Presentación Tema 4, Apuntes de Estadística

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Tema 4

Intervalos de confianza

Jos´e R. Berrendero

Departamento de Matem´aticas Universidad Aut´onoma de Madrid

Estructura de este tema

I (^) ¿Qu´e es un intervalo de confianza (IC)?

I (^) IC en problemas relacionados con una muestra: I (^) IC para la media de una poblaci´on normal. I (^) IC para una proporci´on. I (^) IC para el par´ametro λ de una distribuci´on de Poisson. I (^) IC para la varianza de una poblaci´on normal.

I (^) IC en problemas relacionados con dos muestras: I (^) IC para la diferencia de medias: muestras independientes y datos emparejados. I (^) IC para la diferencia de proporciones. I (^) IC para el cociente de varianzas.

IC para la media de una poblaci´on normal

(varianza conocida)

Queremos estimar el contenido medio en grasas (en g/100 g) de la carne de cerdo, μ. Para ello disponemos de una muestra de 12 piezas de carne para la que el contenido medio es ¯x = 24.93.

Esto significa que μ ≈ 24 .93. Por supuesto, μ 6 = 24.93. Si tom´aramos otras 12 piezas distintas nos habr´ıa resultado una estimaci´on de μ diferente.

Un IC es una forma de precisar qu´e significa μ ≈ 24 .93.

Suponemos que la poblaci´on es normal y que la desviaci´on t´ıpica de la poblaci´on es conocida y vale σ = 0.25.

Como ¯x ≡ N(μ, 0. 25 /

12), sabemos qu´e valores podr´ıamos esperar si tom´aramos muchas muestras de tama˜no 12.

Aproximadamente para el 95% de las muestras de tama˜no 12 se cumple: − 0. 072 × 1. 96 < ¯x − μ < 0. 072 × 1. 96.

Las desigualdades anteriores son equivalentes a:

¯x − 0. 072 × 1. 96 < μ < ¯x + 0. 072 × 1. 96.

Aproximadamente para el 95% de las muestras de tama˜no 12 se cumple que μ ∈ [¯x ∓ 0 .1411].

Confiamos (con un nivel del 95%) en que la ´unica muestra de la que disponemos sea una de las que verifican la condici´on.

Decimos que [24. 93 ∓ 0 .1411] es un IC para μ de nivel 95%.

Interpretaci´on del nivel de confianza

I (^) Poblaci´on: normal con media μ = 0 y σ = 1.

I (^) Se extraen 100 muestras de tama˜no n = 20.

I (^) Para cada muestra se calcula ¯x y el intervalo de confianza para μ de nivel 95% (suponemos varianza poblacional conocida):

[¯x ∓ z 0. 025 σ/

n].

I (^) Se representa un histograma de las 100 medias obtenidas, as´ı como los 100 intervalos (en verde si contienen el valor 0 y en rojo si no).

Interpretaci´on del nivel de confianza

Medias

Frecuencias

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.

0

5

10

15

20

25

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.

−^

−^

−^

0

1

2

3

Intervalos

Margen de error

Al radio del intervalo se le suele llamar margen de error, E. En la situaci´on anterior: E = zα/ 2

s √ n

El margen de error depende de:

I (^) El nivel de confianza deseado, a trav´es de zα/ 2. Se suele tomar α = 0.05 lo que da z 0. 025 = 1. 96 ≈ 2.

I (^) La heterogeneidad de la poblaci´on, medida a trav´es de s.

I (^) El tama˜no muestral n.

Si σ no es conocida y la poblaci´on es normal

I (^) Cuando la poblaci´on es normal y σ no es conocida, es posible dar un IC exacto incluso cuando el tama˜no muestral n es peque˜no.

