Proyectil de Tartaglia, Apuntes de Ingeniería Infórmatica

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UCM.-FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS

PROYECTIL DE

TARTAGLIA

MECÁNICA CLÁSICA

Daniel Pedraza Fernández

Contenidos a tratar

Es importante destacar que Tartaglia considera los distintos tipos de movimiento para las

trayectorias desde la filosofía aristotélica:

Movimiento violento: aquel en que el origen del movimiento es una causa externa al móvil.

Movimiento natural: aquel en cuyo origen estaba en la materia del móvil.

Una de las más importantes proposiciones del libro de Tartaglia y alrededor de la cual

trabajaremos en este ensayo es la IV:

“Propositione iiii

Tutti li corpi egualmente graui simili et eguali, giongendo al fine de lor moti uiolenti

andaranno de egual uelocita, ma dal principio de tali mouimenti, quello che hauera a

transire per piu longo spacio se partira piu ueloce.”

[“Proposición IV.

Todos los cuerpos igualmente graves, similares e iguales, llegando al final de su movimiento violento se encontrarán a la misma

velocidad, cualquiera que haya sido la que tenían al principio”].

Esta afirmación estaba acompañada de una representación de la trayectoria que implicaría

según el autor la ya mencionada proposición.

Figura 2 Niccolo Tartaglia. ' La nova Scientia ', Verona, 1537

Si nos fijamos, el tramo AB es una línea recta que representa un movimiento violento,

mientras que el tramo DF es otra recta con pendiente vertical que representa un movimiento natural.

Lo que realmente marca la diferencia con la concepción del movimiento es la existencia del

tramo BD, que sería según Tartaglia el tránsito del movimiento violento al natural.

Supuso igualmente que este tramo curvo tendría que ser el arco de una circunferencia de

radio R, en la que enlazaban suavemente las los tramos AB y DF.

Esto rompe dramáticamente con la teoría aristotélica que afirmaba que dicha transición entre

movimientos ocurría de forma brusca, tal y como describe la siguiente figura:

Figura 3 Daniel Santbech. ' Problematum Astronomicorum ', Basílea, 1561.

También destaca por su afirmación la proposición VIII:

“Propositione viii

Se una medema possanza mouente eiettera, ouer tirara corpi egualmente graui simili,et eguali in

diuersi modi uiolentemente per aere, Quello che fara il suo transito eleuato a 45 gradi sopra a

l’orizonte fara anchora il suo effetto piu lotan dal suo

principio sopra il pian de l’orizonte che in qualunque altro modo eleuato.”

[“Proposición VIII.

Si una misma potencia movilizadora proyectara al aire cuerpos igualmente graves y similares, aquel que realice su movimiento a 45

grados sobre el horizonte producirá también un efecto más lejano, [medido] desde su inicio sobre el plano del horizonte que como lo

produciría lanzado con cualquier otra elevación.]

Esta afirmación indica que la máxima distancia recorrida tiene lugar para un ángulo de 45

grados.

Figura 4 Niccolo Tartaglia. ' Quesiti et inventioni diverse', Verona, 15 46.

Para representar las soluciones de las ecuaciones, de aquí en adelante emplearemos datos

estándar para las culebrinas:

→La velocidad inicial de los proyectiles de artillería estaba en torno a 300 m/s.

→El proyectil era una esfera maciza de hierro de 1 0 cm de diámetro y una masa de 11 kg.

Figura 5 Culebrina de Carlos V. Tubo original en el Museo de la Armada, en París. Siglo XV. Bronce

Si comparamos la gráfica de los resultados para la hipótesis de Galileo con la que indicaba

Tartaglia se observa lo siguiente:

Figura 5 Niccolò Tartaglia. ' La nova Scientia ', Verona, 1537. Figura 6 Trayectorias según Galileo.

Lo primero que se puede apreciar es que las trayectorias de Galileo son simétricas, no así las

de Tartaglia.

Por otra parte, según Galileo, el proyectil va a estar continuamente girando ya que recorre

una parábola, y por tanto no se cumpliría la proposición IV del Nova Scientia al no tener ningún

tramo rectilíneo.

En cambio ambos coinciden en el hecho de que la máxima distancia recorrida se consigue

con un ángulo de 45º, que para Galileo.

Demostración:

Si calculamos la máxima distancia recorrida en el eje horizontal a partir de la trayectoria:

z ( y )= ytan α−

g

2 v 0

2

cos α

2

y

2

Exigiendo z(y max )=0 obtenemos la fórmula para un ángulo arbitrario:

y max

v 0

2

g

sin 2 α

Que adquiere su máximo valor para α=45º

y max45º

v 0

2

g

2.Planteamiento de Newton

En la celebérrima obra de Isaac Newton (1643, Lincolnshire-1727, Londres) Philosophiæ

naturalis principia mathematica publicada en 1687 se propone el siguiente ejercicio:

“Propositio IV. Problema II.

