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Tema 6
Espacio af´ın
Algebra Lineal y Geometr´^ ´ ıa, Curso 2012-
1. Primeras definiciones
Definici´on 1 Un espacio af´ın es un conjunto A junto con un espacio vectorial V = A~ sobre el cuerpo K = R ´o C (llamado espacio director) y una aplicaci´on A × A → A~, (P, Q) 7 →
P Q que cumpla:
- Para cada P ∈ A, la aplicaci´on A → A~, Q 7 →
P Q, es biyectiva.
- Para cada P, Q, R ∈ A,
P Q +
QR =
P R.
La dimensi´on n de A se define como la dimensi´on de A~.
A menudo se le llama al par (P, Q) ∈ A × A vector ligado de origen P y extremo Q y a
P Q
su correspondiente vector libre. Cuando no haya posibilidad de confusi´on, abusaremos de la nomenclatura llamando espacio af´ın a A (en lugar de a la tripleta formada por A, A~ y la aplicaci´on A × A → A~).
Proposici´on 1 Sea A un espacio af´ın.
- Fijado un punto O ∈ A, para cada v ∈ A~, existe un ´unico P ∈ A~ tal que
OP = v. Esto se suele escribir: P = O + v.
P Q = 0 si, y s´olo si, P = Q.
P Q = −
QP.
- Identidad af´ın del paralelogramo: Si
P Q =
RS, entonces
P R =
QS.
2. Independencia af´ın y sistemas de referencia
Lema 1 Sea A un espacio af´ın, y sean {P 1 ,... , Pk} puntos de A. Si {
P 1 Pi : i = 2,... , k}
es linealmente independiente, entonces, para cada j ∈ { 1 ,... , k}, el conjunto {
Pj Pi/i ∈ { 1 ,... , k}{j}} es linealmente independiente.
Definici´on 2 Sea A un espacio af´ın. Dados k puntos de A, {P 1 ,... , Pk}, se dice que son af´ınmente independientes si los vectores {
P 1 Pi : i = 2,... , k} son linealmente indepen- dientes.
Nota: El lema 1 asegura la consistencia de esta definici´on, al ser independiente del punto escogido como P 1.
En particular, si n < ∞ y se tienen n + 1 puntos independientes fijado uno de ellos se genera una base del espacio vectorial director, lo que motiva la siguiente definici´on.
Definici´on 3 Sea A un espacio af´ın con dim A = n(< ∞). Llamaremos sistema de refe- rencia af´ın R a un conjunto ordenado (O, P 1 ,... , Pn) de n + 1 puntos af´ınmente indepen- dientes o, equivalentemente, al par que denotaremos (O; B), formado por el primer punto O (llamado origen de coordenadas) y la base B = (v 1 ,... , vn) de A~, relacionados por la igualdad Pi = O + vi, i = 1,... , n. Para cada punto Q ∈ A, los ´unicos escalares PR = (λ 1 ,... , λn) ∈ Rn^ tales que
OQ =
∑n i=1 λi
OPi son las coordenadas afines de Q respecto del sistema de referencia R.
3. Subespacios afines
Definici´on 4 Sea A un espacio af´ın. Un subespacio af´ın S es un subconjunto de A tal que fijado P ∈ S, el conjunto S~ = {
P Q : Q ∈ S} es un subespacio vectorial de A~, el cual se denomina (sub)espacio director de S. Si dim S = 1, lo llamaremos recta af´ın. Si dim S = 2, lo llamaremos plano af´ın. Si dim S = n − 1 (y n < ∞), lo llamaremos hiperplano af´ın.
Nota: Es f´acil comprobar que la elecci´on del punto P ∈ S no es relevante, en el sentido de que si se escoge otro punto R ∈ S del subespacio af´ın, entonces el conjunto {
RQ : Q ∈ S}
coincide con S~.
Proposici´on 2 Sea A un espacio af´ın. Dados P ∈ A y un subespacio vectorial W de A~, existe un ´unico subespacio af´ın S de A tal que P ∈ S cuyo subespacio director es W.
En tal caso, escribiremos S = P + W = {P + w : w ∈ W }.
Proposici´on 3 Sea {Sα : α ∈ I} un conjunto arbitrario de subespacios afines de A tal que ∩α∈I Sα 6 = ∅. Entonces ∩α∈I Sα es un subespacio af´ın de subespacio director ∩α∈I S~α.
Proposici´on 4 Dos subespacios afines P 1 + S~ 1 , P 2 + S~ 2 se intersecan si y s´olo si
P 1 P 2 ∈
S^ ~ 1 + S~ 2.
En este caso, si P pertenece a la intersecci´on (P 1 + S~ 1 ) ∩ (P 2 + S~ 2 ) = P + ( S~ 1 ∩ S~ 2 ).
Definici´on 5 Dado cualquier subconjunto no vac´ıo C ⊂ A el subespacio af´ın genera- do por C, que se denotar´a 〈C〉, es el menor subespacio af´ın que contiene a C, esto es, la intersecci´on de todos los subespacios afines de A que contienen C. En particular, si S y S′^ son dos subespacios afines, su suma S + S′^ se define como el subespacio af´ın generado por S ∪ S′.
Nota: La proposici´on 3 hace que la anterior definici´on tenga sentido (obs´ervese que siempre hay al menos un subespacio af´ın, el propio A, que contiene a C).
