Practicas Mates II, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Practicas Mates II y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Pràctica 1. Introducció a l’Optimització

Matemàtiques II

María del Carmen Bas Cerdá ([email protected])

Contingut

1. Programa LINGO

2. El procés de modelització

3. Sintaxi del programa informàtic

4. Principals opcions del menú

5. Tipus de problemes i solucions

6. Sintaxi del exemple

7. Exercici

Exemple: Decidir la fabricació òptima de productes considerant els recursos disponibles

Una fàbrica es proposa confeccionar una sèrie de trofeus esportius, corresponents a les modalitats de futbol, bàsquet, cursa i tenis. La botiga obté un benefici de 7 , 2 € per cada trofeu de futbol, 4 , 5 € per cada trofeu de bàsquet, 4 , 8 € per cada trofeu de cursa i 6 € per cada trofeu de tenis. Cada trofeu requereix una sèrie de materials per a la seua fabricació: fusta per a la base, acer per a l'estructura i or per als daurats i embellidors. A més, es coneixen les hores de mà d'obra que necessita cada trofeu. Les dades figuren en la taula següent: Fusta (en quilos) Acer (en quilos) Or (en quilos) Mà d'obra (en hores) Futbol 0,4 0,6 0,2 2, Bàsquet 0,5 0,3 0,1 1, Cursa 0,6 0,3 0,1 1, Tennis 0,4 0,45 0,15 1, La disponibilitat de la botiga és: 55 kg de fusta, 39 kg d'acer, 23 kg d'or i 175 hores de mà d'obra. Plantegeu el problema a resoldre per determinar la producció que maximitza els beneficis.

COM CONSTRUIR UN MODEL?

2. El procés de modelització

Exemple: Decidir la fabricació òptima de productes considerant els recursos disponibles Una fàbrica es proposa confeccionar una sèrie de trofeus esportius, corresponents a les modalitats de futbol, bàsquet, cursa i tenis. La botiga obté un benefici de 7,2 € per cada trofeu de futbol, 4,5 € per cada trofeu de bàsquet, 4,8 € per cada trofeu de cursa i 6 € per cada trofeu de tenis. Cada trofeu requereix una sèrie de materials per a la seua fabricació: fusta per a la base, acer per a l'estructura i or per als daurats i embellidors. A més, es coneixen les hores de mà d'obra que necessita cada trofeu. Les dades figuren en la taula següent: Fusta (en quilos) Acer (en quilos) Or (en quilos) Mà d'obra (en hores) Futbol 0,4 0,6 0,2 2, Bàsquet 0,5 0,3 0,1 1, Cursa 0,6 0,3 0,1 1, Tennis 0,4 0,45 0,15 1, La disponibilitat de la botiga és: 55 kg de fusta, 39 kg d'acer, 23 kg d'or i 175 hores de mà d'obra. Plantegeu el problema a resoldre per determinar la producció que maximitza els beneficis. Variables (principals): Sempre representen un valor numèric. Com el seu nom indica, VARIEN. Primera restricció: Fusta: 0 , 4 x 1 + 0 , 5 x 2 + 0 , 6 x 3 + 0 , 4 x 4 ≤ 55 Segona restricció: Acer: 0 , 6 x 1 + 0 , 3 x 2 + 0 , 3 x 3 + 0 , 45 x 4 ≤ 39 Tercera restricció: Or: 0 , 2 x 1 + 0 , 1 x 2 + 0 , 1 x 3 + 0 , 15 x 4 ≤ 23 Quarta restricció: Mà d'obra: 2 , 2 x 1 + 1 , 7 x 2 + 1 , 2 x 3 + 1 , 3 x 4 ≤ 175 x 1 , x 2 , x 3 , x 4  0 Restriccions: Condicions que cal imposar perquè les variables prenguen valors coherents amb l'enunciat. Sempre són equacions o inequacions (desigualtats). Primera variable: nre. de trofeus de futbol que convé fabricar: x 1 Segona variable: nre. de trofeus de bàsquet que convé fabricar : x 2 Tercera variable: nre. de trofeus de cursa que convé fabricar : x 3 Quarta variable: nre. de trofeus de tenis que convé fabricar : x 4 Necessitats de fusta Disponibilitat de fusta Funció objectiu: Funció que proporciona, per als valors de les variables, el valor de l'objectiu que volem aconseguir. Sempre és una funció. Funció objectiu: Benefici que s'obté fabricant un nombre de trofeus de cada tipus: f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = 7 , 2 x 1 + 4 , 5 x 2 + 4 , 8 x 3 + 6 x 4 En aquest cas volem que el benefici siga el major possible, i per tant volem maximitzar

3. SINTAXI DEL PROGRAMA INFORMÀTIC
   1. Funció objectiu: la direcció d’optimització s’ha d’indicar en forma abreujada seguida d’un signe igual i de l’expressió matemàtica de la funció: Max= expressió funció objectiu ; o Min= expressió funció objectiu.
   2. Fi d’expressió: en acabar una expressió (funció objectiu, restricció o condició de domini) o un comentari, és obligat escriure un punt i coma (;).
   3. Expressions matemàtiques: són combinacions de nombres, variables, funcions @ i operadors matemàtics que s’utilitzen a fi d’indicar la funció objectiu o els primers membres de les restriccions. Cal fer les observacions següents: Nombres: el caràcter que separa la part entera i la decimal és un punt (4.5, per exemple). LINGO utilitza freqüentment la notació científica: 1E6 significa 1.000.000 i 2.3E-3 vol dir 0,0023, per exemple. Variables: per a referir-se a variables s’han d’utilitzar noms que comencen amb una lletra, encara que els caràcters següents poden ser lletres o nombres. Per exemple: x , y , x 1, x 23, cost ; són noms vàlids de variables. Funcions @: Són funcions definides en LINGO que representen funcions especials de tipus matemàtic, trigonomètric, estadístic, financer, etc. Totes elles s’hi poden incorporar a mesura que s’escriu un problema des de l’opció de menú Edit – Paste Function. Alguns exemples són: @sin i @cos per al sinus i cosinus, @exp per a l’exponencial amb base e, @log per al logaritme neperià i@sqrt per a l’arrel quadrada. Un tipus especial de funcions @ a fi d’expressar les condicions de domini de les variables es descriu amb detall més endavant.

3. SINTAXI DEL PROGRAMA INFORMÀTIC
   3. Expressions matemàtiques Operadors matemàtics: els símbols associats i l’ordre d’execució són els següents:  Primer: signe ( + o - ). Si apareix a l’inici d’una expressió matemàtica, és la primera operació que s’executa. Tot i això, aquest símbol en una posició no inicial s’interpreta com una suma o resta i és l’últim que s’executa.  Segon: exponent ( ^ ).  Tercer: producte( * ) i divisió ( / ).  Quart: suma ( + ) i resta ( – ). Per alterar l’ordre d’execució d’aquestes operacions s’han d’utilitzar parèntesis.
   4. Restriccions: s’escriu el primer membre, que sol ser una expressió matemàtica, seguit d’un operador de comparació (=, >, <) i el segon membre, que sol ser un nombre. La desigualtat estricta no s’utilitza quan s’escriu el problema d’optimització, però en LINGO equival a la desigualtat no estricta.
   5. Nom de les expressions (opcional): les expressions del model (funció objectiu i restriccions) es poden anomenar al començament de la línia entre claudàtors, és a dir, [nom]. A mesura que augmenta el nombre de restriccions, s’eviten confusions si s’anomenen i també es facilita la posterior interpretació econòmica de la solució. Aquests noms no poden contenir espais en blanc, ni accents, ni certs caràcters que signifiquen una altra cosa en el llenguatge de LINGO (*,
   • , +, /, @, !).

3. SINTAXI DEL PROGRAMA INFORMÀTIC Exemple: El problema d’optimització següent: 𝑀𝑖𝑛. 𝑥 2 + 2 𝑦 2 − 0 ,5𝑥𝑦 𝑠. 𝑎: 2𝑥 + 5𝑦 ≥ 4 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 En sintaxi de LINGO és: I opcionalment, amb comentaris i noms de línies per tal de facilitar la lectura del problema i la posterior interpretació econòmica, el problema podria ser: No calen condicions de domini perquè són de no-negativitat; En cas d’errades en la sintaxi, LINGO mostra una finestra d’advertència ( LINGO Error Message ) amb una indicació de la línia i la posició exacta on s’ha detectat l’errada. Cal mirar abans d’aquesta posició, fins i tot en les línies precedents, a fi de localitzar-la i corregir-la. Min=x^2+2y^2-0.5xy; 2x+5y>4; x+y=1; !Problema de minimitzar el risc d'una inversió; [Risc] Min=x^2+2y^2-0.5xy; !Restriccions; [Rendibilitat_minima] 2x+5y>4; [Capital_invertit] x+y=1; !No calen condicions de domini perquè són de no- negativitat;

