Presentación Tema 5, Apuntes de Estadística

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Tema 5

Contrastes de hip´otesis

Jos´e R. Berrendero

Departamento de Matem´aticas Universidad Aut´onoma de Madrid

Estructura de este tema

I (^) ¿Qu´e es un contraste de hip´otesis? I (^) Elementos de un contraste: hip´otesis, tipos de error, nivel de significaci´on, regi´on cr´ıtica. I (^) Ejemplos de contrastes para medias, varianzas y proporciones. I (^) Contrastes de bondad de ajuste.

Ejemplo

Los refrescos de cola light utilizan edulcorantes artificiales que pueden perder su efecto con el tiempo.

En un experimento se pidi´o a varias personas que probaran refrescos diet´eticos y calificaran su grado de sabor dulce en una escala de 1 a 10.

Tras almacenar las bebidas durante un mes a alta temperatura (para imitar el efecto de 4 meses de almacenamiento a temperatura ambiente) las mismas personas probaron de nuevo los refrescos y calificaron de nuevo su grado de sabor dulce.

En la siguiente tabla aparecen las diferencias en las puntuaciones (a mayor diferencia, mayor ca´ıda del sabor):

2 , 0. 4 , 0. 7 , 2 , − 0. 4 , 2. 2 , − 1. 3 , 1. 2 , 1. 1 , 2. 3

La mayor´ıa de los datos son positivos. Es decir, la mayor´ıa de las personas apreciaron p´erdida en el nivel de sabor.

Pero las diferencias no son muy grandes (e incluso dos personas apreciaron un incremento).

La pregunta que trata de responder un contraste de hip´otesis es: ¿Proporcionan estos datos evidencia de que el nivel medio de sabor decrece?

La media estimada a partir de los datos es ¯x = 1.02. I (^) ¿Refleja esta estimaci´on un aut´entico descenso en el nivel medio de sabor? I (^) ¿Se debe el resultado a razones puramente aleatorias?

El razonamiento b´asico para hacer este contraste es: I (^) Supongamos que H 0 es cierta, es decir, μ ≤ 0. I (^) ¿Es el resultado obtenido a partir de los datos (¯x = 1.02) extra˜no bajo esta hip´otesis? I (^) Si esto es as´ı, los datos aportan evidencia contra H 0 y a favor de H 1.

Para llevar a cabo el an´alisis anterior tenemos que estudiar qu´e valores son los que cabe esperar que tome ¯x cuando H 0 es cierta.

Para simplificar suponemos de momento que la poblaci´on es normal y que la varianza es conocida y vale σ = 1.

Supongamos que H 0 es cierta y que μ vale 0 (toma el valor en el que m´as dif´ıcil es distinguir entre H 0 y H 1 ).

Sabemos (tema 3) que

¯x − μ σ/

n

≡ N(0, 1).

Para juzgar si el valor ¯x = 1.02 es compatible con μ = 0 calculamos

t =

y comparamos con la distribuci´on normal est´andar.

Podemos interpretar t = 3.2255 como la distancia entre ¯x y 0 medida en desviaciones t´ıpicas.

Si μ = 0, en menos de 1 de cada 1000 muestras se obtendr´ıa un valor de t superior a 3.2255.

Si μ < 0, la proporci´on de muestras ser´ıa todav´ıa menor.

Como 3.2255 es un valor bastante improbable para una distribuci´on N(0, 1), los datos proporcionan bastante evidencia en contra de H 0 y a favor de H 1.

Parece que la distancia entre ¯x y 0 es “suficientemente grande” como para rechazar H 0 : μ ≤ 0.

Tipos de error

¿Qu´e significa ”suficientemente grande”? Depende de lo seguros que queramos estar a la hora de rechazar o no la hip´otesis nula. Se pueden cometer dos tipos de errores: I (^) Error de tipo I: Rechazar H 0 cuando es cierta. I (^) Error de tipo II: Aceptar H 0 cuando es falsa.

De los dos errores s´olo vamos a poder controlar el error de tipo I. Por ello, se deben definir las hip´otesis de forma que el error de tipo I sea el m´as grave (equivalentemente, H 1 debe ser la hip´otesis que queremos confirmar).

Se llama nivel de significaci´on α de un contraste a la mayor probabilidad de cometer un error de tipo I cuando se utiliza ese contraste.

Regi´on cr´ıtica o de rechazo

NH0,1L

z Α

A R

• 4 - 2 2 4

Regi´on cr´ıtica o de rechazo

Rechazaremos H 0 : μ ≤ 0 a nivel α siempre que se verifique:

R =

x¯ − 0 1 /

zα

A R se le llama regi´on de rechazo o regi´on cr´ıtica.

Para los datos del ejemplo recordemos que

¯x − 0 1 /

Para hacer el contraste a nivel α = 0.05, buscamos en las tablas z 0. 05 = 1.64.

Como 3. 2255 > 1 .64, estamos en la regi´on cr´ıtica y rechazamos la hip´otesis nula μ ≤ 0 a nivel α = 0.05.

Ejemplo del edulcorante cuando σ es desconocida

Queremos contrastar H 0 : μ ≤ 0 frente a H 1 : μ > 0 (es decir, contraste unilateral con μ 0 = 0) a nivel α = 0.05.

Suponemos ahora que σ no es conocida. La aproximamos a partir de la muestra:

2 , 0. 4 , 0. 7 , 2 , − 0. 4 , 2. 2 , − 1. 3 , 1. 2 , 1. 1 , 2. 3

Para ello usamos el estimador:

s =

n i=1(xi^ −^ x¯)^2 n − 1

Ejemplo del edulcorante cuando σ es desconocida

Calculamos el estad´ıstico t:

t = ¯x − μ 0 s/

n

En las tablas de la t buscamos el valor:

t 9 , 0. 05 = 1. 833

Como 2. 697 > 1 .833 estamos en la regi´on cr´ıtica y rechazamos H 0 a nivel α = 0.05.

Ejemplo del edulcorante cuando σ es desconocida

¿Cu´al es la conclusi´on si fijamos α = 0.01?

tH 9 L

• 4 - 2 2 4

Contrastes para la media de una poblaci´on normal

(varianza desconocida)

Contrastes unilaterales: I (^) Hip´otesis: H 0 : μ ≤ μ 0 frente a H 1 : μ > μ 0 I (^) Regi´on cr´ıtica: R =

{ (^) ¯x − μ 0 s/√n >^ tn−^1 ,α

} .

I (^) Hip´otesis: H 0 : μ ≥ μ 0 frente a H 1 : μ < μ 0 I (^) Regi´on cr´ıtica: R =

{ (^) ¯x − μ 0 s/√n <^ −tn−^1 ,α

} .

Contraste bilateral: I (^) Hip´otesis: H 0 : μ = μ 0 frente a H 1 : μ 6 = μ 0 I (^) Regi´on cr´ıtica: R =

{ (^) |¯x − μ 0 | s/√n >^ tn−^1 ,α/^2

} .