Denotaremos por 〈S〉K, o, simplemente, 〈S〉 el subespacio (af´ın o vectorial, seg´un el caso) generado por un subconjunto S. As´ı, 〈
P 1 P 2 〉K = {λ
P 1 P 2 : λ ∈ K}.
Lema 2 Dados dos subespacios afines P 1 + S~ 1 , P 2 + S~ 2 , su suma tiene por subespacio director 〈
P 1 P 2 〉K + S~ 1 + S~ 2.
Teorema 1 (de Thales de las paralelas). Sea A un espacio af´ın de dimensi´on finita, y sean H 1 , H 2 y H 3 tres hiperplanos distintos y paralelos. Sean r 1 y r 2 dos rectas no paralelas a H 1 con los puntos de intersecci´on {Ai} = r 1 ∩ Hi, Bi = r 2 ∩ Hi, i = 1, 2 , 3. Entonces,
(A 1 A 2 A 3 ) = (B 1 B 2 B 3 )
Nota: en el ambiente algebraico introducido, la demostraci´on de este teorema cl´asico (uno de los dos tradicionalmente atribuidos a Thales) se reduce a probar B 1 + (A 1 A 2 A 3 )
B 1 B 2 ∈ H 3.
5. Espacio af´ın eucl´ıdeo
Definici´on 8 Un espacio af´ın eucl´ıdeo es un espacio af´ın A, dotado de una m´etrica eucl´ıdea g en su espacio director^1 A~. Denotaremos a un tal espacio (A, A~, g) (sobreentendiendo la aplicaci´on A × A → A~) o, simplemente A, si se sobreentiende tambi´en el producto escalar eucl´ıdeo.
Definici´on 9 En un espacio af´ın eucl´ıdeo, (A, A~, g), un sistema de referencia cartesiano (u ortonormal) R = {O, P 1 ,... , Pn} es un sistema de referencia af´ın tal que la base (
OP 1 ,... ,
OP (^) n) es una base ortonormal. Las rectas 〈O, Pi〉 se denominan ejes cartesia- nos. Las coordenadas afines respecto de un sistema de referencia cartesiano se denominan coordenadas cartesianas.
Definici´on 10 Sea (A, A~, g) un espacio af´ın eucl´ıdeo. Sean S y S′^ dos subespacios afines. Se dice que S y S′^ son ortogonales o perpendiculares si S ⊥~ S~′. Esta propiedad se denotar´a S ⊥ S′.
Proposici´on 9 Sea (A, A~, g) un espacio af´ın eucl´ıdeo. Dado un subespacio af´ın S y P ∈ A, existe un ´unico subespacio af´ın S′^ tal que P ∈ S′, S ⊥ S′^ y dim S + dim S′^ = dim A.
Definici´on 11 Dado el subespacio af´ın S, al subespacio af´ın S′^ proporcionado por la propo- sici´on anterior se le llama suplemento ortogonal de S que pasa por P.
Definici´on 12 En un espacio af´ın eucl´ıdeo (A, A, g~ ), se definen:
- La distancia en A como la aplicaci´on d : A × A → R dada por d(P, Q) = ‖
P Q‖.
- El ´angulo que forman dos rectas l, r que se cortan en O como el ´angulo que forman un vector director de l y un vector director de r.
Notas. (1) La aplicaci´on d satisface todas las propiedades que definen una distancia abs- tracta. (2) De la definici´on es inmediato que, en un plano af´ın eucl´ıdeo, si r y s son dos rectas distintas paralelas y t es otra recta secante a las anteriores, entonces, los ´angulos ∠(rt) y ∠(st) son iguales. M´as a´un, esta propiedad se mantiene para ´angulos orientados (en el orden en que se han escrito las rectas) una vez se escoja una orientaci´on del espacio director del plano^2.
(^1) En las m´etricas o productos escalares eucl´ıdeos se asume impl´ıcitamente que el cuerpo sobre el que se definen los espacios directores es R. La materia de esta secci´on se extiende trivialmente al caso de productos escalares sobre espacios directores complejos (que definen los espacios afines unitarios). (^2) Esta propiedad suele usarse en la “geometr´ıa habitual” (ense˜nada en formaci´on elemental) para demostrar que, en un plano af´ın eucl´ıdeo los ´angulos de un tri´angulo suman π. A su vez, esta ´ultima propiedad puede redemostrarse usando la “geometr´ıa lineal” aqu´ı desarrollada de diversas maneras.
Proposici´on 10 (Teorema de Pit´agoras). Sean tres puntos P, Q, R de un espacio af´ın
eucl´ıdeo (A, A, g~ ) tales que g(
P Q,
QR) = 0. Entonces:
d(P, Q)^2 + d(Q, R)^2 = d(P, R)^2.
Dados dos subespacios afines S, S′^ de (A, A, g~ ), se define su distancia d(S, S′) como el ´ınfimo de las distancias entre puntos de uno y otro, esto es, Inf{d(P, P ′) : P ∈ S, p′^ ∈ S‘}. De la continuidad de la distancia como funci´on se demuestra que este ´ınfimo es, realmente, un m´ınimo, esto es, existen P 0 ∈ S, P 0 ′ ∈ S′^ tales que d(P 0 , P 0 ′) = d(S, S′). M´as a´un, del Teorema de Pit´agoras se deduce que tales P 0 , P 0 ′ deben caer en una recta ortogonal a ambos subespacios.
