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Departamento de Fundamentos del An·lisis EconÛmico. Universidad de Alicante. Curso 2017/ ESTADÕSTICA E INTRODUCCI”N A LA ECONOMETRÕA Soluciones a los problemas del Tema 8
En todos los ejercicios suponga que se cumplen todos los supuestos del modelo lineal cl·sico.
- El Öchero CEOSAL2 del libro de Wooldridge contiene informaciÛn sobre directores generales de empresas americanas. La variable salary es la remuneraciÛn anual en miles de dÛlares y ceoten es el n˙mero de aÒos de antig¸edad en el puesto de director general.
(a) Proponga un modelo para el que un aumento de un aÒo en el cargo de director general suponga siempre el mismo aumento porcentual en el salario. (b) Estime el modelo del apartado a y presente los par·metros estimados, los errores est·ndar, el n˙mero de observaciones y el R^2 en una ecuaciÛn. (c) Interprete la pendiente de la ecuaciÛn estimada. (d) Contraste si un aumento de un aÒo en el cargo de director general supone un aumento del 1% en el salario del director general. Calcule el p-valor e interprete el resultado.
SoluciÛn:
(a) Para que un aumento en un aÒo en el cargo de director general suponga siempre el mismo aumento porcentual en el salario tenemos que considerar un modelo log-lineal
log(salary) = 0 + 1 ceoten + u
(b) El modelo estimado es:
log(^ \salary) = 6 : 505 (0:068)
(0:00636)
ceoten
n = 177 ; R^2 = 0: 013
(c) La pendiente de esta ecuaciÛn supone que un aumento de 1 aÒo en el n˙mero de aÒos que lleva en la empresa el director general implica, en media, un aumento del salario del 0 :972% ( 100 0 :00972 = 0: 972 ).
(d) La hipÛtesis que tenemos que contrastar es
H 0 : 1 = 0: 01 H 1 : 1 6 = 0: 01
El estadÌstico de contraste es
t =
b 1 0 : 01
se(b 1 )
t 175 bajo H 0
El valor del estadÌstico en la muestra es
t =
El p-valor del contraste es P rob(jt 175 j > j 0 : 044 j) = 0: 96 y por tanto no podemos rechazar la hipÛtesis nula a ning˙n nivel de signiÖcaciÛn razonable. No hay evidencia para rechazar que un aumento de un aÒo en el cargo de director general supone un aumento del 1% en el salario del director general.
- Para estudiar la demanda de tabaco en jÛvenes adultos se considera el siguiente modelo
ncaj = 0 + 1 precio + 2 edad + 3 renta + u
donde ncaj es el n˙mero de cajetillas de tabaco que consume mensualmente el individuo, precio es el precio de cada cajetilla medido en dÛlares, edad es la edad en aÒos, y renta es la renta anual en miles de dÛlares.
(a) øQuÈ signo esperarÌa que tuviera 1? (b) En base a una muestra de 30 individuos se ha obtenido el siguiente modelo estimado:
[ncaj = 11 : 74 (15:09)
(6:38)
precio + 0: 99 (0:18)
edad + 0: 08 (0:04)
renta
b1) Interprete los coeÖcientes estimados. b2) Contraste la signiÖcatividad individual de cada variable. (c) Considere ahora el modelo
log(ncaj) = 0 + 1 log(precio) + 2 edad + 3 renta + u
c1) En base a la misma muestra de 30 individuos se ha obtenido el siguiente modelo estimado:
log(^ \ncaj) = 1: 17 0 : 69 (1:15)
log(precio) + 0: 06 (0:02)
edad + 0: 009 (0:003)
renta
Interprete los coeÖcientes estimados.
El coeÖciente estimado de la renta nos indica que, manteniendo constante el precio y la edad, un aumento de 1000 dÛlares en la renta anual aumenta el consumo estimado de cigarrillos en un 0 :9%. c2) Tenemos que contrastar
H 0 : 3 = 0: 01 H 1 : 3 < 0 : 01
El estadÌstico t es
t =
b 3 0 : 01
se(b 3 )
t 26 bajo H 0
El valor del estadÌstico de contraste en la muestra es t = 0 :^0090 : 003 ^0 : 01 = 0 : 33 y el p-valor del contraste es P rob(t 26 < 0 :33) = 0: 37 : Por tanto no hay evidencia suÖciente para aÖrmar que un aumento de 1000 dÛlares en la renta anual, manteniendo constante la edad y el precio, produce un aumento en el consumo de tabaco de menos del 1%.