Posito quod vis gravitis in medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat

perpendiculariter ad planum horizontis; definire motum projectilis in codem,

resistentiam velocitati proportionalem patientis.”

[“Proposición IV. Problema II.

Suponiendo que la fuerza de la gravedad entre medios semejantes es uniforme y que incide perpendicularmente en el

plano del horizonte defínase el movimiento del proyectil que sufre una resistencia proporcional a la velocidad]

Tras resolver el problema geométricamente, se presentaba el siguiente dibujo

mostrando cómo habría de ser la trayectoria de un proyectil moviéndose en dichas

condiciones.

Figura 7 Isaac Newton. “ Philosophiæ naturalis principia mathematica”, Cambridge, 1713.

3.Estudio del caso con baja resistencia al aire

Consideramos que la resistencia al aire será mucho menor que 1:

y ( t )

β≪ 1

= m v 0

cos α

lim

β→ 0

β

( 1 − e

−β

t

m

)= m v 0

cos α

lim

β→ 0

β

lim

β→ 0

( 1 − e

−β

t

m

En el límite de la exponencial aplicamos un desarrollo en serie de Taylor y nos quedamos

con el término de primer grado:

y ( t )

β≪ 1

= m v 0

cos α

lim

β→ 0

β

β

m

t −...)= m v 0

t cos α

Actuamos de la misma forma para la vertical, pero esta vez nos quedaremos con el término

de segundo grado para la exponencial del segundo paréntesis:

z ( t )

β≪ 1

lim

β→ 0

m v 0

β

sin α ( 1 − e

−β t / m

mg

β

( t +

m

β

e

−β t / m

m

β

mv 0

β

sin α( 1 −( 1 −

β

m

t +...))−

m

β

g ( t +

m

β

β

m

t +

β

2

2m

2

t

2

m

β

= mv 0

sin α t −

g t

2

Si comparamos estas trayectorias con las de Galileo vemos que son exactamente iguales.

4. Ecuación explícita de la trayectoria y análisis del instante inicial del

movimiento.

Primero despejamos el tiempo en la coordenada horizontal:

t =−

m

β

ln ( 1 −

β y

m v 0

cos α

Y al sustituirlo en la coordenada vertical nos quedará la trayectoria:

z ( y )= y ( tg α+

m g

β v 0

cos α

m

2

β

2

g ln( 1 −

β

m v 0

cos α

y )

Para estudiar la etapa inicial del movimiento consideraremos el siguiente límite:

lim z ( y )

y → 0

lim

y → 0

[ y ( tg α+

m g

β v 0

cos α

m

2

β

2

g ln( 1 −

β

m v 0

cos α

y )]=

= y ( tg α+

m g

β v 0

cos α

m

2

β

2

g ∑

n = 0

∞

(β y )

n + 1

( n + 1 )( mv 0

cos α)

n + 1

( y → 0 )

Si aproximamos hasta segundo orden obtenemos que la trayectoria inicial será:

z ( y )=tan(α) y −

g

2 ( v 0

cosα)

2

y

2

Lo que nos dice este resultado es que en etapas iniciales del movimiento, éste es

exactamente el mismo que el propuesto por Galileo en su obra.

5. Análisis de la etapa final del movimiento

Podemos observar lo que ocurre al final de la trayectoria calculando el siguiente límite:

y ∞

lim

t →∞

y ( t )=

m v 0

cos α

β

mv 0

cos α

β

Si a su vez incluimos este resultado en el de la trayectoria z(y) obtendremos lo siguiente:

z ∞

lim

y → y ∞

= y ∞

( tg α+

m g

β v 0

cos α

m

2

β

2

g ln ( 1 − 1 )→−∞

Es decir, que la trayectoria posee una asíntota vertical que hace que para tiempos muy altos,

la trayectoria sea prácticamente recta. Esto se asemeja al movimiento natural al que Tartaglia se

refería en la etapa final del movimiento.

Nótese en cambio que los resultados obtenidos a partir de la trayectoria propuesta por

Galileo no se corresponden en esta última etapa a los obtenidos al tener en cuenta la viscosidad del

medio.

6. ¿Tenía Razón Tartaglia?

A la vista de los resultados podemos decir que Tartaglia llegó a describir el movimiento de

los proyectiles de forma bastante aproximada, aunque no contaba con un respaldo matemático.