Proposici´on 11 Se consideran un punto P y un hiperplano H de un un espacio af´ın eucl´ıdeo (A, A, g~ ). Si X ∈ H es un punto cualquiera y u ∈ A~ es un vector unitario ortogonal a H~:
d(P, H) = |g(
P X, u)|.
M´as a´un, si en un sistema de referencia cartesiano las coordenadas de P son (λ 1 ,... , λn) y la
ecuaci´on de H es
i aixi+b^ = 0^ entonces el vector^ u^ ∈^ H~^ de coordenadas^ (a^1 ,... , an)/
i a 2 i es unitario y ortogonal a H~ y se verifica:
d(P, H) = |a 1 λ 1 + · · · + anλn + b| √ a^21 + · · · + a^2 n
Nota. (1) Obs´ervese que, en particular, si P ∈ H se obtiene de la ´ultima igualdad d(P, H) =
- (2). Los vectores ortogonales a hiperplanos afines sirven tambi´en para definir y calcular el ´angulo entro los dos hiperplanos, de manera obvia. Nos restringimos a continuaci´on a espacios que modelan nuestra intuici´on sobre el espacio f´ısico tridimensional.
Proposici´on 12 Sea (A^3 , A, g~ ) un espacio af´ın eucl´ıdeo real de dimensi´on 3. Se considera el tensor determinante det fijado por g y una de las orientaciones de A~, y el correspondiente producto vectorial ×. Sea un punto P 0 ∈ A^3 y sean r 1 = P 1 + 〈v 1 〉R, r 2 = P 2 + 〈v 2 〉R dos rectas de A^3 que se cruzan. Entonces:
d(P 0 , r 1 ) =
P 0 P 1 × v 1 ‖ ‖ v 1 ‖
d(r 1 , r 2 ) = |det(v 1 , v 2 ,
P 1 P 2 )|
‖ v 1 × v 2 ‖
Nota. La primera de estas dos expresiones es tambi´en ´util para calcular la distancia entre dos rectas paralelas.
y sea f : A → A′^ una afinidad. De la relaci´on f (X) = f (O) + f~ (
OX) se sigue, para las coordenadas x, x′^ de X y f (X), consideradas como columnas:
x′^ = b + M x
donde b es la columna de las coordenadas de f (O) en R′^ y M es la matriz de f~ en las bases B, B′. En forma m´as compacta, escribiremos: ( x′ 1
M b 0 1
x 1
Nota. Con esta notaci´on, la composici´on de aplicaciones afines se relaciona con el producto de matrices de manera natural, an´aloga a la de las aplicaciones lineales.
El grupo af´ın. Nos restringimos a continuaci´on al caso de afinidades.
Definici´on 14 Dada una afinidad f de un espacio af´ın A, diremos que P ∈ A es un punto fijo de f si f (P ) = P , que C ⊂ A es invariante por f si f (C) = C.
Nota. Claramente, si C est´a formado por puntos fijos entonces es invariante, pero el rec´ıproco no es cierto.
Ejemplo 1. A una afinidad f : A → A tal que f~ = rId con r 6 = 0, 1 se le llama homotecia de raz´on r (obs´ervese que r = 0 se corresponde con la aplicaci´on af´ın cuya imagen es un solo punto, y r = 1 con una traslaci´on). Una homotecia tiene un ´unico punto fijo, O ∈ A (que se suele tomar como origen de coordenadas), el cual puede calcularse escogiendo un punto aunxiliar P ∈ A y usando:
O = f (O) = f (P +
P O) = f (P ) + f~ (
P O) = f (P ) + r
P O ⇔
P O =
P f (P ) + r
P O ⇔
P O = (^1) −^1 r
P f (P ) ⇔ O = P + (^1) −^1 r
P f (P )
Ejemplo 2. Sea A un espacio af´ın de dimensi´on n ∈ N. A una afinidad f : A → A tal que f^ ~ 2 = Id, f 6 =Id se le llama simetr´ıa. En el caso f~ = −Id entonces f es tambi´en una homotecia de raz´on r = −1, por lo que deja un ´unico punto fijo O, y a la simetr´ıa se le llama simetr´ıa central o inversi´on respecto a O. En caso contrario, f~ es diagonalizable y, de hecho, A~ = V 1 ⊕ V− 1 , donde V 1 y V− 1 son los subespacios propios de autovalores 1 y −1, resp. Adem´as: (a) el punto medio entre cualquier punto y su imagen P +
P f (P )/2 es un punto fijo, y (b) escogido un punto fijo O, el conjunto de los puntos fijos es O + V 1. Si dimV 1 = 1 entonces los puntos fijos de f forman una recta s o eje de simetr´ıa, y se dice que f es una simetr´ıa (af´ın) axial respecto a la recta s. Si dimV 1 = n − 1 entonces los puntos fijos de f forman un hiperplano de simetr´ıa H, y f es una simetr´ıa (af´ın) especular respecto al hiperplano H.
Teorema 2 Dado un espacio af´ın A, sus afinidades forman un grupo con la composici´on. Si la dimensi´on n es finita, este grupo es isomorfo al de afinidades del espacio af´ın Kn.
