¡Descarga EJERCICIOS TEMA 4 MATES y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
TEMA 4: DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES
Diferenciabilidad de funciones
1.- Estudia la diferenciabilidad de las siguientes funciones y calcula su diferencial:
(a)
f(x, y,z)=xy 2xz 3xyz
3 2
(b)
f(x, y)=2x lny
2
(c) f(x, y)=cos(x y)
(d)
f(x, y,z)=xyz
2 (e)
cosx
f(x, y)= y
(f)
2
3
4x y
x 2xy
f(x, y) =
2.- Dada la función
xy 3
x y
f(x, y)
2
(a) Razona si es diferenciable en el punto (1,1) y, si lo es, calcula la diferencial de la función en
ese punto.
(b) Utiliza la diferencial para calcular un valor aproximado de f(1'1,0'8).
3.- Estudia si la función f(x, y) e cos(xy)
x y 2
es diferenciable en
2
R
.
4.- Sea C(x, y) la función de costes total de una empresa que fabrica “x” unidades de un
producto “A” e “y” unidades de un producto “B”. Se sabe que:
C(36,20) 2288 € , x 2y
x
C
w
w
, y 2x
y
C
w
w
.
Se pide:
(a) Calcula e interpreta
x
C(36,20)
w
w
y
y
C(36,20)
w
w
.
(b) Justifica que la función C(x, y)es diferenciable en (36,20).
(c) Calcula aproximadamente el coste total de fabricación de 38 unidades del producto “A” y
20 unidades del producto “B”.
5.- El pago anual que efectúa una persona por un préstamo viene dado por la función
n
1 (1 i)
Vi
P(V, i,n) =
, en donde
i es el tipo de interés, V el capital prestado (en euros), y
n
el
plazo (en años). Para un préstamo de 1000 euros a un plazo de 10 años coni = 0.04, se pide:
(a) Calcula aproximadamente el efecto sobre el pago anual de un aumento en el tipo de interés
hasta i =0.0425.
(b) Calcula aproximadamente el efecto sobre el pago anual si simultáneamente se produce una
disminución del capital prestado de 100 euros y una disminución del plazo de 1 año.
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
6.- Los beneficios (B) de la industria del automóvil en Europa en millones de euros evolucionan
en función del precio del petróleo (p) en dólares/barril, del crecimiento económico (g) en
puntos porcentuales y de los salarios medios mensuales (w) en euros. No se conoce la forma
exacta que relaciona estas variables, pero se estiman los efectos de cambios en cada variable por
separado en la situación actual. Con el barril a 90 dólares, un crecimiento económico del 2.5% y
unos salarios medios mensuales de 2000 euros, los beneficios han sido de 500 millones de euros y
los efectos estimados son
=0..
w
B
= 50 ,
g
B
= 15 ,
p
B
s s s
w
w
w
w
w
w
(a) Determina las unidades en las que se miden estas derivadas parciales.
(b) Obtén los beneficios aproximados que se obtendrán el próximo año si el petróleo baja a 82
dólares por barril, la economía crece un 1.5%, y los salarios medios mensuales suben hasta
2050 euros. ¿Qué hipótesis matemática es necesaria para calcular estos beneficios?
(c) Calcula una función de beneficios lineal y aproximada para situaciones económicas parecidas
a la actual.
7.- La función de beneficios de una empresa viene dada por
p
2
xLn(1 i)
B(x, p, i)
en donde x
son las unidades de producto fabricadas, p es el precio del producto (en u.m.) e i es la inversión
en publicidad (en u.m.).
(a) Si actualmente se fabrican 1000 unidades de producto y se venden a 2 u.m. la unidad, con una
inversión en publicidad de 9 u.m., calcula e interpreta las derivadas parciales de B en la
situación actual.
(b) Calcula aproximadamente los beneficios que se obtendrían si se fabricasen 100 unidades más,
el precio aumentase en 0’5 u.m. y la inversión en publicidad pasase a ser 15 u.m. ¿Conviene
hacer este cambio?
Relación entre los conceptos de continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad
11.- Sea f(x, y) una función diferenciable en el punto (3,1) de la que sabemos que
x
f
w
w
y
f(x,y) 6
lim
(x, y)o(3,1)
. Indica, razonadamente, cuál es el valor de la función en el
punto (3,1).