I (^) Para ello, basta mirar en unas tablas distintas. En lugar de buscar zα/ 2 en las tablas de la normal, buscamos tn− 1 ,α/ 2 en las tablas de la distribuci´on t de Student. La f´ormula del IC queda IC 1 −α(μ) =

[

¯x ∓ tn− 1 ,α/ 2

s √ n

]

Funci´on de densidad de la distribuci´on t-Student

Densidad de la t

N(0,1)

t 5

t 2

Tablas de la distribuci´on t-Student t

 - Ejemplo: para n = 25 y α = 0.05, t25;0. 05 = 1.708, significa que P (T > 1 .708) = 0. α 

• n 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 α0.01 0.008 0.005 0.004 0.0025 0.
  • 12 1.0000.816 1.3761.061 1.9631.386 3.0781.886 6.3142.920 12.714.303 31.826.965 39.787.811 63.669.925 79.5711.11 127.314.09 187.217.
  • 34 0.7650.741 0.9780.941 1.2501.190 1.6381.533 2.3532.132 3.1822.776 4.5413.747 4.9304.010 5.8414.604 6.3224.908 7.4535.598 8.5176.
  • 56 0.7270.718 0.9200.906 1.1561.134 1.4761.440 2.0151.943 2.5712.447 3.3653.143 3.5733.320 4.0323.707 4.2623.898 4.7734.317 5.2244.
  • 78 0.7110.706 0.8960.889 1.1191.108 1.4151.397 1.8951.860 2.3652.306 2.9982.896 3.1573.043 3.4993.355 3.6673.507 4.0293.833 4.3394.
• 109 0.7030.700 0.8830.879 1.1001.093 1.3831.372 1.8331.812 2.2622.228 2.8212.764 2.9582.894 3.2503.169 3.3903.301 3.6903.581 3.9413.
• 1112 0.6970.695 0.8760.873 1.0881.083 1.3631.356 1.7961.782 2.2012.179 2.7182.681 2.8432.801 3.1063.055 3.2313.175 3.4973.428 3.7173.
• 1314 0.6940.692 0.8700.868 1.0791.076 1.3501.345 1.7711.761 2.1602.145 2.6502.624 2.7672.739 3.0122.977 3.1283.089 3.3723.326 3.5733.
• 1516 0.6910.690 0.8660.865 1.0741.071 1.3411.337 1.7531.746 2.1312.120 2.6022.583 2.7142.693 2.9472.921 3.0563.028 3.2863.252 3.4743.
• 1718 0.6890.688 0.8630.862 1.0691.067 1.3331.330 1.7401.734 2.1102.101 2.5672.552 2.6752.658 2.8982.878 3.0032.982 3.2223.197 3.4013.
• 1920 0.6880.687 0.8610.860 1.0661.064 1.3281.325 1.7291.725 2.0932.086 2.5392.528 2.6442.631 2.8612.845 2.9622.945 3.1743.153 3.3453.
• 2122 0.6860.686 0.8590.858 1.0631.061 1.3231.321 1.7211.717 2.0802.074 2.5182.508 2.6202.610 2.8312.819 2.9302.916 3.1353.119 3.3013.
• 2324 0.6850.685 0.8580.857 1.0601.059 1.3191.318 1.7141.711 2.0692.064 2.5002.492 2.6002.592 2.8072.797 2.9042.892 3.1043.091 3.2663.
• 2526 0.6840.684 0.8560.856 1.0581.058 1.3161.315 1.7081.706 2.0602.056 2.4852.479 2.5842.577 2.7872.779 2.8822.873 3.0783.067 3.2363.
• 2728 0.6840.683 0.8550.855 1.0571.056 1.3141.313 1.7031.701 2.0522.048 2.4732.467 2.5702.564 2.7712.763 2.8642.856 3.0573.047 3.2123.
• 2930 0.6830.683 0.8540.854 1.0551.055 1.3111.310 1.6991.697 2.0452.042 2.4622.457 2.5582.553 2.7562.750 2.8482.841 3.0383.030 3.1903.
• 3540 0.6820.681 0.8520.851 1.0521.050 1.3061.303 1.6901.684 2.0302.021 2.4382.423 2.5322.516 2.7242.704 2.8132.792 2.9962.971 3.1433.
• 4550 0.6800.679 0.8500.849 1.0491.047 1.3011.299 1.6791.676 2.0142.009 2.4122.403 2.5032.494 2.6902.678 2.7762.763 2.9522.937 3.0933.
• 5560 0.6790.679 0.8480.848 1.0461.045 1.2971.296 1.6731.671 2.0042.000 2.3962.390 2.4862.479 2.6682.660 2.7522.744 2.9252.915 3.0623.
• 6570 0.6780.678 0.8470.847 1.0451.044 1.2951.294 1.6691.667 1.9971.994 2.3852.381 2.4742.469 2.6542.648 2.7362.730 2.9062.899 3.0413.
• 7580 0.6780.678 0.8460.846 1.0441.043 1.2931.292 1.6651.664 1.9921.990 2.3772.374 2.4652.461 2.6432.639 2.7252.720 2.8922.887 3.0253.
• 100120 0.6770.677 0.8450.845 1.0421.041 1.2901.289 1.6601.658 1.9841.980 2.3642.358 2.4512.444 2.6262.617 2.7062.697 2.8712.860 3.0012.
• 140 0.676 0.844 1.040 1.288 1.656 1.977 2.353 2.439 2.611 2.691 2.852 2.

