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MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
TEMA 2: Límites y continuidad de funciones
Nociones de topología en R
n
. Funciones de una y varias variables: función
homogénea, compuesta e implícita
1.- Calcula el dominio de las funciones siguientes y represéntalos gráficamente cuando sea
posible:
(a)
(x 2)(x 3)
x 1
F(x)
(b)
2 x
x 1
F(x)
(c)
2x y
x
F(x, y)
(d) 2 2
F(x, y) x 2xyy
(e)
4
3 2
F(x, y) x 2y xy
(f) F(x,y,z)=(x
y+z
, ln(x+y+z))
(g)
z
0 (x,y) (0,0)
(x,y) (0,0)
x y
x y
F(x, y) 2 2
2 (h)
t
xy x y
x 3y x y
F(x, y)
2 3
(i)
d
x 1 3xy
x 1
x 1
2xy
F(x, y)
(j)
t
y 0 x 1
y 0
x 1
y
x
F(x, y)
2
2
(k)
F(x, y) ( x y,ln(x 1),e )
y
(l)
x y
e
ln(x z )
F(x, y, z)
(m)
e z
ln(y )
F(x, y, z)
x
2
(n)
ln(x z )
e
F(x,y, z)
y
x
2.- Calcula el dominio matemático y económico de las siguientes funciones:
(a)
2p
Ip'
D(I, p,p' ) siendo D la función de demanda de un producto, I la renta del consumidor,
p el precio del producto y p’ el precio de un bien sustitutivo.
(b) C(q) q 9q 36q 20
3 2
siendo C la función de costes y q la producción diaria.
(c)
2 2
Q(K, L) L K siendo Q la función de producción, K el capital y L el trabajo.
(d)
4 3
U(C, F) CF siendo U la función de utilidad de un consumidor, C el consumo de
chocolate y F el consumo de fresas.
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3.- Estudia la homogeneidad de las siguientes funciones. En caso afirmativo, halla su grado:
(a) 2 2
f(x, y) x y
(b)
f(x, y,z) x yz 3x 2y z
2 3 2
(c) α 1 α
f(x, y) Axy
(d)
y
x
f(x, y) sen
(e)
y
x
f(x,y) e
(f)
2x y
x y
f(x, y)
2
2 2
(g)
z
x y
f(x,y, z)
2 2
(h) f(x, y) sen(x y) (i)
2
3
4 5
(x 2 y )
x y x
f(x, y)
(j)
2
4 2 3
( 3 x y )
x y
f(x, y)
(k)
xy
x y
x y
x
f(x, y)
2 2
2 2
(l)
x y
xy x
f(x, y)
3
2
4.- Dadas las funciones de producción siguientes:
(a)
α β
Q(L, K) AK L, donde A, D y E son parámetros reales y A, D, E>0.
(b)
D
L
K
Q(L, K) A β
, donde A, D y Eson parámetros reales y A, D, E>0.
(c) > @
α
1
α α
Q(L, K) AβK (1β)L , donde A, D y E son parámetros reales, A, D, E>0 y 0dEd1.
Estudia si son homogéneas o no en función de sus parámetros. Y en caso afirmativo indica el tipo
de rendimientos a escala (crecientes, constantes o decrecientes) que presenta una empresa con
dicha función de producción.
5.- El coste total de una empresa en € viene dado por la función:
C(x,y) = 200 + 3x + 2y + 0’02x
2
y
2
donde x e y representan las horas empleadas de mano de obra y de máquina, respectivamente. Si
las horas empleadas de mano de obra y máquina dependen de la cantidad producida del producto
final (z) según las siguientes funciones
2
escribe el coste total de la empresa como función de la cantidad producida del producto final.
6 .- Calcula (si existen) las funciones compuestas g○f y f○g siendo:
(a) )
t
2
,g(t) (2t,
y
x
f(x, y)
(b) f(x, y) x y,g(t) (sen t,cost)
2 2
(c) ,ln t)
t
f(x, y) x y ,g(t) (t ,
2 2 2
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13 .- Representa gráficamente las siguientes funciones:
(a) C = 200 + 0.6Y donde C es el gasto del consumidor e Y representa sus ingresos
(b) I = 80Q – 0.2Q
2
donde I representa los ingresos y Q la producción
(c) C = 200 e
0.05T
donde C es el capital obtenido al cabo de T unidades de tiempo con un
interés del 5%
14 .- Representa gráficamente las siguientes curvas de nivel:
(a) Curva de nivel 4 de la función
2 2
f(x, y) x y
(b) Curva de nivel 0 de la funciónf(x, y) x 2x y
2
(c) Curva de nivel 1 de la función f(x,y) xy
15 .- Considera la función de utilidad dada por
U(x, y) 3x y , donde x e y son el número de
unidades consumidas de dos bienes. La siguiente figura muestra las curvas de nivel (curvas de
indiferencia) correspondientes a los niveles de utilidad 4, 5 y 6:
(a) Si el consumo actual es ( x,y) ( 3 , 4 ), indica la curva de indiferencia sobre la que nos
encontramos.
(b) Utiliza las curvas de indiferencia para aproximar, gráficamente, las unidades que habría que
consumir del primer bien si el consumo del segundo disminuye una unidad (y = 3) y queremos
mantener el nivel de utilidad.