Definici´on 15 El grupo af´ın de dimensi´on n ∈ N, denotado GA(n), es el grupo de las afinidades de Kn. De manera natural, este grupo se identifica con {( M b 0 1
: M ∈ GL(n), b ∈ Kn
siendo GL(n) el grupo de matrices regulares (o lineal general) de orden n, el cual a su vez era identificable naturalmente con el grupo de isomorfismos vectoriales de Kn.
Nota. De manera natural, GL(n) y (Kn, +) pueden verse como subgrupos de GA(n), y este grupo es, algebraicamente, el producto semidirecto de los dos subgrupos anteriores.
Movimientos r´ıgidos. Consideramos de nuevo el caso de un espacio af´ın eucl´ıdeo (real).
Definici´on 16 Sea (A, A, g~ ) un espacio af´ın eucl´ıdeo y f : A → A una aplicaci´on. Se dice que f es un movimiento (r´ıgido) de A si
- f es una aplicaci´on af´ın.
- f~ es una isometr´ıa lineal de ( A~, g).
Adem´as, en dimensi´on finita se dice que el movimiento es directo (propio) o inverso (impropio) seg´un lo sea la isometr´ıa lineal asociada f~.
Proposici´on 15 Una afinidad f de un espacio af´ın (A, A, g~ ) de dimensi´on finita n es un movimiento r´ıgido si y s´olo, para una (y, por tanto toda) referencia cartesiana (O; B) la matriz de f~ en B pertenece a O(n).
Propiedades.
- Toda traslaci´on y toda inversi´on con respecto a un punto son movimientos r´ıgidos.
- Excepto en el caso de las inversiones, las homotecias no son movimientos r´ıgidos.
- Las simetr´ıas son movimientos r´ıgidos si y s´olo si V 1 y V− 1 son ortogonales.
6.2. Movimientos r´ıgidos del plano af´ın eucl´ıdeo
Como estudio preliminar, consideremos el caso de una recta af´ın eucl´ıdea. Si f : A^1 → A^1 es un movimiento de un espacio af´ın eucl´ıdeo de dimensi´on 1, entonces necesariamente f^ ~ = ±Id. Teniendo en cuenta el estudio anterior de traslaciones e inversiones afines se tiene el siguiente resultado.
Teorema 3 Un movimiento r´ıgido f : A^1 → A^1 de una recta eucl´ıdea A^1 es necesariamente de uno de los siguientes tipos: (a) El movimiento es propio (directo), lo cual ocurre si y s´olo si f~ =Id. En este caso, o f es la identidad o f es una traslaci´on a lo largo de un vector v ∈ A~^1 { 0 }. Escogido un sistema de referencia (cartesiano o no) (O; B) con una orientaci´on adecuada en B, la ecuaci´on de f en coordenadas es: x′^ = x + ||v||
Al calcular los puntos fijos (esto es, resolver la ecuaci´on obtenida al imponer x′^ = x, y′^ = y) se obtiene, si c 1 = 0, un sistema compatible e indeterminado y, si c 1 6 = 0, un sistema incompatible. En el primer caso, el conjunto de puntos fijos es la recta y = c 2 /2. Si se escoge un punto P 0 de esta recta como origen del sistema de referencia cartesiano, las ecuaciones de f se simplifican en: x′^ = x y′^ = −y
As´ı, el conjunto de puntos fijos forma la recta r = P 0 + 〈e 1 〉R y f es una reflexi´on (o simetr´ıa axial) respecto a r. Si no hay puntos fijos, la ecuaci´on de f en el sistema de referencia cartesiano (O, (e 1 , e 2 )) (para cualquier origen O) resultaba ser
x′^ = x + c 1 y′^ = −y + c 2
con c 1 6 = 0. La recta y = c 2 /2 es ahora solo invariante por f y, escogido un punto P 0 sobre ella como origen del sistema de referencia, las ecuaciones de f se simplifican en:
x′^ = x + c 1 y′^ = −y
Este movimiento r´ıgido es la composici´on de una reflexi´on (simetr´ıa axial) con eje r = P 0 + 〈e 1 〉R y una traslaci´on Tv paralela al eje r de vector v = c 1 e 1 , por lo que se le llama reflexi´on (o simetr´ıa axial) con deslizamiento. Esta composici´on es conmutativa, en el sentido de que se obtendr´ıa el mismo movimiento si se compone primero la traslaci´on y luego la reflexi´on.
Resumen. El siguiente teorema sintetiza los resultados obtenidos.
Teorema 4 Todo movimiento r´ıgido de de un plano af´ın eucl´ıdeo cae en uno de los siguientes casos excluyentes:
Con puntos fijos Sin puntos fijos Identidad Traslaci´on Tv (v 6 = 0) Propias Giro (|θ| ∈ (0, π)) Simetr´ıa central Impropias Reflexi´on (sim. axial) Reflexi´on (sim. axial) con deslizamiento
Es de remarcar que los casos l´ımite θ = 0, π de giro incluyen a la identidad y la simetr´ıa central, mientras que la reflexi´on ser´ıa el caso l´ımite v = 0 de la refelxi´on con deslizamiento. Desde un punto de vista pr´actico, las siguientes consideraciones resultan ´utiles para ca- racterizar los movimientos r´ıgidos del plano (A^2 , A~^2 , g). Se considera una afinidad f de A^2 expresada en coordenadas x′^ = M x + b (4)
para una referencia af´ın R = (O, B) no necesariamente ortonormal. La aplicaci´on f es un movimiento r´ıgidosi y s´olo si la matriz M verifica
M t^ · MB (g) · M = MB (g) (M t^ · M = I 2 cuando B es ortonormal). (5)
En este caso, detM = ±1 y se distinguen las siguientes posibilidades:
- Si detM = 1, se toma cos θ = (trM )/2 y se tienen los casos:
a) cos θ = 1 (necesariamente M = I 2 ): f es la identidad si b = 0 y una traslaci´on si b 6 = 0. b) cos θ = −1 (necesariamente M = −I 2 ): f es una simetr´ıa central, cuyo centro es el ´unico punto fijo P 0 de f. Este (aparte de usando (4) o (3)) se puede computar como el punto medio P 0 = P + (
P f (P )/2) entre cualquier punto^3 P ∈ A y su imagen. c) cos θ 6 = ±1: f es una rotaci´on de ´angulo θ ∈ (0, π), cuyo centro es el ´unico punto fijo de f y resulta computable directamente de (4) o (3).