- El siguiente modelo hace depender el rendimiento de la educaciÛn de la suma de los aÒos de educaciÛn del padre y la madre (pareduc)
log(wage) = 0 + 1 educ + 2 pareduc educ + 3 exper + 4 tenure + u
(a) Demuestre que el rendimiento de un aÒo m·s de educaciÛn en este modelo es 100( 1 + 2 pareduc) øQuÈ signo se espera para 2? øPor quÈ? (b) Usando los datos del Öchero WAGE2 del libro de Wooldridge, la ecuaciÛn estimada es
log(^ \wage) = 5 : 65 (0:13)
(0:010)
educ + 0: 00078 (0:00021)
pareduc educ + 0: 019 (0:004)
exper + 0: 010 (0:003)
tenure
n = 722 ; R^2 = 0: 169
NÛtese que solamente 722 observaciones tienen informaciÛn completa sobre la educaciÛn de los padres. Interprete el coeÖciente del tÈrmino de interacciÛn. Puede ser de ayuda elegir dos valores especÌÖcos para pareduc (por ejemplo, pareduc = 32 si ambos padres tienen formaciÛn universitaria y, pareduc = 24 si ambos padres tienen una educaciÛn secundaria) y comparar la estimaciÛn del rendimiento de educ.
(c) Cuando aÒadimos pareduc a la ecuaciÛn como variable separada, obtenemos
log(^ \wage) = 4 : 94 (0:38)
(0:027)
educ + 0: 033 (0:017)
pareduc 0 : 0016 (0:0012)
pareduc educ
+0: 020 (0:004)
exper + 0: 010 (0:003)
tenure
n = 722 ; R^2 = 0: 174
øEl rendimiento de la educaciÛn depende ahora positivamente de la educaciÛn de los padres? Contraste la hipÛtesis nula de que el rendimiento de la educaciÛn no depende de la educaciÛn de los padres.
SoluciÛn:
(a) El rendimiento de la educaciÛn , manteniendo constante exper; pareduc y tenure, es
@ log(wage) educ
= 100( 1 + 2 pareduc)
No est· claro cu·l ha de ser el signo de 2 , aunque si creemos que cuanto mayor es el nivel de educaciÛn de los padres, mayor es el rendimiento de un aÒo adicinal de educaciÛn para los hijos, tendrÌamos que 2 > 0. (b) Como el rendimiento de la educaciÛn depende de los aÒos de educaciÛn de los padres, calculamos el rendimiento para pareduc = 32 y pareduc = 24 : Si pareduc = 32; el rendimiento de la educaciÛn, manteniendo constante exper y tenure, es del 7 :2% (100(0:047 + 0: 00078 32)) y si pareduc = 24; el rendimiento de la educaciÛn , manteniendo constante exper y tenure, es del 6 :6% (100(0:047 + 0: 00078 24)). Por tanto la diferencia es de 0 : 6 puntos porcentuales. (c) No, ya que el coeÖciente de la interacciÛn es ahora negativo. El tÈrmino de interacciÛn no es estadÌsticamente signiÖcativo ya que el t-ratio es t = 1 : 33 y el p-valor es P rob(jt 716 j > 1 :33) = 0: 18 : La variable pareduc si es signiÖcativa. Este es un buen ejemplo de que omitir el efecto del nivel (la variable pareduc en este caso) puede dar lugar a una estimaciÛn sesgada del efecto de la interacciÛn. Siempre que se incluya una interacciÛn entre dos variables, debe incluirse tambiÈn las dos variables por separado en el modelo.
- Considere el siguiente modelo para explicar el porcentaje de aprobados en los ex·menes de matem·ticas en las escuelas de Michigan
math4 = 0 + 1 log(expend) + 2 log(enroll) + 3 lunch + u (1)
donde math 4 es el porcentaje de alumnos de la escuela que han aprobado el examen de matem·ticas, expend es el gasto total en dÛlares, enroll es el
El estadÌstico de contraste es
F =
R^2 = 3
(1 R^2 ) =(1823 3 1)
F 3 ; 1819 Bajo H 0
El valor del estadÌstico de contraste en la muestra es F = (^) (1 00 ::380)^380 ==^31819 = 371 : 62 y el p-valor es 0. Por tanto podemos rechazar H 0 a cualquier nivel de signiÖcaciÛn razonable y las variables del modelo son conjuntamente signiÖcativas. (c) Tenemos que contrastar
H 0 : 1 + 2 = 0 H 1 : 1 + 2 6 = 0
El modelo restringido es
math 4 = 0 + 1 log(expend) 1 log(enroll) + 3 lunch + u = 0 + 1 log(expend=enroll) + 3 lunch + u
(d) Si omitiÈsemos la variable lunch; como esta variable est· positivamente correlacionada con log(expend=enroll); y tiene un efecto negativo sobre el rendimiento escolar, cabe esperar que el coeÖciente estimado de log(expend=enroll) fuese menor que el que aparece en la ecuaciÛn (2).