4. Principals opcions del menú

Opció File (‘fitxer’)

S’encarrega de facilitar la gestió de fitxers. Les opcions del submenú són les habituals en aplicacions Windows: obri un model nou ( New ), obri un model ja existent ( Open ), guarda el model amb el mateix nom ( Save ), guarda el model amb un altre nom o a una ubicació distinta ( Save as ) i imprimeix ( Print ). Cal distingir dos tipus d’arxius: LINGO Models (.lg4) per a l’enunciat del model i LINGO Report (.lgr) per a la solució i l’anàlisi de sensibilitat que veurem més endavant. Així doncs, un model i la solució són dos arxius distints. Quan es guarda un arxiu, el nom assignat apareix a la línia de títol de la finestra (en color blau).

Opció Edit (‘edició’)

Les opcions de submenú inclouen les habituals de desfer i refer, i les de copiar, tallar i enganxar. Una opció interessant és Select Font, per a canviar el tipus o la grandària del text. També convé esmentar, com s’ha dit abans, l’opció Paste Function per a enganxar funcions @, les quals apareixen agrupades per categories. Per a expressions matemàtiques llargues amb molts parèntesis, podem fer ús de l’opció Match Parenthesis per a localitzar on s’ha obert o s’ha tancat un determinat parèntesi.

4. Principals opcions del menú

Opció Window

S’ocupa de la gestió de les finestres. Es poden tenir distints models oberts així com distintes finestres d’un mateix model. Amb el menú Window triarem la finestra activa en cada moment i com volem visualitzar al mateix temps diverses finestres.

Opció Help (‘ajuda’)

El submenú inclou Help Topics per a veure el contingut de l’ajuda, bé per capítols o bé per continguts alfabèticament, introduint en la casella corresponent l’opció que cal buscar.

5. Tipus de problemes i solucions  LP: Programació lineal  totes del expressions son lineals i el modelo conté restriccions amb variables no enteres.  QP: Programació cuadrática  totes les expresions son lineals o cuadrátiques, el model es convex i no conté restriccions amb variables enteres.  ILP: Programació lineal entera  Totes les expressions son lineals i varies de les restriccions contenen variables enteres.  PILP: Programació lineal pura entera  Totes les expressions son lineals i totes de les restriccions contenen variables enteres.  NLP: Programació no lineal  Al menys una de les restriccions del model es no lineal respecte a les variables.  INLP: Programació entera no lineal  Al menys una de les restriccions del model es no lineal respecte a les variables i un conjunt de variables de les restriccions son enteres.  PNLP: Programació no lineal entera pura Al menys una de les restriccions del model es no lineal respecte a les variables i totes de variables de les restriccions son enteres.

Tipus de problemes

Tipus de solucions

 Local Opt: Problema amb Òptim local  Global Opt: Problema amb Òptim Global  Infeasible: Problema Infactible (no hi ha solució)  Unbounded: Problema no fitat

6. Sintaxi del exemple

Valor de la función objectiu

Valor de les variables en

l’òptim

Aquesta columna té tants valors com expressions hi ha en el model. La primera correspon a la f. Objectiu. La resta de valors en aquesta columna està associada a les restriccions. Cada valor representa la diferència entre els dos membres de cada restricció, sempre en positiu. Si una restricció és d’igualtat, el valor que apareixerà serà un zero obligatòriament. Si la restricció és de desigualtat, els valors de la columna Slack or Surplus són els de les variables de marge de cada restricció, de manera que un valor igual a zero indicaria que la restricció se satura o es compleix amb igualtat, mentre que un valor distint de zero significaria que no se satura, i que n’hi ha un excés ( surplus ) en cas que la restricció siga de la forma  o una mancança ( slack ) en cas que la restricció siga de la forma ≤.

7. Exercici Resol aquest exercici a LINGO. Identifica la solución òptima i el valor de la funció objectiu. 𝑀𝑎𝑥. 5𝑥 + 3𝑦 + 10 𝑠. 𝑎: 2𝑥 + 5𝑦 ≥ 4 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0