(c) Estima, gráficamente, en cuántas unidades hay que aumentar el consumo del primer bien si
queremos aumentar el nivel de utilidad en una unidad manteniendo el consumo del segundo bien
constante (y = 4).
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Conceptos de límite y continuidad
16 .- Calcula, si existen, los siguientes límites:
(a)
x
x 1
lim
2
x
o f
(b)
x
lim ln
x of
(c)
x
x 1
lim ln
2
x
o f
(d)
x
x 1
lim
2
x 0
o
(e)
x
lim sen
xo 0
(f)
x
lim cos
x of
(g)
x
x 1
x
2
lim e
o f
17 .- Calcula, si existen, los siguientes límites:
(a) 3(x2) y
(x,y) (2,0)
2
lim 4e
o
(b)
,y x,x xy)
x
y
lim (
2 3
(x,y) (2,0)
o
18 .- Dada la función:
t
2
2
1 six y
0 six y
f(x, y)
Calcula, si existen, los siguientes límites:
(a)
lim f(x,y)
(x, y)o (0,0)
(b)
lim f(x,y)
(x,y) o (1,2)
(c)
lim f(x,y)
(x, y)o (2,1)
19 .- Dada la función:
Represéntala gráficamente. Estudia si es continua en los puntos x=2 y x=6.
20 .- Dada la función:
Represéntala gráficamente. Estudia si es continua en el punto x=2.
21 .- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
(a)
x 7x 10
x 2
f(x)
2
(b)
2 2
x y
3xy
f(x, y)
(c)
f(x, y) xy sen(xy) ln(x y )
2 2
(d)
xy
xy
f(x, y) e
1 x 2
2 x- 1 x 2
f (x)
d
3x - 1 x 2
f (x)
z
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Ejercicios de revisión
1.- En los siguientes apartados di si se trata de un número, un vector, una función o un conjunto:
(a) {(3,-1,1/2), (0,0,5)}
(b) R
4
(c) D={(x,y) R
2
/ x+y>4}
(d) f(x, y) xy; f(1,5) ; lim f(x,y)
(x,y) o(2,0)
2 .- Calcula, si es posible:
(a) {1,3,6} {2,5,6}
(b) {1,3,6} {2,5,6}
(c) {(0,1),(3,4)} {(0,4)}
(d) {(0,2,-6),(8,-1,4,8)} R
4
(e) {(x,y)R
2 / x
2 +y
2 ≤9} {(x,y)R
2 / x
2 +y
2 t14}
(f) {(x,y)R
2
/ x
2
+y
2
≤9} {(x,y,z)R
3
/ x
2
+y
2
t 14 }
(g) {(x,y)R
2
/ x+2y≤4} {(x,y)R
2
/ 3x+yt 3 }
(h) {xR / x t 14 } {yR / yt 3 }
(i) [2, 20 ] {xR / x ≤14}
3 .- Añade los símbolos necesarios para que sean ciertas las siguientes expresiones. Puedes utilizar
, , , , = , t , d , < , >, .
a) 1 {6,1,4}
b) (3,-2) R
2
c) {(3,-2)} R
2
d) {(3,-2), (0,0), (2/3,8)} R
2
e) {xR / 3 x 18} = [3,18]
f) {xR / 3 x 18} = [3,18[
g) [-2,9] {xR / 3 x 10 } [ 3 , 9 ]
h) [-2,9] {xR / 3 x 10} [-2,10]
i) { xR / x t13} [2,f [
j) {(x,y)R
2
/ x+2y≤4} R
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4 .- Pon un ejemplo de cada uno de los siguientes tipos de funciones:
(a) Función real de variable real.
(b) Función real de varias variables que sea un polinomio.
(c) Función escalar de varias variables que no sea un polinomio.
(d) Función vectorial de R
3 a R
2 cuyas funciones componentes sean lineales.
(e) Función de R a R
3
. ¿Es escalar o vectorial?
(f) Función vectorial de R
2
a R
4
definida en un subconjunto de R
(g) Función vectorial de R
2
a R
4
definida en todo R
2
.
(h) Función vectorial de R
2
a R definida a trozos en un subconjunto de R
5 .- Sea la siguiente función:
t
x y siy 4
0.3y b siy 4
f(x, y)
Se pide:
(a) Calcula el valor del parámetro b para que la función f(x,y) tenga límite en el punto (x,y)=(0,4).
(b) Calcula el dominio de f(x,y). Obtén un punto que pertenezca al dominio y otro que no.
(c) Estudia la continuidad de f(x,y) en los puntos (1,1) y (0,4) para el caso b=1.
6 .- La función de demanda de un producto viene dada por:
p
r
4 4
2 2
e
r p
2 r p
D( p,r )
donde p es el precio del producto y r la renta media de los consumidores.
(a) Calcula el dominio matemático y el dominio con sentido económico de esta función.
(b) Estudia su continuidad.
(c) Estudia si la función es homogénea.
(d) Si el precio depende a su vez del precio de dos materias primas según la relación:
p = 2m 1 +m 2
. Calcula la expresión de la demanda respecto a estos precios.
