoma de Madrid

Estructura de este tema

I (^) Conceptos b´asicos de probabilidad. I (^) Modelos discretos: la distribuci´on binomial y la distribuci´on de Poisson. I (^) Modelos continuos: la distribuci´on exponencial y la distribuci´on normal. I (^) Estimaci´on de una media en poblaciones normales.

Ejemplos

Ejemplo 1: Se seleccionan aleatoriamente 200 personas de una ciudad y se les pregunta si han seguido alguna dieta en los ´ultimos cinco a˜nos. De las personas seleccionadas 20 responden afirmativamente.

Ejemplo 2: Se seleccionan aleatoriamente 200 personas de una ciudad y se mide su ´ındice de masa corporal (IMC). La media de los IMC medidos es de 22.3.

Determina en los ejemplos anteriores un par´ametro poblacional de inter´es y su correspondiente estimador.

Para determinar la calidad de una estimaci´on se utilizan conceptos de probabilidad.

Variables aleatorias

Una variable aleatoria (v.a.) representa num´ericamente el resultado de un experimento aleatorio.

En el ejemplo 1, el experimento consiste en seleccionar a una persona aleatoriamente y preguntarle si ha seguido o no una dieta. Una variable aleatoria que representa el resultado es:

X =

1 , si la respuesta es afirmativa; 0 , si la respuesta es negativa.

Probabilidad de un suceso

La probabilidad es una funci´on P que, a cada suceso A, le hace corresponder un n´umero P(A) entre 0 y 1 y que refleja el grado de seguridad con el que el suceso ocurre.

En muchas ocasiones, los sucesos presentan un comportamiento regular a largo plazo. Por ejemplo, al tirar muchas veces una moneda, el porcentaje de veces que sale cara se aproximar´a al 50%

En estos casos, la probabilidad de un suceso puede interpretarse como el valor al que converge la frecuencia relativa de veces que ocurre ese suceso al aumentar el n´umero de veces que se repite el experimento.

Principales propiedades de la probabilidad

I P(Ω) = 1

I (^) La probabilidad de que un suceso no ocurra es 1 menos la probabilidad de que ocurra:

P(Ac^ ) = 1 − P(A)

I (^) Si A y B son dos sucesos cualesquiera (no necesariamente incompatibles), entonces

P(A ´o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)

Probabilidad condicionada

En general, la probabilidad de un suceso A condicionado a otro B (tal que P(B) > 0) se define

P(A | B) =

P(A y B) P(B)

Sensibilidad y especificidad La prevalencia del virus HIV es del 5% en una poblaci´on. Se ha dise˜nado una prueba para detectar la presencia del virus. La prueba tiene una sensibilidad (porcentaje de positivos entre los enfermos) del 95% y una especificidad (porcentaje de negativos entre los sanos) del 99%

Definimos los sucesos: I (^) A, la prueba da positivo (B = Ac^ , da negativo). I (^) E , el individuo est´a enfermo (S = E c^ est´a sano).

Probabilidad condicionada

P(E ) = 0. 05

Sensibilidad = P(A | E ) = P(A y E ) P(E )

Especificidad = P(B | S) = P(B y S) P(S)

I (^) ¿Cu´al es la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un individuo de la poblaci´on y hacerle la prueba, el resultado sea positivo? I (^) A˜nade los porcentajes adecuados en cada casilla:

A B S 95 E 5 100

Variables aleatorias discretas

Una v.a. es discreta si toma un n´umero finito (o una sucesi´on) de valores.

Su distribuci´on viene dada por una funci´on que asigna a cada valor su probabilidad:

Valores x 1 · · · xk Probabilidades p 1 · · · pk

Ejemplos: I (^) ¿Cu´al es la distribuci´on de la v.a. que representa el resultado de tirar un dado? I (^) Si X es la v.a. del ejemplo 1, entonces su distribuci´on es:

Valores 0 1 Probabilidades

Media y varianza de una v.a. discreta

Sea X una v.a. discreta con distribuci´on: Valores x 1 · · · xk Probabilidades p 1 · · · pk

La media o esperanza de X es:

μ = E(X ) = p 1 x 1 + · · · + pk xk

La varianza de X es:

σ^2 = Var(X ) = p 1 (x 1 − μ)^2 + · · · + pk (xk − μ)^2 ,

donde μ = E(X ).

La desviaci´on t´ıpica de X es σ =

Var(X )

La distribuci´on de Bernoulli

Una prueba de Bernoulli consiste en un experimento aleatorio con dos posibles resultados: ´exito y fracaso.

Una v.a. de Bernoulli (con par´ametro p) es aquella que toma el valor 1 (´exito) con probabilidad p y el valor 0 (fracaso) con probabilidad 1 − p.

Siempre que examinamos a n individuos de una poblaci´on para ver si presentan o no cierta caracter´ıstica tenemos una muestra x 1 ,... , xn de variables de Bernoulli.

La media y la varianza son las que se han calculado en el ejemplo anterior.

La distribuci´on binomial

Realizamos n pruebas de Bernoulli independientes tales que la probabilidad de ´exito es p.

Consideramos la v.a. que corresponde al n´umero de ´exitos obtenidos en las n pruebas. Se dice que X tiene distribuci´on binomial de par´ametros n y p: X ≡ B(n, p)

I (^) ¿Qu´e valores puede tomar una v.a. B(10, 0 .2)? ¿Y una v.a. B(10, 0 .5)? I (^) En el primer caso, ¿cu´anto valen P(X = 10), P(X = 0) y P(X = 1)? I (^) Intuitivamente, ¿cu´anto crees que vale E(X ) en los dos casos anteriores? I (^) Responde a las mismas preguntas en el caso general X ≡ B(n, p).

La distribuci´on de Poisson

La v.a. X sigue una distribuci´on de Poisson de par´ametro λ (λ > 0), y se denota X ≡ P(λ), si

P(X = k) = e−λ^ λk k!

para k = 0, 1 , 2 ,...

Se puede comprobar que E(X ) = λ = V(X ).

La distribuci´on de Poisson resulta ´util en muchos procesos en los que ocurren determinados sucesos por unidad de tiempo o espacio:

• El n´umero de plaquetas en un ml. de sangre.
• El n´umero de mutaciones en un fragmento de ADN despu´es de una cierta cantidad de radiaci´on.
• N´umero de goles en un partido de f´utbol.

La distribuci´on de Poisson

La distribuci´on de Poisson aparece como l´ımite de la binomial bajo ciertas condiciones:

I (^) Dividimos el intervalo en un gran n´umero n de peque˜nos intervalos.

I (^) En cada peque˜no intervalo la probabilidad de que ocurra dos o m´as veces el suceso se puede despreciar. I (^) La ocurrencia o no del suceso en cada peque˜no intervalo es independiente de lo que ocurra en el resto de intervalos. I (^) La probabilidad de que el suceso ocurra en cada peque˜no intervalo es p, donde si n → ∞ se verifica p → 0 I (^) Adem´as, np → λ para cierto valor λ > 0. Es decir, el n´umero medio de veces que ocurre el suceso en el intervalo grande se estabiliza en torno a λ.