TEMA 4: Models discrets
1. Un malalt de c`ancer es classifica en tres diferents estadis I, II i III segons el grau de la malaltia. Si sabem que
per a un determinat tipus de c`ancer les previsions de superviv`encia s´on de 10 , 5 i 1 any respectivament i que a
una determinada poblaci´o de malalts el 60 % es troben a l’estadi I, el 30% a l’estadi II i la resta a l’estadi II I,
determineu el temps mitj`a de superviv`encia per a un individu seleccionat a l’atzar de la poblaci´o.
2. A una nombrosa poblaci´o de ratpenats que viuen a una cova de la Cerdanya, el 30 % dels individus estan afectats
pel virus de la r`abia. Si un dia efectuem una campanya de recollida de mostres i seleccionem 5 ratpenats a l’atzar,
quina es la probabilitat que
(a) tres d’ells estiguin malalts,
(b) no trobem cap individu malalt
(c) tots cinc estiguin malalts,
(d) trobem m´es de dos individus malalts?
(e) Calcula l’esperan¸ca i la vari`ancia de la variable ’Nombre de ratpenats malalts a la mostra de 5 individus’.
3. Sabem que a una determinada poblaci´o el 40 % dels individus s´on del grup sanguini A, el 15 % del grup B, el 25
% del grup AB i la resta del grup 0. Si un d´ıa determinat han acudit 10 individus, suposem que triats a l’atzar
de la poblaci´o, a un servei de donaci´o de sang, volem saber
(a) Quina ´es la probabilitat que trobem 3 individus del grup A, 3 del B, 4 del AB i cap del grup 0?
(b) Quina ´es la probabilitat de trobar m´es de 5 individus del grup A?
(c) Quants individus esperar´ıem trobar del grup 0?
4. A una mostra de limf`ocits examinada al microscopi, les c`el·lules es reparteixen en rectangles marcats al fons
d’una cubeta seguint, a cada rectangle, una distribuci´o de Poisson de par`ametre λ= 5. Examinat un d’aquests
rectangles,
(a) Quina ´es la probabilitat de trobar exactament dues c`el·lules?
(b) Quina ´es la probabilitat de trobar m´es de dues c`el·lules?
(c) Quantes c`el·lules esperar´ıem per terme mig en el total de la cubeta si la cubeta est`a formada per 10.000
rectangles?
5. A una campanya pr`evia de marcaci´o d’iguanes a una illa del pac´ıfic s’han marcat un 5 % del total d’individus
adults. Si efectuem una recollida d’exemplars (amb reempla¸cament) a la poblaci´o,
(a) Quina ´es la probabilitat d’haver de capturar 5 exemplars no marcats abans de trobar el primer exemplar
marcat?
(b) Quina ´es la probabilitat d’haver de necessitar un total de 25 captures per obtenir 3 exemplars marcats?
(c) Quin ´es el terme mitj`a de captures necess`aries per aconseguir 3 exemplars marcats?
6. A un Hospital hi s´on ingressats 30 malalts al servei d’urg`encies, d’aquests 10 ho s´on per problemes de traumato-
logia. Si triem a l’atzar 5 malalts (sense reempla¸cament), quina ´es la probabilitat de que nom´es un malalt sigui
de trauma?
7. Per tal d’efectuar un recompte d’eritr`ocits a una mostra de sang es fa servir una quadr´ıcula dividida en 400
quadrats iguals, de forma que cadasc´u t´e a sobre un volum de l´ıquid de 4000−1mm3. Es dilueix al 0,25 % una
mostra de sang i es considera que la distribuci´o dels eritr`ocits ´es a l’atzar. Vam trobar 25 quadrats sense cap
eritr`ocit, suposant una distribuci´o de Poisson, quin ´es el valor mig dels eritr`ocits per mm3de sang?
8. Una estimaci´o, publicada al llibre Introduction to population biology de Dick Neal, calcula en 35.000 el nombre
de loci al genoma hum`a. Tamb´e calcula una taxa de mutaci´o de 1 ×10−5mutacions per locus i per generaci´o.
(a) Quin ´es el nombre mig de mutacions per zigot diploide i per generaci´o?
(b) Si considerem 5 zigots a l’atzar d’una poblaci´o, quina ´es la probabilitat que en 4 d’ells s’hagi produ¨ıt al
menys una mutaci´o?
9. Un laboratori rep cada setmana els kits necessaris per determinar la pres`encia d’una determinada hormona en
sang. Si per terme mitj`a sabem que fem servir 7 kits setmanalment i assumim una distribuci´o de Poisson,
1