- Si detM = −1, entonces M es diagonalizable y se puede tomar una base (e 1 , e 2 ) de autovectores con autovalores 1 y −1 resp. (necesariamente e 1 y e 2 ser´an entonces orto- gonales para g). Adem´as, escogiendo el punto medio P 0 entre un punto auxiliar cualquiera P y su imagen f (P ), se considera la recta af´ın r = P 0 + 〈e 1 〉 y se tienen los casos:
a) Si P 0 es un punto fijo (P 0 = f (P 0 )) entonces la recta r est´a formada por todos los puntos fijos de f. En este caso, f es una reflexi´on (simetria axial) de eje r. b) Si P 0 6 = f (P 0 ) entonces f no admite puntos fijos y, necesariemente f (P 0 ) = P 0 + v para alg´un vector v = c 1 e 1 con c 1 6 = 0 (esto es, P 0 y f (P 0 ) determinan la recta r). En este caso, f es una reflexi´on (simetr´ıa axial) de eje r con deslizamiento v = c 1 e 1 a lo largo del eje.
6.3. Movimientos del espacio af´ın eucl´ıdeo tridimensional
Consideremos ahora el caso de un movimiento r´ıgido f : A^3 → A^3 para un espacio af´ın eucl´ıdeo de dimensi´on 3, y distinguimos de nuevo las transformaciones propias e impropias.
Caso propio (det f~ = 1). Se sabe entonces que existe una base ortonormal B = (e 1 , e 2 , e 3 )
de ( A~^3 , g) (que se puede escoger positivamente orientada, en el caso de que se prefije una
orientaci´on en A~^3 ) tal que la matriz de f~ en B es:
Gz (θ) =
cos θ −senθ 0 senθ cos θ 0 0 0 1
(^) esto es Gz (θ) =
G(θ) 0 0 1
(Gθ definido en (2)) para alg´un θ ∈ [0, π] determinado un´ıvocamente. Escogido O ∈ A^3 , la ecuaci´on de f en el sistema cartesiano R = (O, B) es entonces:
x′ y′ z′
(^) = Gz (θ)
x y z
b 1 b 2 b 3
(^3) Por supuesto, al poder escogerse cualquier punto P se puede tomar el que resulte m´as sencillo (como, por ejemplo, uno de coordenadas (0, 0)).
Por tanto, todos lo puntos de Π son puntos fijos y f es una reflexi´on (o simetr´ıa espe- cular) respecto al plano (de simetr´ıa) Π.
Caso cos θ = 1 y no existe ning´un punto fijo. Tomamos cualquier P 0 ∈ Π y las ecuaciones de f en la referencia cartesiana (P 0 , B) se reducen a:
x′^ = x + c 1 , y′^ = y + c 2 z′^ = −z
con c^21 + c^22 6 = 0 (pues no hay puntos fijos). En este caso, f es una composici´on (conmutativa) de una traslaci´on seg´un un vector v ∈ Π (~ v = c 1 e 1 + c 2 e 2 ) y una simetr´ıa especular con respecto a Π, o reflexi´on (simetr´ıa especular) con deslizamiento.
Caso cos θ 6 = 1. En este caso, de las ecuaciones (8) se deduce que hay un ´unico punto fijo P 1 de Π. Se tiene entonces que f es una reflexi´on (simetr´ıa especular) con giro esto es, la composici´on (conmutativa) de una reflexi´on respecto a Π y de un giro de ´angulo θ con respecto a la recta r = P 1 + 〈e 3 〉R (ortogonal a Π).
Resumen. El siguiente teorema sintetiza los resultados obtenidos.
Teorema 5 Todo movimiento r´ıgido de de un espacio af´ın eucl´ıdeo tridimensional cae en uno de los siguientes casos excluyentes^4 :
Con puntos fijos Sin puntos fijos Identidad Traslaci´on Propio Giro (θ ∈ (0, π)) Movimiento helicoidal Simetr´ıa axial Simetr´ıa axial con deslizamiento Reflexi´on (sim. espec.) Reflex. (sim. espec.) con deslizamiento Impropio Reflex. (sim. espec.) con giro θ ∈ (0, π) Simetr´ıa central
Es de remarcar que los casos l´ımite θ = 0, π de giro incluyen, en el caso propio, a la iden- tidad y la simetr´ıa axial y, en el impropio, a las simetr´ıas especular y central, resp. Adem´as las traslaciones y simetr´ıas axiales con deslizamiento pueden verse como casos l´ımite de mo- vimientos helicoidales. Asimismo, cada movimiento r´ıgido sin puntos fijos en la derecha de la tabla determina un´ıvocamente una traslaci´on que, en el caso l´ımite de ser 0, produce el correspondiente movimiento con puntos fijos a su izquierda. Desde un punto de vista pr´actico, las siguientes consideraciones resultan ´utiles para carac- terizar los movimientos r´ıgidos del espacio (A^3 , A~^3 , g). Dada una afinidad f de A^3 expresada como hasta ahora en coordenadas x′^ = M x + b, se puede determinar si f es un movimiento r´ıgido como ya se vio en el caso bidimensional (v´ease (5)). En este caso, detM = ±1 y:
- Si detM = 1, tomando cos θ = (trM − 1)/2 se tienen los casos:
a) cos θ = 1 (necesariamente M = I 3 ): f es la identidad si b = 0 y una traslaci´on si b 6 = 0. De hecho, si se escoge P ∈ A^3 , f puede escribirse como una traslaci´on Tv a lo largo de v =
P f (P ) y, en el caso v = 0, se tiene que f es la identidad. (^4) Obs´ervese al comparar con el bidimensional, que el nombre “reflexi´on” siempre incluye movimientos im- propios, a saber, las simetr´ıas axiales del plano y las especulares del caso tridimensional.
b) cos θ 6 = 1: se puede determinar un autovector e 3 asociado al autovalor 1 de M , que ser´a el vector director del eje del movimiento, distingui´endose los casos: (i) f admite un punto fijo P 0 : se considera la recta r = P 0 + 〈e 3 〉R, y el movimiento queda determinado como un giro (de ´angulo θ ∈ (0, π)) o una simetr´ıa axial, en ambos casos de eje r. (ii) f no admite ning´un punto fijo: se puede calcular un punto P 0 del eje tomando una referencia af´ın (digamos, (O; B), B = (e 1 , e 2 , e 3 ) con e 3 el autovector ya cal- culado y e⊥ 3 = 〈e 1 , e 2 〉R) que permita un desdoblamiento de las ecuaciones en las direcciones de e 3 y e⊥ 3 an´alogo al visto en^5 (7). As´ı, f queda determinado como un movimiento helicoidal (de ´angulo θ ∈ (0, π)) o una simetr´ıa axial con deslizamiento, en ambos casos de eje P 0 + 〈e 3 〉R y deslizamiento v =
P 0 f (P 0 ).
- Si detM = −1: se calcula el subespacio propio V− 1 y el punto P 0 = P + (
P f (P )/2) (escogido cualquier punto auxiliar P ∈ A), y se toma cos θ = (trM + 1)/2. Se tienen los casos:
a) Si dim V− 1 =3 (o, equivalentemente, cos θ = −1), entonces f es una simetr´ıa central de centro P 0. b) En caso contrario, V− 1 = 〈e 3 〉R para alg´un e 3 ∈ A{~ 0 }, el plano Π = P 0 + 〈e 3 〉⊥ R es invariante por f , y necesariamente ocurre uno de los casos: (i) V 1 = 〈e 3 〉⊥ R (o, equivalentemente, cos θ = 1). Se tienen las posibilidades, seg´un −−−−−→ P 0 f (P 0 ) se anule o no: todos los puntos de Π son fijos: f es una reflexi´on (sim. espec.) respecto a Π. Π no tiene ning´un punto fijo: f es una reflexi´on (sim. espec.) respecto a Π con deslizamiento
P 0 f (P 0 ). (ii) V 1 = { 0 } (o, equivalentemente, cos θ < 1). Entonces existe un ´unico punto fijo P 1 de Π, y f es una reflexi´on (sim. espec.) respecto a Π con giro de eje P 1 + 〈e 3 〉R y ´angulo θ ∈ (0, π) determinado por cos θ.
(^5) Si los vectores {e 1 , e 2 } no se escogen ortonormales, la matriz Gθ de la expresi´on (7) pasar´ıa a ser una matriz m´as general (aunque siempre regular y con determinante 1).
La ´ultima expresi´on se puede considerar como una funci´on cuadr´atica F ∗^ en y:
F ∗(y) := ytM ∗y + 2(b∗)ty + c∗^ = (yt^ 1) M˜ ∗
y 1
donde
M ∗^ = QtM Q, b∗^ = Qt(M v + b), c∗^ = vtM v + 2btv + c; M˜ ∗^ =
M ∗^ b∗ (b∗)t^ c∗
Escrito de manera m´as compacta:
M˜ ∗^ = Q˜t^ M˜ Q˜ donde Q˜ =
Q v 0 1
De las transformaciones previas se sigue f´acilmente:
Proposici´on 16 Las matrices M˜ y M˜ ∗^ (resp. M y M ∗) tienen el mismo rango y el mismo determinante. Asimismo, (M |b) y (M ∗|b∗) tienen igual rango.
Obs´ervese que el polinomio F ∗^ carece de t´erminos que dependen linealmente de y si y s´olo si se verifica: M v + b = 0 (11)
Definici´on 18 El punto v 0 se dice un centro de la hipercu´adrica si es una soluci´on de la ecuaci´on (11) tomando como inc´ognita v.