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
Derivada de la función compuesta
18.- Calcula la función compuesta definida por las siguientes funciones y sus derivadas parciales
de primer orden. Comprueba que estas derivadas coinciden con las obtenidas usando la regla de la
cadena.
(a)
x t 3
f(x, y,z)=e yz, x(t)=lnt, y(t)=e, z=t
(b)
2 2 2
z(x, y)=x y, x(t)=3t, y=t.
(c) z(x, y)=x , x(t)=t, y(t)=cost
y
.
(d)
3 3 v
f(u, v)=uv u1, u(v)=e.
(e) z(u, v)=lnu v, u(x,y)=e , v(x,y)=x y
2
2
y
2
2 x
.
(f)
xz
x
, y(x,z)= e
z
e lny
f(x, y,z) =.
19.- Calcula el vector gradiente de las funciones compuestas definidas por las siguientes
funciones en los puntos indicados usando la regla de la cadena:
(a) f(x, y)=ey, x(t)=t , y(t)=3t
x 2
en el punto t = 0.
(b) z(x, y)=e , x=3t, y=cost
3x2y 2
en el punto
t =π .
(c)
xz
x
, y(x,z)= e
z
e lny
f(x, y,z) = en el punto (x, z)=(0,1).
(d)
v 2
t(u, v)=u e ,u(x,y,z)=(xyz),v(x,z)=zx
en el punto (x, y,z)=(2, π,0)
.
20.- Calcula la diferencial de las funciones compuestas definidas por las siguientes funciones
usando la regla de la cadena:
(a) , z(r,s)=r s
s
r
f(x, y,z)= x y z , x(r,s)=r s, y(r,s) =
3
2 2 2
(b) z(u, v)=uv u 1, u(x,y)=x y, v(x,y)=e 1
3 3 2 2 xy
.
(c) f(u, v)=u v u 1, v(u)=e 1
3 3 u
(d) , u(x,y)= 3 , v(x)=sen(x)
v
u
z(u, v)= ln
x y 2
.
(e) f(u, v)=v e , u(x,y,v)=(xv y)
u
.
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
21.- Calcula la expresión de las derivadas parciales
v
z
u
z
w
w
w
w
siendo z f(x, y)
donde
x F(u,v,w),y G(u,v,w ).
22.- La función de beneficios de una empresa que fabrica un único producto es
B(x, D,P)=8D3xP 100,
en donde x es la cantidad de producto que fabrica, D es la demanda de dicho producto y P son
los costes destinados a publicidad.
(a) Calcula las derivadas parciales de B e interprétalas.
(b) Supongamos que la empresa, para no incurrir en costes de almacenamiento, ajusta la
producción a su demanda, es decir, considera que x = D. Calcula la función compuesta
B(D, P) así como sus derivadas. Explica las diferencias de interpretación entre estas
derivadas y las obtenidas en el apartado anterior.
(c) El signo de
P
B
w
w
es negativo. ¿Cómo se interpreta esto? ¿Es razonable?
(d) La demanda de la empresa depende de su inversión en publicidad, es decir, la demanda es una
función D(P). La empresa no conoce esta función, pero estima que, para la inversión actual
en publicidad
0
P , se cumple
dP
dD
0
P
. ¿Es esto razonable?
(e) No podemos calcular la función compuesta B(P), pero sí que podemos calcular
0
P
dP
dB
.
Calcula esta derivada e interprétala. ¿Le conviene a la empresa aumentar su inversión en
publicidad?
23.- El índice de precios al consumo de una economía depende de los índices de precios
sectoriales (x: agricultura, y: industria, z: servicios) según la función
I(x, y,z)=0.2x0.35y0.35z.
Por otra parte, estos índices de precios son a su vez función del nivel de salarios (s) y del tipo de
interés (r) según las funciones
x(s, r)=2s 5lnr, y(s,r)= s 2r , z(s,r)=s 3r.
2 2
(a) Calcula la función I(s, r).
(b) Calcula (derivando directamente) e interpreta las derivadas
z
I
y
I
x
I
w
w
w
w
w
w
r
I
s
I
w
w
w
w
(c) Calcula las dos últimas derivadas del apartado anterior mediante la regla de la cadena.
Observa que se obtiene el mismo resultado.
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
27.- Las ecuaciones siguientes definen una función z(x, y)en un entorno del punto
0 0
x ,y .
