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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA LA ARQUITECTURA I Tema 2: Geometría analítica de curvas y superficies. 2.1) Identificar las superficies siguientes e indicar sus elementos principales: 𝑎) 𝑥 + 2 𝑦 + 3 𝑧 = 6 𝑏) 𝑧 = 1 𝑐) 𝑥!^ + 𝑦!^ = 2 𝑥 𝑑) 𝑧 = 𝑥! 𝑒) 𝑥!^ + 𝑦!^ + 𝑧!^ = 2 𝑧 + 3 𝑓) 𝑥!^ + 2 𝑦!^ + 3 𝑧!^ = 2 𝑦 + 6 𝑧 + 1 𝑔) 𝑥 !
- 2 𝑦 ! = 2 𝑦 + 𝑧 ! ℎ) 𝑦 !
- 𝑧 ! = 𝑥 ! − 2 𝑥 𝑖) 𝑦!^ + 𝑧!^ = 𝑥!^ 𝑗) 𝑦!^ + 𝑧!^ = 𝑥 𝑘) 𝑦!^ − 𝑧!^ = 𝑥 𝑙) 𝑥!^ − 1 = 𝑦!^ − 2 𝑦 − 𝑧! 2.2) Parametrizar las superficies siguientes: 𝑎) 𝑥 + 2 𝑦 + 3 𝑧 = 6 𝑏) 𝑧 = 1 𝑐) 𝑥!^ + 𝑦!^ = 2 𝑥 𝑑) 𝑧 = (𝑥 − 1 )!^ + 𝑦! 𝑒) 𝑧 = (𝑥 − 1 )!^ − 𝑦!^ 𝑓) (𝑥 − 1 )!^ + 𝑦!^ + 4 𝑧!^ = 4 2.3) Obtener unas ecuaciones implícitas de las curvas siguientes: 𝑎)
𝑦 = cos 𝑡 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠!𝑡
2.4) Identificar y parametrizar las curvas siguientes 𝑎)
!
𝑥!^ + 𝑦!^ + 𝑧!^ = 1
𝑧 = 3 − 𝑥!^ − 𝑦!
𝑧 = 1 − 𝑥!^ − 𝑦!
𝑥!^ + 𝑦!^ = 1
𝑥!^ + 𝑧!^ = 1
𝑥!^ + 𝑦!^ + 𝑧!^ = 4
𝑥!^ + 4 𝑦!^ = 4
𝑥!^ + 𝑦!^ + 𝑧!^ = 4
𝑥!^ + 2 𝑧!^ = 1
1 − 𝑧 = 𝑥!^ + 𝑦!
𝑥!^ + 𝑦!^ = 𝑥
2.5) Obtener e identificar las proyecciones exactas de las curvas anteriores sobre los tres planos coordenados. 2.6) Obtener unas ecuaciones paramétricas del cilindro formado por rectas paralelas a 𝑥 = 𝑦 = 2 𝑧 y directriz la curva 𝑥!^ + 𝑦!^ + 𝑧!^ = 4 , 𝑧 = 𝑥. 2.7) Obtener unas ecuaciones paramétricas del cono con vértice en el origen y directriz la hélice 𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑧 = 𝑡. 2.8) Hallar unas ecuaciones paramétricas del cono con vértice en el punto ( 0 , 0 , 2 ) y directriz la curva 𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 6 𝑡. 2.9) Obtener unas ecuaciones paramétricas del cono con vértice en el punto ( 1 , 2 , 3 ) y directriz la curva { 𝑥!^ + 4 𝑦!^ = 1 , 𝑧 = 𝑥𝑦 }. 2.10) Obtener unas ecuaciones paramétricas de la superficie conoide formada por rectas paralelas al plano 𝑂𝑋𝑌 que se apoyan en el eje 𝑂𝑍 y en la curva intersección del cilindro 𝑥!^ + 𝑧!^ = 1 con el plano 𝑦 = 1.
2.13) Obtener unas ecuaciones paramétricas de la superficie formada por los segmentos de rectas que se apoyan en las curvas 5 cos 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 5 𝑡, 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , cos 𝑡, −𝑠𝑒𝑛 5 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡 para valores iguales de 𝑡. Demostrar que esta superficie contiene a la circunferencia {𝑥!^ + 𝑧!^ = 9 , 𝑦 = 0 }. 2.14) Obtener unas ecuaciones paramétricas de la superficie formada por rectas paralelas al plano 𝑂𝑌𝑍 y que se apoyan en la recta {𝑧 = 𝑥, 𝑦 = 1 } y en la {𝑧 = −𝑥, 𝑦 = − 1 }. Monumento al Deporte (1970) San Juan (Argentina)
2.15) Obtener unas ecuaciones paramétricas de la superficie formada por rectas paralelas al plano 𝑂𝑌𝑍 que se apoyan en la recta {𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1 + 𝑧} y en la {𝑦 = −𝑥, 𝑥 = 1 − 𝑧}. 2.16) Obtener unas ecuaciones paramétricas de la superficie formada por segmentos de rectas horizontales que se apoyan en las hélices 𝑐𝑜𝑠𝑎, 𝑠𝑒𝑛 𝑎, 𝑎 , {𝑠𝑒𝑛 𝑏, − cos 𝑏, 𝑏}. Estadio Olímpico de la Cartuja (Sevilla) Turning Torse (Suecia) Santiago Calatrava (1999) Paraboloide hiperbólico que pasa por los puntos 𝐴( 1 , − 1 , 0 ), 𝐵( 2 , − 2 , − 1 ), 𝐶( 1 , 1 , 0 ), 𝐷(^2 , 2 , 1 ).
2.19) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución engendrada al girar la parábola {𝑥 = 0 , 𝑧 = 𝑦!} alrededor de la recta 𝑥 = 0 , 𝑦 = 2. 2.20) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución engendrada al girar la parábola {𝑦 = 𝑥!, 𝑧 = 0 } alrededor de 𝑂𝑌. 2.21) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución engendrada al girar la parábola {𝑧 = 𝑦!, 𝑥 = 0 } alrededor de 𝑂𝑌. 2.22) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución generada al girar alrededor de 𝑂𝑍 el trozo de curva {𝑦 = 1 + cos 𝑧 , 𝑥 = 0 } correspondiente a – ! !
2.23) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la superficie formada por circunferencias horizontales de radio 1 y con centros en la parábola 𝑧 = 𝑦!, 𝑥 = 0. 2.24) Obtener unas ecuaciones paramétricas de la superficie formada por circunferencias paralelas al plano 𝑂𝑌𝑍, con centros en la parábola {𝑦 = 1 + 𝑥!, 𝑧 = 0 } y que se apoyan en el eje 𝑂𝑋. Palacio de Catalina San Petersburgo Catedral de San Basilio Moscú