Nota. Estaremos especialmente interesados en los casos particulares Q = In, v ∈ Rn^ (tras- laciones) y Q ∈ O(n), v = 0 (transformaciones lineales en las coordenadas elegidas). Las siguientes propiedades se deben tener en cuenta en la clasificaci´on que desarrollaremos a con- tinuaci´on: (a) la matriz M es regular si y s´olo si existe un centro y ´este es ´unico, (b) al ser M sim´etrica siempre ser´a (ortogonalmente) diagonalizable, y (c) cuando se considere el rango o determinante de M o de M˜ , resulta irrelevante si se ha efectuado o no antes una composici´on con un movimiento r´ıgido (proposici´on 16).
Convenio. Cuando no exista posibilidad de confusi´on, escribiremos F (y) en lugar de F ∗(y), esto es, al escribir F (y) se entiende impl´ıcitamente F ∗(y) = F (y(x)) = F (Qy + b), siendo y(x) := Q−^1 (x − v).
7.2. C´onicas
Consideramos el caso n = 2, y denotamos λ 1 , λ 2 a los valores propios de M (quiz´as repetidos).
Caso rango(M) = 2 : Al haber un (´unico) centro v 0 = −M −^1 b, se puede hacer el cambio x = y + v 0 en (10), con lo que el polinomio se transforma en
F (y) = yM yt^ + c 0
donde el t´ermino independiente c 0 ∈ R (directamente calculable aplicando el polinomio F original sobre v 0 ) puede ser cualquier escalar. Como una segunda transformaci´on de las consideradas en (10), diagonalizamos la matriz M calculando una nueva base
ortonormal. Si la matriz de paso es Q (esto es, QtM Q = diag[λ 1 , λ 2 ]), escribiendo y = Qz, se obtiene un polinomio
F (z 1 , z 2 ) = λ 1 z^21 + λ 2 z^22 + c 0 (12)
con λ 1 6 = 0 6 = λ 2 y distinguimos los casos:
- det M > 0. Equivale a que λ 1 y λ 2 tengan el mismo signo y (cambiando el signo de la ecuaci´on si es preciso), podemos suponer λ 1 , λ 2 > 0, obteni´endose los subcasos: a) Si el t´ermino independiente c 0 de (12) es cero o, equivalentemente, rango( M˜ ) = 2 (esto es, det( M˜ ) = 0), la c´onica es s´olo un punto. b) Si el t´ermino independiente c 0 de (12) es distinto de cero o, equivalentemente, rango( M˜ ) = 3: 1) Si c 0 > 0 (esto es, det( M˜ ) > 0), la c´onica es el vac´ıo. 2) Si c 0 < 0 (esto es, det( M˜ ) < 0), la c´onica es una elipse. En el caso particular λ 1 = λ 2 la elipse es una circunferencia.
- det M < 0 o, equivalentemente, λ 1 y λ 2 tienen signos distintos:
a) Si c 0 = 0 o, equivalentemente, rango( M˜ ) = 2, se obtiene un par de rectas secantes. b) Si c 0 6 = 0 o, equivalentemente, rango( M˜ ) = 3, la c´onica se una hip´erbola. En el caso particular λ 1 = −λ 2 se dice que la hip´erbola es equil´atera.
Caso rango(M) = 1 : Uno de los valores propios ha de ser cero y, sin p´erdida de generalidad, escribimos λ 1 = λ 6 = 0, λ 2 = 0. Diagonalizando M mediante una matriz ortogonal Q ∈ O(n), se obtiene un nuevo polinomio en y = Qx:
F (y) = λy 12 + 2b 1 y 1 + 2b 2 y 2 + c,
y se siguen los casos:
- Si b 2 6 = 0 o, equivalentemente, rango(M |b) = 2, la c´onica obtenida es una par´abo- la. En este caso, un nuevo movimiento r´ıgido permite transformar la c´onica en la par´abola z 2 = az^21 , a > 0, de R^2.
- Si b 2 = 0 o, equivalentemente, rango(M |b) = 1, basta con resolver la ecuaci´on 0 = λy^21 + 2b 1 y 1 + c y la c´onica obtenida es:
a) Si la ecuaci´on no tiene soluciones, el vac´ıo. b) Si tiene una ´unica soluci´on (soluci´on doble), una ´unica recta a la que llamare- mos recta doble. c) Si tiene dos soluciones distintas, la c´onica es un par de rectas paralelas no coincidentes.
7.3. Cu´adricas
Consideramos el caso n = 3, y denotamos λ 1 , λ 2 , λ 3 a los valores propios de M (quiz´as repetidos).
Caso rango(M ) = 3. Como en el caso de las c´onicas, al haber un (´unico) centro v 0 = −M −^1 b, se puede hacer el cambio x = y + v 0 en (10), con lo que el polinomio se transforma en F (y) = yM yt^ + c 0 , y los valores propios de M no pueden valer cero. Diagonalizando M mediante una matriz ortogonal Q ∈ O(3), escribimos y = Qz, obte- niendo un nuevo polinomio:
F (z) = λ 1 z 12 + λ 2 z^22 + λ 3 z 32 + c 0 (13)
- Si todos los valores propios de M tienen el mismo signo, podemos suponer que los tres son positivos sin p´erdida de generalidad, y entonces la cu´adrica es o un elipsoide, o un punto o el vac´ıo, dependiendo del signo de c 0 (c 0 < 0 , c 0 = 0, c 0 > 0, resp.).
