C`alcul. Els problemes de la setmana
Setmana 5: del 12 al 16 de mar¸c
Curs 2017-2018
5.01. El costat d’un quadrat creix a una velocitat de 1cm/s. Calculeu la velocitat de creixement
de la seva `area a l’instant en que el costat fa 10 cm.
5.02. Sigui f(x) = x
x2+ 1. Escriviu l’equaci´o de la recta r, tangent al gr`afic de la funci´o en el
punt d’abscissa x= 2. Estudieu si hi ha altres punts del gr`afic en els quals la recta tangent
sigui paral·lela a r.
5.03. Demostreu que la funci´o f(x) = x3+ 6x2+ 15x+ 1 t´e una ´unica arrel real entre −1 i 0.
5.04. Proveu que no pot existir una funci´o derivable ftal que f(0) = −1, f(2) = 4 i que f0(x)<5
2
per a tot x∈[0,2]. Demostreu que, en canvi, si que existeix una funci´o derivable gamb
g(0) = −1, g(2) = 4 i g0(x)≤5
2per a tot x∈[0,2]. Interpreteu el resultat geom`etricament.
5.05. Trobeu els intervals de creixement, de decreixement i els extrems relatius de les funcions:
(a) f(x) = x2−16
x(b) f(x) = x+ 3 ·3
√x2
5.06. Trobeu els punts xde l’interval [−5,4] on la funci´o f(x) t´e extrems relatius si la gr`afica de
la seva derivada ´es la seg¨uent: