¡Descarga EJERCICIOS TEMA 5 MATES y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
TEMA 5: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTEGRAL Y A LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
Técnicas elementales de cálculo de primitivas
1.- Calcular las integrales inmediatas siguientes:
(a)
(2 x x x )dx
3 4
(b)
x 1 x dx
4 2
(c)
sen(5x)e dx
cos5x
(d)
x 6 dx
3
4 3 x
(e) sen(2x 3) dx
(f) (cos 2 x sen 3 x) dx
(g)
)dx
x
(x 3x
2 3
(h)
dx
1 x
x
3
2
(i)
)dx
x
x
(j)
dx
2 x
( 2 x 1 )
2
(k)
dx
2 x 2
x 2
(l)
1 9x
dx
(m) x cos( 5 x 3 )dx
2
(n) ( x 1 )cos(x 3 x) dx
(^23)
(ñ) x ( 3 x 14 ) dx
2 3 3
(o)
dx
1 cos x
senx
(p)
dx
1 x
(q)
)dx
x
(senx e
x
(r) (s)
x 2 xdx
2 4
(t)
(u)
4
( 2 x 5 )
dx (v)
dx
e
2 e e
x
x 2 x
(w)
dx
3 x 2
4 x
3 2
(x)
dx
(x 6 x )
(x 3 )
(y)
dx
x
x
(z)
dx
x
ln 3 x
(aa)
dx
x 3
3 x
(bb)
dx
3 x 2
3 x 2
2.- Calcula las siguientes integrales
(a)
xcos xdx
(b)
esen xdx
x (c)
ln xdx
(d)
x e dx
2 x
5 x 6 dx
5
5 x 6 dx
5
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
Integral de Riemann: Condiciones de integrabilidad y regla de Barrow
3.- Determina si son integrables Riemann las siguientes funciones y en caso afirmativo, calcula el
valor de las integrales en los intervalos considerados.
(a)
2
f(x) (x 2) si x [0,3].
(b)
x 2
f(x)
si x ^ [0,3]
(c)
d
d
2 si 2 x 4
1 si 0 x 2
f(x)
4.- Calcula las siguientes integrales:
(a)
³
π
0
cos 2xdx
(b)
³
2
0
2
dx
1 x
x (c)
³
5
2
2x 1 dx
(d)
³
1
0
3 2 x
x e dx
(e)
³
21
2
3
x 6
dx (f)
³
π
0
(x sen2x)dx
(g)
³
π/
0
2
sen xcosxdx
(h)
³
1
0
x
x
dx
1 2e
e
(i)
³
2
e
1
2
dx
x
3ln x
5.- Calcula
³
5
0
f(x) dx para las siguientes funciones:
(a)
t
9 si x 3
x six 3
f(x)
2 (b)
t
xln x si x 1
0 six 1
f(x)
(c)
t
x 12 si x 4
x si x 4
f(x) 2
1/2 (d)
t
si x e
si x e
x 1
f(x)
6.- Halla el área limitada por la curva y = x
2 y la recta y = x.
7.- Calcula el área comprendida entre la curva y x 6x 8x
3 2
y el eje OX entre x=0 y x=4.
8.- Calcula el área limitada por las curvas y =x
2
2
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
14.- El valor futuro, VF, de una inversión continua de capitales por unidad de tiempo, C(t),
capitalizada a un tipo de interés i durante un periodo de tiempo [0,b] es la siguiente integral
Riemann:
³
b
0
i(b t)
VF C(t)e dt
(a) Calcular el valor final para un ahorrador de una aportación continua de 1000€ al año durante
diez años, periodo [0,10], con i=0,025.
(b) Calcular el valor final si el capital es 1000e
0,01t € al año (capital creciente).
(c) Calcular el valor final adicional que se acumula en el décimo año (en el intervalo [9,10]) si el
flujo de capital es el del apartado (a).