Calcula, si es posible, las derivadas parciales de dicha función en
0 0
x ,y .
(a) x y yz yz = 1
2 2 2
conz(1,1) = 1.
(b) x y z = 4
2 2 2
conz(0,2) = 0.
(c) x yz yz 2x 2 = 0
2 2
conz(1,1) = 1.
(d) x zln(xy) e = 5
2 yz
con
z 2, ¸
.
(e) e 2xy (yz)= 1
z
conz(1,0) = 0.
28.- Sea y(x, z) una función implícita dada por
xyz xseny 2 π
2
alrededor del punto
(x,y, z) (1,π,2 ). Calcula la diferencial de y(x, z) en el punto (x,z) (1,2) con
dx 0'2, dz 0'
.
29.- Sea x(y, z) una función implícita dada por f(x, y,z) x yz z 1
2 2 3
alrededor del
punto ( x,y,z) (3,1,2). Calcula las derivadas parciales
z
x
y
x
w
w
w
w
en el punto ( y,z) (1,2).
30.- Calcula las derivadas parciales de la función implícita z respecto x e y dada por la
ecuación
f(x,y, z) x y z 14
2 2 2
alrededor del punto(x, y,z) (1,2,3).
31.- Los beneficios de una empresa vienen determinados por la función B(x, y)=e xy
y x
, en
donde x e y son las cantidades producidas de dos artículos diferentes. Calcula la relación de
sustitución del segundo producto respecto del primero ¸
dx
dy
RSP = si el nivel de producción
actual es (x, y)=(20,20)e interpreta el valor obtenido.
32.- La combinación de consumos de tres bienes (x, y,z)
que proporcionan la misma utilidad
para un consumidor es 2lnx lny0.5lnzln240= 0
. Si el consumidor tiene unos consumos
de x = 4 , y = 5 y z = 9 , razona cómo deberían variar los consumos
x
e
y si se desea
disminuir el consumo
z
en una unidad marginal manteniendo el nivel de utilidad.
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
Ejercicios de revisión
1.- Sea f :R R
2
o una función diferenciable. Di qué clase de objeto (un número real, un
vector, una matriz o una función) son:
(a) df(1,2)(dx, dy); df(1,2)(3,1); df(x,y)(3,1).
(b)
(1,2)
y
f
;
y
f
w
w
w
w
.
(c) f(2,3); Hf(2,3)
.
(d) La dirección de máximo crecimiento de f en el punto(1, 1).
(e) La derivada direccional de f en (2,1) en la dirección del vector(1, 1).
(f) El polinomio de Taylor de grado 1 de
f en el punto (2,3).
2.- La función de costes de una empresa en un instante
t (expresado en años) es
C(x, y,t)= 100 (20x 10y)e ,
0.01t
en donde
x
e y son las cantidades producidas de cada uno de los dos artículos que fabrica. En el
año actual t = 0 la producción ha sido
(x ,y )=(50,30)
0 0
.
(a) Calcula las derivadas parciales de C en la situación actual.
(b) Teniendo en cuenta el valor de las derivadas obtenidas en el apartado anterior, ¿qué coste
aproximado cabría esperar el próximo año (t = 1) si simultáneamente aumentara la
producción del primer artículo en 1 unidad y disminuyera la producción del segundo artículo
en
unidades? ¿Qué hipótesis debe cumplir la función C(x, y, t) para realizar esta
aproximación? ¿Se cumple para esta función de costes?
(c) Por otra parte, las cantidades producidas de estos artículos varía con el tiempo x = x(t)
,
y = y(t), y la empresa estima que
dt
dy
dt
dx
0 0
Calcula e interpreta
0
dt
dC
.¿Qué diferencia de interpretación existe entre esta derivada y
(50,30,0)
t
C
w
w
?
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
7.- Una empresa fabrica tres bienes y obtiene un beneficio
B(p ,p ,p )
1 2 3
donde
i
p es el precio
del bien i, i 1,2,3. Los precios de los productos se fijan en función del precio de las dos
materias primas que lo componen:
1 1 2 2 1 3 1 2
q
q
q, p
q , p
q
p .
Se sabe que:
B(p ,p ,p ) 2p ,2,
1 2 3 1
,
B 6,
.
(a) Obtén, aplicando la regla de la cadena, las derivadas parciales de la función de beneficio
respecto de los precios de las materias primas, cuando q 6,q 2
1 2
.
