¡Descarga Solucionari programació lineal y más Ejercicios en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
Pàgina 107
Resolució d'inequacions lineals
■
■ a)
b)
c)
Resolució de sistemes d'inequacions
■ (^2) x
x (^) + 2 x + 5 y (^) = 10 y (^) = 16
y^ – x^ = 2
1
1
Pàgina 116
1
1 10
1
y = 3
x (^) + y (^) = 10
4 x + 3 y = 0
A
B
C
D
2 y^ = 3
x
F ( x , y ) = 4 x + 3 y es fa mínima en A (0, 3) i màxima en C (4, 6).
2
x^ = 10 y^ – 2
x = 6
x^ =^
y
(^3) x (^) + 4 y (^) = 35
10 x + 15 y = 0
D
C
B
A
(^11)
F ( x , y ) = 10 x + 15 y assoleix el valor màxim en el punt D (10, 26).
3 a) Cal fer 20 pastissos de poma i cap de nata. b) El màxim s'assoleix en qualsevol d'aquests punts: (0, 20), (12, 4), (3, 16), (6, 12) i (9, 8) (la primera coor- denada indica els pastissos de nata que s'haurien de fer i la segona, els pastissos de poma). c) Cal fer 12 pastissos de nata i 4 de poma.
Pàgina 117
1 Fes-ho tu. Obtenim el màxim en el punt (3, 2). El mínim està en el punt (1, 0).
4 P rogramació lineal
y – x Ì 2 1
1
x + 5 y > 10
2 x + y Ì 20
x + 2 y Ì 16
x + 5 y > 10
2 x + y Ì 20
x + 2 y Ì 16
x + 5 y > 10
2 x + y Ì 20
x + 2 y Ì 16
2 Fes-ho tu.
Obtenim el màxim en el punt d 1130 , 1130 n. El mínim està en el punt (0, 0).
3 Fes-ho tu.
El valor mínim s'obté en els punts (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) i (5, 1). No hi ha màxim. La funció x + y es pot fer tan gran com es vulgui en el recinte proposat.
Pàgina 118
4 Fes-ho tu.
Per minimitzar el cost, cal comprar 54 000 envasos de tipus A i 108 000 de tipus B. El cost mensual mínim serà 34 560 €.
Pàgina 119
5 Fes-ho tu.
Han de facturar-se 30 tones de M 1 i 30 tones de M 2.
6 Fes-ho tu.
Qualsevol quantitat de pomes entre 500 kg i 625 kg, i de taronges entre 0 kg i 200 kg, que verifiqui la igualtat 0,8 x + 0,5 y = 500 aconseguirà un benefici màxim.
Pàgina 120
7 Fes-ho tu.
Cal fabricar-ne 40 pots per a etiquetes i 120 pots per a car- tells per maximitzar el benefici. El benefici màxim serà de 3 600 €.
Pàgina 121
1 El màxim s'assoleix en (2, 2) i és F (2, 2) = 9.
2 El màxim s'assoleix en (4, 3) i és F (4, 3) = 2 600.
3 Cal contractar 30 mecànics i 60 electricistes per obtenir un benefici màxim.
4 L'Anna ha de comprar només 1 200 kg de fertilitzant A per fer la mínima despesa. Aquesta despesa serà de F (1 200, 0) = 1 080 €.
Pàgina 122
1 El màxim s'assoleix en (100, 20) i val 2 900.
2 a) El màxim de F ( x , y ) s'assoleix en (0, 5); el mínim, en (0, 3). b) El màxim de G ( x , y ) s'assoleix en (0, 5) i el mínim, en (3, 2).
3 El màxim s'assoleix en el punt (10, 26) i val 37. 4 El mínim s'assoleix en el punt (3, 2) i val 12. No té màxim, ja que hi ha punts en la regió en els quals F ( x , y ) agafa valors tan grans com vulguem.
5 Hi ha infinits punts que fan mínima la funció: tots aquells que estan sobre el segment de la recta 2 x + y = 20, amb 0 ≤ x ≤ 10. El màxim s'assoleix en el punt (20, 20).
6 No existeix màxim ni mínim.
7 El màxim s'assoleix en el punt (16, 0). Aquest màxim val z = 5 · 16 + 3 · 0 = 80. El sistema d'inequacions que representa el recinte és: x , y x y x y x y
1
1
(^5) x (^) + y (^) = 0^ y^ = 4
x + y = 0
y – x + 1 = 0
y + 2 x – 5 = 0
a) F ( x , y ) assoleix el màxim en el punt d 21 , 4 n.
F ( x , y ) assoleix el mínim en el punt (0, 0). b) G ( x , y ) assoleix el màxim en el punt (2, 1) i val G (2, 1) = 11. G ( x , y ) assoleix el mínim en el punt (0, 0) i val G (0, 0) = 0.