- Si hay valores propios de M con distinto signo, caben dos casos: a) Si el t´ermino independiente es igual a cero o, equivalentemente, rango( M˜ ) = 3, la cu´adrica es un cono. b) Si el t´ermino independiente es distinto de cero o, equivalentemente, rango( M˜ ) = 4 la cu´adrica es un hiperboloide. Suponiendo sin p´erdida de generalidad c 0 < 0, se tienen dos posibilidades: 1) Si dos valores propios son negativos: hiperboloide de dos hojas. Este nombre se debe a que posee dos partes conexas. De hecho, si, digamos, λ 3 > 0 entonces z 3 se despeja de igualar (13) a 0 como
z 3 = ±
|c 0 /λ 3 | + (z 1 /a 1 )^2 + (z 2 /a 2 )^2
con a^2 i = −λ 3 /λi > 0 y |z 3 | ≥ |c 0 /λ 3 | > 0.
- Si dos valores propios son positivos: hiperboloide de una hoja. Este nombre se debe a que posee una ´unica parte conexa. De hecho, si, digamos, λ 3 < 0 entonces z 3 se despeja de igualar (13) a 0 como
z 3 = ±
−|c 0 /λ 3 | + (z 1 /a 1 )^2 + (z 2 /a 2 )^2
con a^2 i = −λ 3 /λi > 0 y z 3 toma todos los valores reales.
Caso rango(M ) = 2. Diagonalizando M mediante una matriz ortogonal Q y escribiendo x = Qy, se obtiene un nuevo polinomio:
F (y) = λ 1 y^21 + λ 2 y^22 + 2b 1 y 1 + 2b 2 y 2 + 2b 3 y 3 + c,
donde λ 1 y λ 2 son los valores propios no nulos de M. Si resolvemos en yi las ecuaciones λiyi + bi = 0, i = 1, 2, con soluciones v 1 y v 2 , respectivamente, la traslaci´on y = z + (v 1 , v 2 , 0) reduce el polinomio a:
F (z) = λ 1 z 12 + λ 2 z 22 + 2b 3 z 3 + c 0 (14)
- Si b 3 6 = 0 o, equivalentemente, rango(M |b) = 3, la cu´adrica es un paraboloide. El tipo de c´onica obtenido seg´un como sean las secciones z 3 =constante, distingue entre: a) paraboloide el´ıptico, cuando λ 1 λ 2 > 0, y b) paraboloide hiperb´olico, cuando λ 1 λ 2 < 0.
- Si b 3 = 0, es decir, si rango(M |b) = 2, la tercera variable no aparece en (14). Ol- vid´andonos moment´aneamente de esta tercera variable, la ecuaci´on (14) puede ver- se como la de una c´onica, la cual podemos clasificar. De hecho, como rango(M ) = 2, entonces la c´onica que se obtiene no puede ser ni una recta doble ni una par´abola. Cuando la c´onica es una elipse o una hip´erbola, la cu´adrica original es un cilin- dro el´ıptico o un cilindro hiperb´olico, resp. (en el caso particular de que la elipse sea una circunferencia se habla de un cilindro circular, o simplemente cilindro). Teniendo en cuenta los otros casos posibles se tiene:
C´onica Da lugar a la cu´adrica vac´ıo vac´ıo un punto recta par de rectas secantes par de planos secantes elipse cilindro el´ıptico hip´erbola cilindro hiperb´olico
Caso rango(M ) = 1. Ordenando los valores propios adecuadamente, s´olo el primero de ellos es distinto de cero, y escribimos λ 1 = λ( 6 = 0). Diagonalizando M mediante una matriz ortogonal Q y escribiendo x = Qy, se obtiene el nuevo polinomio
F (y) = λy^21 + 2b 1 y 1 + 2b 2 y 2 + 2b 3 y 3 + c (15)
- Si b 2 6 = 0 o b 3 6 = 0, esto es, rango(M |b) = 2, se obtiene un cilindro parab´olico (de hecho, es posible cambiar ortogonalmente las coordenadas (y 1 , y 2 , y 3 ) por otras (y′ 1 = y 1 , y 2 ′, y 3 ′) de modo que al reescribir (15) en las nuevas coordenadas no aparezca y 3 ′).
- Si b 2 = b 3 = 0 o, equivalentemente, rango(M |b) = 1, no se tiene ninguna restricci´on para y 2 , y 3 , pero s´ı para y 1 que debe satisfacer la ecuaci´on λy^21 + 2b 1 y 1 + c = 0. Resolviendo la ecuaci´on en y 1 , se tienen dos soluciones, una o ninguna, que se corresponden con dos planos paralelos (distintos), un plano doble o el vac´ıo, resp.
Ap´endice 1: Regla de Descartes
Para la clasificaci´on de las cu´adricas (y, en general, de las hipercu´adricas) resulta funda- mental conocer los signos de los autovalores del polinomio caracter´ıstico p(λ) =det(M − λIn). Estos se pueden calcular con facilidad como sigue. Se ordenan los coeficientes del polinomio´ de mayor grado a menor y, obviando al cero, se cuentan los cambios de signo. Por ejemplo, en 4 λ^3 − 3 λ + 1 los coeficientes (4, 0 , − 3 , 1) presentan dos cambios de signo. Se tiene entonces la siguiente regla conocida de An´alisis Matem´atico (v´ease por ejemplo http://gaussianos.com/la- regla-de-los-signos-de-descartes/).