- Considere el siguiente modelo para explicar el n˙mero total de hijos que ha tenido una mujer (children)
children = 0 + 1 age + 2 educ + 3 heduc + u
donde age es la edad de la mujer, educ son sus aÒos de educaciÛn y heduc son los aÒos de educaciÛn del marido.
(a) Utilice los datos del Öchero FERTIL2 del libro de Wooldridge para estimar el modelo y presente los resultados de la forma habitual. Interprete el coeÖciente estimado de age. (b) Calcule un intervalo de conÖanza al 95% para 1. (c) Una vez que hemos tenido en cuenta la edad de la mujer, contraste si un aumento de un aÒo en los aÒos de educaciÛn de la mujer tiene el mismo efecto sobre el n˙mero de hijos que un aumento de un aÒo en los aÒos de educaciÛn del marido. (d) Una vez que hemos tenido en cuenta la edad de la mujer, contraste la hipÛtesis nula de que ni los aÒos de educaciÛn del marido ni los de la mujer ináuyen en el n˙mero de hijos.
(e) Suponga ahora que la varianza del n˙mero de hijos depende de los aÒos de formaciÛn de la mujer, øQuÈ implicaciÛn tiene esto sobre los contrastes de los apartados anteriores? Razone la respuesta.
SoluciÛn:
(a) El modelo estimado es
children^ \ = 1 : 12 (0:188)
(0:0052)
age 0 : 078 (0:013)
educ 0 : 049 (0:011)
heduc
n = 1956 ; R^2 = 0: 402
Manteniendo constante los aÒos de formaciÛn del marido y de la mujer, un aÒo m·s de edad de la mujer supone, en media, un aumento de 0 : 16 en el n˙mero de hijos. (b) El intervalo de conÖanza al 95% para 1 es h b 1 t 1952 ; 0 : 025 se(b 1 ); b 1 + t 1952 ; 0 : 025 se(b 1 )
i
para esta muestra el intervalo de conÖanza al 95% es
[0: 1633 1 : 96 0 : 0052 ; 0 :1633 + 1: 96 0 :0052] = [0: 153108 ; 0 :173492]
(c) Tenemos que contrastar
H 0 : 2 = (^3) H 1 : 2 6 = (^3) para eso tenemos que reparametrizar el modelo. DeÖnimos = 2 (^3) y sustituimos 2 = + (^3) children = 0 + 1 age + 2 educ + 3 heduc + u = 0 + 1 age + ( + 3 ) educ + 3 heduc + u = 0 + 1 age + educ + 3 (educ + heduc) + u
DeÖniendo peduc = educ + heduc; el modelo reparametrizado es: children = 0 + 1 age + educ + 3 peduc + u y la hipÛtesis que tenemos que contrastar es
H 0 : = 0 H 1 : 6 = 0
El estadÌstico de contraste es t = 1 : 348 y el p-valor del contraste es 0 : 1777 : Por tanto, no podemos rechazar la hipÛtesis nula al 10%. No hay evidencia para aÖrmar que, una vez que hemos tenido en cuenta el efecto de la edad, los aÒos de educaciÛn del marido y de la mujer tengan distinto efecto sobre el n˙mero de hijos.
(e) Obtenga un intervalo de conÖanza al 95% para el cambio porcentual en los precios si se aÒade un dormitorio adicional de 150 pies cuadrados.