(b) Calcula cuál sería, aproximadamente, el beneficio que obtendría la empresa si los precios de
las materias primas fueran q 6'5,q 1'
1 2
.
8.- Sea C(x, p,q )la función de costes de una empresa, donde x es la producción (en unidades
de producto)y p, q son los precios (en euros) de los dos inputs que utiliza. Actualmente
x 1200, p 6, q 7, C(1200,6,7) 25000
. Además,
6
q
C
4,
p
C
12,
x
C
(1200,6,7) (1200,6,7)
(1200,6,7)
w
w
w
w
w
w
.
(a) Interpreta estas derivadas.
(b) ¿Qué variación cabría esperar en la función de costes si el precio del primer input pasa a ser
p 4?
(c) Supuesto que C sea diferenciable, ¿qué coste cabría esperar si el precio del primer input pasa
a ser p 4 y el del segundo q 10 ?.
9.- Dada la función f(x, y) x 7y axy
2 2
con x u v , y 3u 5v
2 2
.Calcula el valor
del parámetro a para que la derivada parcial
u
f
w
w
en el punto(u, v) (2,1)valga 272.
10.- Sea
y la función de beneficios de una empresa que viene dada por la relación
f(x, y,z) 5x 12z xy y 393
2
donde
y es la función implícita de las variables
x
y
z
,
que representan las cantidades vendidas de los bienes A y B respectivamente.
(a) Determina, usando la derivación implícita, qué opción será más beneficiosa para la empresa,
vender una unidad más del bien A o vender 1 unidad más del bien B, si las cantidades
vendidas son x 5, z 11.
(b) Se considera ahora que las cantidades vendidas dependen de los precios unitarios de ambos
bienes
1
p y
2
p , según las relaciones
1 2 1 2
x p 4p, z 5p 2p. Calcula,
utilizando la regla de la cadena, los beneficios marginales siendo los precios actuales
p 3, p 2
1 2
.
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
11.- Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:
(a) Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
i) Si una función no es continua entonces sólo será diferenciable si las derivadas
parciales de primer orden son iguales.
ii) Si una función es constante entonces el error cometido al aproximar el incremento
exacto por la diferencial total es distinto de cero.
iii) Si x y senz
z
f
3x 16y z,
y
f
6x 3y 2xz,
x
f
2 3 2
w
w
w
w
w
w
,
entonces f(x, y, z)
es diferenciable.
iv) Los polinomios sólo son diferenciables cuando son de una variable.
(b) La demanda de un producto viene dada por
2
2
1 2 1
D(p ,p ) 300 20p 30p siendo
1
p el
precio unitario de este producto y
2
p el precio unitario de un producto similar de la
competencia. Se sabe que los precios varían con el tiempo según las expresiones
p 2 0'05t, p 2 0'1 t
1 2
donde t se mide en meses. Dentro de 4 meses:
i) La demanda aumentará.
ii) La demanda disminuirá.
iii) La demanda permanecerá constante.
iv) Con estos datos no podemos saber cómo varía la demanda.
(c) Dada la función f(x, y,z) xy 9z, el punto (x, y,z) (1,2,3), y los incrementos
dx 0'1, dy 0'3. El incremento experimentado por la variable z para que df(1,2,3)
valga 2’15 es:
i) 2’25 ii) 0’15 iii) 0’25 iv) 0’
(d) Dada la función
2x5y
f(x, y) e
y el punto
( x , y ) ( 0 , 0 ) :
i) Un incremento
' x 0 ' 1
provoca un incremento aproximado en la función de 1
unidad.
ii) Unos incrementos
' x 0 ' 1 , ' y 0 ' 2 en las variables originan un decremento
aproximado de 0’8 unidades en la función.
iii) Un decremento de 1 unidad en la variable
y produce un incremento aproximado en la
función de 5 unidades.
iv) Un incremento unitario en cada variable supone un incremento exacto de 7 unidades
en la función.
12.- Enuncia una condición suficiente de diferenciablidad.
13.- Enuncia una condición necesaria de diferenciabilidad.
14.- Escribe las siguientes expresiones:
(a) Diferencial de una función de real de 3 variables en un punto (a,b,c).
(b) Diferencial de una función real de una variable en un punto a.
(c) Diferencial de una función de R
2
a R
3
en un punto (a,b).