Un ejemplo resuelto

El envenenamiento por DDT causa temblores y convulsiones. En un estudio se ha administrado una dosis de DDT a 4 ratones y se ha medido posteriormente en cada uno el periodo absolutamente refractario, es decir, el tiempo que tardan sus nervios en recuperarse tras un est´ımulo. Las 4 medidas en milisegundos son:

1. 7 1. 6 1. 8 1. 9

(a) Estima el periodo absolutamente refractario medio μ para toda la poblaci´on de ratones de la misma cepa sujeta al mismo tratamiento con DDT. (b) Calcula el error t´ıpico de la estimaci´on anterior. (c) Calcula un intervalo de confianza para μ con nivel de confianza 90%. (Se supone normalidad). (d) Calcula otro intervalo, pero ahora con un nivel del 95%

(e) Si se quiere estimar con un nivel de confianza del 95% y un margen de error de ∓ 0 .02, ¿cu´antos datos son necesarios aproximadamente?

(a) La estimaci´on de μ es la media muestral:

¯x =

(b) Para calcular el error t´ıpico, primero hay que calcular la cuasivarianza muestral:

s^2 =

(1. 7 − 1 .75)^2 + (1. 6 − 1 .75)^2 + (1. 8 − 1 .75)^2 + (1. 9 − 1 .75)^2

Por lo tanto s^2 ≈ 0 .017 y s =

El error t´ıpico es s/

n = 0. 13 /2 = 0.065.

IC para una proporci´on

Las ideas para construir un IC en este caso son exactamente las mismas que en el caso de la media.

Sabemos que para la distribuci´on de Bernoulli σ =

p(1 − p) que se puede estimar mediante ˆσ =

ˆp(1 − ˆp).

La f´ormula del intervalo es [ ˆp ∓ zα/ 2

pˆ(1 − ˆp) n

]

y es v´alida para n grande, ya que se basa en el TCL.

El margen de error en este caso es

E = zα/ 2

pˆ(1 − ˆp) n

Un ejemplo resuelto

En una encuesta para estudiar la preocupaci´on de la poblaci´on por su alimentaci´on, se ha preguntado a 965 personas si han seguido alguna dieta en los ´ultimos 5 a˜nos. De ellas, 406 han respondido afirmativamente. Con esta informaci´on: (a) Estima la proporci´on p de la poblaci´on que ha seguido alguna dieta en los ´ultimos 5 a˜nos. (b) Calcula el error t´ıpico del estimador anterior. (c) Calcula un intervalo de confianza para p con un nivel de confianza del 95% (d) Si para un nuevo estudio se desea estimar p con un margen de error de ∓1% y un nivel de confianza del 95%, ¿a cu´antas personas hay que entrevistar aproximadamente?