SoluciÛn:
(a) El modelo estimado es
log(^ \price) = 4 : 77 (0:097)
(0:000043)
sqrf t + 0: 029 (0:0296)
bdrms
n = 88 ; R^2 = 0: 588
(b) Si mantenemos Öjo el n˙mero de habitaciones, un incremento de 150 pies cuadrados en su superÖcie supone un incremento estimado en el precio de la vivienda del 5 :7% (100 0 : 00038 150 = 5:7). (c) Tenemos que obtener un intervalo de conÖanza al 95% para 100 150 1 = 15000^1 :^ Puesto que^ t^85 ;^0 :^025 = 1:^99 ;^ el intervalo de conÖanza es
[15000(0: 00038 1 : 99 0 :000043); 15000(0:00038 + 1: 99 0 :000043)] = [4: 42 ; 6 :98]
(d) Un incremento de un dormitorio de 150 pies cuadrados supone un incremento estimado en el precio de la vivienda del 8 :6% (100(0: 00038 150 + 0:029) = 8:6): (e) Para obtener el intervalo de conÖanza tenemos que reparametrizar el modelo. Sea = 150 1 + (^2) tenemos que 2 =^ ^ ^150 y substituyendo en el modelo tenemos que
log(price) = 0 + 1 sqrf t + ( 150 1 )bdrms + u = 0 + 1 sqrf t + bdrms 150 1 bdrms + u = 0 + 1 (sqrf t 150 bdrms) + bdrms + u
El modelo estimado es
log(^ \price) = 4 : 77 (0:097)
(0:000043)
(sqrf t 150 bdrms) + 0: 0858 (0:0268)
bdrms
n = 88 ; R^2 = 0: 588
y el intervalo de conÖanza es
[100(0: 0858 1 : 99 0 :0268); 100(0:0858 + 1: 99 0 :0268)] [3: 25 ; 13 :91]
- Consideremos un modelo en el que el rendimiento de la educaciÛn depende de la experiencia laboral (y viceversa):
log(wage) = 0 + 1 educ + 2 exper + 3 educ exper + u
donde wage es el salario mensual en cientos de dÛlares, educ son los aÒos de educaciÛn del individuo, exper son los aÒos de experiencia laboral.
(a) Demuestre que el rendimiento de un aÒo adicional de educaciÛn, manteniendo exper constante, es 100( 1 + 3 exper)
(b) EspeciÖque la hipÛtesis nula de que el rendimiento de la educaciÛn no depende del nivel de exper. øCu·l es la hipÛtesis alternativa adecuada? (c) Utilice los datos del Öchero WAGE2 del libro de Wooldridge para contrastar la hipÛtesis nula del apartado b frente a la alternativa propuesta. (d) Obtenga un intervalo de conÖanza al 95% para el rendimiento de la educaciÛn cuando exper = 10:
SoluciÛn:
(a) El rendimiento de un aÒo adicional de educaciÛn, manteniendo exper constante, es
@ log(wage) educ
= 100( 1 + 3 exper)
(b) La hipÛtesis nula es 3 = 0: Si creemos que hay una interacciÛn positiva entre educaciÛn y experiencia, en el sentido de que el efecto de los aÒos de educaciÛn sobre el salario aumenta con la experiencia, la hipÛtesis alternativa apropiada es 3 > 0 : (c) El modelo estimado es
log(^ \wage) = 5 :94 + 0: 044 (0:017)
educ 0 : 021 (0:020)
exper + 0: 0032 (0:0015)
educexper
n = 935 ; R^2 = 0: 135
El valor del estadÌstico de contraste en la muestra es t = 2: 095 y el p-valor es P (t 931 > 2 :095) = 0: 01825 , y por tanto podemos rechazar H 0 al 2%. (d) DeÖnimos = 1 + 10 3 ; y substituyendo 1 = 10 3 en el modelo tenemos que
log(wage) = 0 + ( 10 3 ) educ + 2 exper + 3 educ exper + u = 0 + educ + 2 exper + 3 educ(exper 10) + u
(c) El efecto marginal de hsize sobre sat es @sat @hsize
= 1 + 2 2 hsize
El tamaÒo Ûptimo se alcanza cuando 1 +2 2 hsize = 0; es decir cuando hsize = 2 12 : En base a los resultados del apartado a se estima que el tamaÒo Ûptimo es (^219) 2 :^81 : 13 = 4: 65 ; como la variable hsize esta medida en cientos de alumnos. el tamaÒo Ûptimo estimado es 465 alumnos. (d) Usando ahora log(sat) como variable dependiente, tenemos que
log(^ \sat) = 6 : 90 (0:0062)
(0:0040)
hsize 0 : 0021 (0:00054)
hsize^2
n = 4137 ; R^2 = 0: 0078
En base a estos resultados se estima que el tamaÒo Ûptimo es (^100 20) : 00196 : 0021 = 467 alumnos; casi el mismo n˙mero que el que obtuvimos en el apartado anteror.
