Presentación Tema 3, Apuntes de Estadística

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Tema 3

Estimaci´on puntual

Jos´e R. Berrendero

Departamento de Matem´aticas Universidad Aut´onoma de Madrid

Estructura de este tema

I (^) Estimaci´on de la media poblacional.

I (^) Estimaci´on de la proporci´on poblacional.

I (^) Sesgo, varianza y error cuadr´atico medio de un estimador.

I (^) M´etodos generales de obtenci´on de estimadores: I (^) M´etodo de momentos. I (^) M´etodo de m´axima verosimilitud.

Distribuci´on de la media muestral

Población

Observaciones

Densidad

0.0 0 2 4 6 8 10

0.^ 0.^ 0.^

n=

Medias

Frecuencia

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3. 0

50

100

150

200

n=

Medias

Frecuencia

0.5 1.0 1.5 2. 0

50

100

150

200

250

300

n=

Medias

Frecuencia

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1. 0

50

100

150

200

250

n=

Medias

Frecuencia

0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1. 0

50

100

150

200 lllll

l lll

l lll l

l lll

l lll lllllllllll lllllllllllllllll llllll l

l l n=5 n=10 n=50 n=

0.^ 1.^ 1.^ 2.^ 2.^

Comparación

Distribuci´on de la media muestral

Teorema central del l´ımite: Sea ¯x la media de una muestra de tama˜no n de una poblaci´on con media μ y desviaci´on t´ıpica σ. Entonces, si n es grande la distribuci´on de los valores que toma ¯x es aproximadamente normal de media μ y desviaci´on t´ıpica σ/

n

En notaci´on matem´atica, podemos escribir:

¯x ∼= N

μ, σ √ n

Si la poblaci´on de partida es normal, el resultado anterior es cierto de forma exacta para cualquier tama˜no muestral n.

Ejemplos

I (^) El tiempo de espera de los estudiantes de la UAM hasta que llega el tren a la estaci´on de Cantoblanco es una variable aleatoria con distribuci´on exponencial de media 10 minutos. (a) Calcula la probabilidad de que un estudiante que llega a la estaci´on tenga que esperar entre 5 y 15 minutos. (b) Si se calcula el promedio de los tiempos de espera de 100 estudiantes (que llegan a la estaci´on en d´ıas y horas diferentes, de manera que los tiempos se pueden considerar independientes), calcula la probabilidad aproximada de que este promedio sea superior a 11 minutos. (c) Calcula la probabilidad aproximada de que, entre los 100 estudiantes del apartado anterior, haya m´as de 45 cuyo tiempo de espera est´e entre 5 y 15 minutos. I (^) El peso de los huevos producidos por una gallina tiene distribuci´on normal de media μ = 65 g y desviaci´on t´ıpica σ = 5 g. ¿Cu´al es la probabilidad de que una docena de huevos pese entre 750 y 825 g?

Error t´ıpico de la media muestral

El error t´ıpico de un estimador es un estimador de su desviaci´on t´ıpica.

La desviaci´on t´ıpica de la media es σ/

n, pero en la pr´actica σ es un par´ametro poblacional desconocido.

Resulta natural estimar σ^2 con la cuasivarianza muestral:

S^2 = (x 1 − x¯)^2 + · · · + (xn − x¯)^2 n − 1

Se divide n − 1 ya que puede demostrarse que al dividir por n el estimador tiene una tendencia sistem´atica a infraestimar σ^2.

El error t´ıpico de la media muestral es

S √ n

Ejemplo con una poblaci´on peque˜na

I (^) Poblaci´on: Los 12 alumnos de una clase.

I (^) Variable: Nota que un alumno obtiene en un examen

Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nota 1 0 3 10 8 7 5 5 5 6 4 3 Notas

x

Density

0.00 0 2 4 6 8 10

0.^ 0.^

Par´ametros poblacionales

I (^) Media poblacional:

μ =

I (^) Varianza poblacional:

σ^2 =

(1 − 4 .75)^2 + (0 − 4 .75)^2 + · · · + (3 − 4 .75)^2

I (^) Desviaci´on t´ıpica poblacional:

σ =

2000 muestras de tama˜no 4

I (^) Extraemos 2000 muestras de tama˜no 4. I (^) Todos los valores son equiprobables y se extraen con reemplazamiento (muestreo aleatorio simple). I (^) Un histograma de las correspondientes 2000 medias muestrales:

Medias

Frecuencias

2 4 6 8

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

Caracter´ısticas de la distribuci´on de ¯x

I (^) Las propiedades de ¯x como estimador de μ se corresponden con las propiedades del histograma anterior.

I (^) La forma del histograma es la de una distribuci´on normal.

I (^) Los valores de ¯x se centran alrededor del verdadero valor de μ. El estimador es centrado o insesgado.

I (^) La desviaci´on t´ıpica de ¯x es menor que σ. Se puede demostrar que la desviaci´on t´ıpica de ¯x es: σ √ n

¿Por qu´e se divide por n − 1 en lugar de n?

I (^) Puede comprobarse que la varianza muestral (dividiendo por n) presenta una tendencia sistem´atica a infraestimar σ^2.

I (^) Para corregir este sesgo se incrementa ligeramente el valor del estimador dividiendo por n − 1 en lugar de n.

I (^) Diagramas de cajas de las 2000 varianzas y cuasivarianzas muestrales. La l´ınea roja corresponde a σ^2 = 7.3542.

lllllllllll lllll llllllll

l l

lll l

ll llllllllll l lllllllllll

lllll

llll

l llll

ll ll l l llllllll l

l

l

lll l

l ll l llll ll

lll l l ll llllll l

lll

l l

Dividir por n Dividir por n−

0

5

10

15

20

25

30

Estimaci´on de una proporci´on poblacional

Queremos estimar la proporci´on p de personas en una poblaci´on que han seguido una dieta en los ´ultimos 5 a˜nos. Para ello, preguntamos a 10 personas y definimos

xi =

0 , si la persona i no ha seguido una dieta; 1 , si la persona i ha seguido una dieta.

Obtenemos los siguientes datos:

1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0

Estos datos son 10 observaciones de una v.a. de Bernoulli con par´ametro p.

¿Cu´al es el estimador m´as natural de p?

Distribuci´on de la proporci´on muestral

Seg´un el TCL, ¿c´omo se distribuye aproximadamente la proporci´on muestral ˆp?

¿Cu´al es la desviaci´on t´ıpica de ˆp?

¿Cu´al es el m´aximo (m´ınimo) valor posible de esta desviaci´on t´ıpica?

¿En qu´e situaci´on se va a dar ese valor?

En general, ¿cu´al es el error t´ıpico de ˆp?

Calcula el error t´ıpico de ˆp para los datos de la encuesta sobre la dieta.

Estimaci´on puntual: planteamiento general

Disponemos de una muestra aleatoria simple X 1 ,... , Xn de una v.a. X : I (^) Las observaciones X 1 ,... , Xn son independientes. I (^) Todas ellas tienen la misma distribuci´on que X

Se supone que la distribuci´on de X es conocida salvo por el valor de un conjunto de par´ametros que denotamos θ.

Objetivo: Aproximar el valor de θ a partir de la muestra. Para ello necesitamos calcular un estimador θˆ = ˆθ(X 1 ,... , Xn).

¿Que propiedades debe tener un buen estimador?

¿Existen m´etodos generales para obtener estimadores?