A pesar de todo, es necesario entender a Tartaglia en su contexto. Tenemos que darnos

cuenta del hecho de que en su obra no aparece la trayectoria que realmente vio, sino aquella que

tenía sentido en la coyuntura filosófica de la Italia renacentista.

Tartaglia era perfectamente consciente de que no tenía sentido la existencia de un

movimiento natural completamente rectilíneo, y de hecho lo pone de manifiesto en el texto

posterior a la suposición II de La nova Scientia:

“Suppositione ii

Ogni transito, ouer moto uiolente de corpi egualmente graui che sia fuora della perpendicolare

de l’orizonte sempre sara in parte retto e in parte curuo, & la parte curua

sara parte d’una circonferentia di cerchio.

La gráfica nos está diciendo que el cociente β/m es tan bajo, que el segundo término domina

la ecuación, cayendo más rápidamente de lo que crece el primer término.

Por tanto vemos que la hipótesis de Newton no sirve para describir las trayectorias de

proyectiles de forma directa.

Aún así, como ya hemos visto, la trayectoria newtoniana se puede aproximar a la Galileana

para coeficientes de resistencia bajos, de manera que se puede concluir que la trayectoria de Galileo

es la que mejor se aproxima matemáticamente al movimiento real de proyectiles esféricos, ya que

no requiere de aproximaciones.

A continuación se muestran algunos ejemplos sobre el movimiento real de proyectiles:

Figura 9 Cañón de aire a presión disparando proyectil esférico.

Figura 12 Fotografía estroboscópica de una pelota de tenis botando contra el suelo.

Figura 1 1 Despliegue de bengalas junto a tanques rusos durante la batalla de Kursk, 1943.

Figura 10 Estela de una bengala clase Meteor.

Se puede observar que el movimiento de objetos con simetría esférica está caracterizado por

una parábola, mientras que el de los objetos con una forma más cilíndrica como flechas y bengalas

quedará mejor descrito por la trayectoria de Tartaglia.

7. Sobre el texto de David Bohm

El párrafo de David Bohm hace referencia a que los trabajos de Copérnico, Kepler y Galileo

sugirieron que la materia celeste y la terrestre no era tan diferente como se pensaba, y que en

cambio, la diferencia se encontraba en el movimiento de ésta dependiendo de si el medio era vacío

o viscoso. Concluye diciendo que las leyes de la física deberían hacer referencia al movimiento de

la materia en el espacio vacío más que al medio viscoso.

Anexo

Ejemplo secuencial de un movimiento real que simula la ley aristotélica sobre la transición

instantánea del régimen violento al natural:

Figura Anexo. (De izquierda a derecha y de arriba hacia abajo ) Secuencia de un disparo bajo el agua con una pistola

Glock 22 Gen4 (.40), grabado a cámara lenta.

(Vídeo completo: http://www.youtube.com/watch?v=502KryEguA0 )

Se puede observar cómo la bala no realiza un movimiento parabólico, sino que se desplaza

en línea recta frenada por el agua de la piscina, y acaba cayendo de forma prácticamente vertical.

Documentación, Recursos y Referencias

›Libro. ' Nicolo Tartaglia. La Nueva Ciencia '. J. Rafael Marínez y J. César Guevara.

{Ed. Mathema}. [Estudio Preliminar].

›Libro.' Quesiti, et inventioni diverse '. Niccolò Tartaglia. { 1546 }.

( http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?

url=/permanent/archimedes_repository/large/tarta_quesi_525_it_1546/index.meta&start=1&pn=5 )

›Libro. ' La nova Scientia '. Niccolò Tartaglia. {Progetto Manuzio}

( http://www.liberliber.it/mediateca/libri/t/tartaglia/la_nova_scientia/pdf/la_nov_p.pdf )

›Libro. ' Mecánica de Fluidos '. Frank M. White. {Mc Graw Hill}.

›Libro.' Philosophiæ naturalis principia mathematica '. Isaac Newton {Segunda Edición, 1713}.

( http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?

tocMode=thumbs&url=/mpiwg/online/permanent/archimedes/newto_philo_039_la_1713&viewMo

de=image&pn=1 )

›Libro. ' Tratado dela artilleria y uso della platicado por el capitan Diego Ufano en las guerras de

Flandes'. Diego Ufano. {Original}.

( http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?

mode=imagepath&url=/permanent/library/ZVP14SNQ/pageimg )

›Libro.' Dialogues concerning two new sciences '. Galileo Galilei.{Liberty Foundation}.

( http://files.libertyfund.org/files/753/Galileo_0416_EBk_v7.0.pdf )

›Guía. ' Historia de la Artillería'. Coronel Don Antonio de Sousa y Francisco_._

( http://remilitari.com/guias/artilleria0.htm )

›Gráficas: Matlab (R2007b).