Integrales impropias de funciones reales de primera y segunda especie
15.- Resuelve las siguientes integrales:
(a)
³
f
0
4
x
dx (b)
³
f
0
x
e
dx (c)
³
f
0 4
1
x
dx
(d)
³ f
1 2x
e dx
(e)
³
f
1
2
x
dx (f)
³
f
0
2 x
xe dx
(g)
³ f
1
2
x
dx (h)
³
f
2
2
(x- 5)
dx (i)^
dx
x 1
x
2
2
³ 2
(j)
³
3
1
2
x 1
xdx (k)
³
f
0
4
(x 1)
dx (l)
³
1
0
1/
x
dx
(m)
(x 2) dx
6
2
5/
³
(n)
dx
x 1
(^3) x
0
³ (^2)
(ñ)
³
1
0 1 x
dx
(o)
³
9
0 3 2
(x 1 )
dx
16.- El valor actual, VA, de un flujo continuo de capitales por unidad de tiempo, C(t), descontado
a un tipo de interés i durante un periodo de tiempo [0,b] es la siguiente integral Riemann:
³
b
0
it
VA C(t)e dt
Se pide:
(a) Calcular el valor actual de un capital continuo de 100€ al mes (capital constante) durante dos
años, periodo [0,24], con i=0,003.
(b) Calcular el valor actual si el capital es 100e
0,001 t^ € al mes (capital creciente).
(c) Calcular el valor actual si el flujo de capital es de 100€ al mes durante toda la vida (perpetuo),
es decir, el periodo es [0,+f[.
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
Ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separables
17.- Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas
en cada apartado:
(a) y’ + 2y = 0, Soluciones: y(x) = e
(b) y’ + xy = 0, Solución:
2
x
2
y(x) e
(c) y’+y=senx, Solución: sen x
cos x
y(x) e
x
18.- Comprueba que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas en cada apartado. Encontrar la única solución particular que cumple en cada caso la
condición que se indica.
(a) y’+2y=0, y(0)=2 Solución: y(x) = Ae
(b) y’+y = senx, y(0) = - 1 Solución: sen x
cos x
y(x) Ae
x
(c) y’+2y = x
2 , y(0) = 1 Solución:
2 2x
x Ae
x
y(x)
19.- Resuelve:
(a) 2y
dx
dy
(b)
y
x
dx
dy
(c)
x x
e
dx
dy
1 e y , y(0) = 1.
(d) 1 y dx xydy 0
2
(e) senx ycosx
dx
dy
(f) x 1 x dx y 1 y dy 0
2 2
, y(0)=1.
(g) y lnydx xdy 0 , y(1)=1.
MATEMÁTICAS I
CURSO ACADÉMICO 2016- 2017
(g)
³
f
0
3
-^4
( x-1) d x (h)
³
1
0
x
d x
x
e
(i)
³
f
3 x
e dx
(j)
³
2
0
3
( 4 2 x )
dx
(k)
t
³
x 3
x 3
4x 1
f(x)dxcon f(x)
6
0
(l)
¯
®
t
³ xlnx x 4
x x 4
f(x)dxcon f(x)
6
0
2.- Estudia la convergencia o divergencia de la siguiente integral en función del valor de D
³
f
a
x
dx
D
con a>
3.- Una empresa dedicada a la comercialización de productos de bricolaje tiene como coste
marginal (medido en millones de euros año)
Cm = t
3
2 +3t
¿Cuál será el coste total acumulado de la empresa desde el año 2002 hasta el año 2010?
4.- Una empresa se constituyó con un capital inicial de 20 00000€ y sus beneficios marginales en
los 5 años siguientes han venido dados por Bm(t) =
2
2 5 t 0. 5 t
( 5 t) e
€/año. Calcula el beneficio
acumulado por la empresa en dicho periodo, el beneficio medio y el capital final de la empresa.
5.- Resuelve la ecuación diferencial:
y´2xy x
6.- Halla la solución de la ecuación diferencial y´ + ycos(x) = cos(x) que verifica la condición
y(0) = - 1.
7.- Halla la solución de la ecuación diferencial y ' ycosx que verifica la condición y(0) = 4.
8.- Halla la solución de la ecuación diferencial (x 3)
y
y '
2
que verifica la condición y(2) = 1/4.
9.- Calcula la función y(x) que verifica la ecuación y´=4xlnx y que satisface la condición inicial
y(1) = 5.
10.- Calcula la función y(x) que verifica la ecuación 6 yy ' x 0 y que satisface la condición
inicial y(1) = 0.