9 a) Hi ha infinits punts que fan màxima la funció: tots els punts del costat que uneix els vèrtexs (0, 0) i (2, 8). b) La funció assoleix el màxim en el punt (10, 3).
21 a) Anomenem x el nombre de cases de tipus A i y el nombre de cases de tipus B. El conjunt de solucions són tots els punts de la regió de validesa amb nombres naturals com a coordenades. Són els punts de la quadrícula que estan dins d'aquesta regió:
y = 3 x (^) x = 4 2 x + y = 50
y = 18
A
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
b) Cal construir 4 cases de tipus A i 42 cases de tipus B per maximitzar beneficis.
Pàgina 124
22 a) Anomenem x el nombre de camions d'hulla i y el nombre de camions d'antracita. El conjunt de solucions són tots els punts que tenen coordenades naturals de la regió de validesa següent:
x = 3 y
x + y = 80
y = 10
10 20 30 40 50 60 70 80
10
20
30
El punt (20, 15) no està en la regió; per tant, no es podrien extraure en un dia 20 camions d'hulla i 15 d'antracita. b) S'han d'extraure 60 camions d'hulla i 20 d'antracita per maximitzar els guanys. 23 El màxim benefici és de 270 €, i s'assoleix venent 20 pa- quets de tipus A i 30 paquets de tipus B. 24 Cal transportar 18 vagons de cotxes i 9 vagons de mo- tos per maximitzar l'ingrés. Aquest ingrés màxim serà de 540 · 18 + 360 · 9 = 12 960 €. 25 El cost mínim s'assoleix contractant 24 autobusos i cap microbús. El seu valor és de 6 048 €. 26 El cost mínim, 2 040 000 €, s'obté quan la factoria F 1 funciona 30 dies i la F 2 funciona 45 dies. 27 Cal comprar, per minimitzar els costos globals, 1 kg de A i 4 kg de B. 28 a) Cal fabricar 9 taules clàssiques i 4 taules modernes. b) És supèrflua la dada que indica que no poden fabricar- se més de 17 taules entre clàssiques i modernes. 29 Cal que planti, per minimitzar el temps dedicat a la cura dels cultius, 15 m^2 de cols i cap ni un d'enciams. 30 El disseny de producció que maximitza els ingressos és aquell en què es produeixen 20 milions de litres de criança i 40 milions de litres de reserva.
Pàgina 125 31 a) Han de fabricar-se 50 pastissos de tipus P 1 i 20 pastis- sos de tipus P 2. b) El preu d'un pastís del tipus P 2 serà de 30 €. 32 Per minimitzar les despeses, la planta P 1 ha de funcionar 40 setmanes i la planta P2, 20 setmanes. El cost és 2 160 000 €.
33 Ha d'adquirir 1 500 accions de cada una de les dues societats.
34 El repartiment de locomotores ha de fer-se tal com s'indica en aquesta taula:
A B C totAl N 0 10 1 11 S 9 0 6 15 totAl 9 10 7 26
Autoavaluació
5
5 A (12, 6)^ B (21, 6)
C (12, 15) (^90) x (^) + 60 y (^) = 1440
(^90) x (^) + 60 x (^) + (^) y y (^) = 2250 (^) = 27
y = 6
x^ = 12
F ( x , y ) agafa el valor màxim en B (21, 6): F (21, 6) = 90 · 21 + 60 · 6 = 2 250 F ( x , y ) agafa el valor mínim en A (12, 6): F (12, 6) = 90 · 12 + 60 · 6 = 1 440
x – y = 0
(^2) x (^) + y (^) = 23
x (^) + 2 y (^) = 23
x + y = 0 5
5 A (0, 6)
B (0, 10) C (3, 10)
D (10, 3) E (10, 1)
10 – y = 0
10 –
x^ = 0
x (^) + (^) y (^) = 13 x (^) + 2 y (^) = 12
a) F (10, 3) = 2 · 10 + 3 = 23 és màxim de F. F (0, 6) = 6 és el valor mínim de F en el recinte. b) G (3, 10) = 3 + 2 · 10 = 23 és màxim de G. G ( x , y ) agafa el valor mínim en qualsevol punt del segment AE. c) H (10, 1) = 10 – 1 – 5 = 4 és màxim de H. H (0, 10) = 0 – 10 – 5 = –15 és el valor mínim de H en el recinte. d) I (3, 10) = 10 + 3 + 2 = 15 és màxim de I. I (0, 6) = 0 + 6 + 2 = 8 és mínim de I. 3 No té ni màxim ni mínim. 4 El benefici màxim, que és de 17 000 euros, s'obté en el punt (6, 8). És a dir, per obtenir el benefici màxim serà necessari fabricar 600 metres de cable del tipus A i 800 metres de cable del tipus B. 5 Per minimitzar les despeses, ha d'agafar 2 barretes de xoco- lata i 3 de cereals.