- El siguiente modelo puede servir para estudiar si los gastos de campaÒa afectan a los resultados electorales:
voteA = 0 + 1 log(expendA) + 2 log(expendB) + 3 prtystrA + u
donde voteA es el porcentaje de votos del candidato A, expendA y expendB son los gastos de campaÒa de los candidatos A y B; y prtystrA es una medida de la fuerza del partido del candidato A:
(a) øCu·l es la interpretaciÛn de 1? (b) EspeciÖque, en tÈrminos de los par·metros del modelo, la hipÛtesis de que el efecto sobre el porcentaje de votos del candidato A de un incremento de un 1% en los gastos de campaÒa de A se ve compensado por un incremento de un 1% en los gastos de campaÒa de B: (c) Estime el modelo utilizando los datos del Öchero VOTE1 del libro de Wooldridge sobre los resultados electorales en 173 contiendas electorales entre dos partidos para las elecciones a la c·mara de representantes de Estados Unidos en 1988 y presente los resultados en la forma habitual. (d) øCÛmo afectan los gastos de campaÒa del candidato A a sus resultados electorales? øy los gastos de campaÒa de B?. (e) Contraste la hipÛtesis del apartado b frente a una alternativa bilateral utilizando un estadÌstico t. (f) Escriba el modelo restringido imponiendo la restricciÛn del apartado b. Estime dicho modelo y utilice un estadÌstico F para contrastar de nuevo la hipÛtesis del apartado b. øQuÈ relaciÛn hay entre el estadÌstico t del apartado e y el estadÌstico F que acaba de calcular?.
SoluciÛn:
(a) Manteniendo todos los dem·s factores Öjos un aumento de un 1% en los gastos de la campaÒa electoral supone un incremento de 0 : 01 1 puntos porcentuales en el porcentaje de votos del candidato A: NÛtese que como la variable de gasto en la campaÒa electoral est· en logaritmos, un incremento de un 1% en esta variable es aproximadamente equivalente a un incremento de 0 : 01 en log(expendA): (b) La hipÛtesis en tÈrminos de los par·metros de modelo es
H 0 : 1 + 2 = 0
(c) El modelo estimado es
voteA^ \ = 45 :1 + 6: 08 (0:382)
log(expendA) 6 : 62 (0:379)
log(expendB) + 0: 152 (0:062)
prtystrA;
n = 173 ; R^2 = 0: 7925
(d) Un aumento de 10% en los gastos de campaÒa del candidato A, manteniendo constante los gastos de campaÒa del candidato B y la fuerza del partido del candidato A; supone un incremento en el porcentaje de votos del candidato A de 0 : 608 puntos porcentuales. Un aumento de 10% en los gastos de campaÒa del candidato B, manteniendo constante los gastos de campaÒa del candidato A y la fuerza del partido del candidato A; supone una disminuciÛn en el porcentaje de votos del candidato A de 0 : 662 puntos porcentuales. (e) Para contrastar esta hipÛtesis tenemos que reparametrizar el modelo. Sea = 1 + 2 ; entonces 2 = 1 y substituyendo en el modelo tenemos
voteA = 0 + 1 log(expendA) + ( 1 ) log(expendB) + 3 prtystrA + u = 0 + 1 (log(expendA) log(expendB)) + log(expendB) + 3 prtystrA + u
Si deÖnimos d log(exp) = log(expendA) log(expendB); el modelo reparametrizado es
voteA = 0 + 1 d log(exp) + log(expendB) + 3 prtystrA + u
y la hipÛtesis es que tenemos que contrastar es ahora H 0 : = 0: Estimamos el modelo reparametrizado obteniendo los siguientes resultados
voteA^ \ = 45 :1 + 6: 08 (0:382)
d log(exp) 0 : 534 (0:533)
log(expendB) + 0: 152 (0:062)
prtystrA;
n = 173 ; R^2 = 0: 7925
(d) Contraste la hipÛtesis de que, teniendo en cuenta el nivel de educaciÛn y la experiencia laboral, ni los aÒos de educaciÛn del padre ni los de la madre ináuyen en el salario de los hijos. Compare este resultado con los resultados que ha obtenido en los apartados b) y c). (e) Contraste frente a una alternativa bilateral si, una vez que hemos tenido en cuenta el nivel de educaciÛn y la experiencia laboral, los aÒos de educaciÛn del padre y la madre tienen el mismo efecto sobre el salario de los hijos.
SoluciÛn:
(a) Los resultados de la estimaciÛn son:
log(^ \wage) = 5 :397 + 0: 0654 (0:0078)
educ + 0: 0115 (0:0056)
f educ + 0: 0117 (0:0063)
meduc + 0: 0234 (0:0038)
exper
n = 722 ; R^2 = 0: 158
(b) El coeÖciente estimado de f educ indica que, manteniendo Öjos los aÒos de educaciÛn, la experiencia laboral y los aÒos de educaciÛn de la madre, un aumento de un aÒo en los aÒos de educaciÛn del padre supone un aumento de un 1 :15% en el salario del hijo. Puesto que el p-valor del contraste de signifcatividad para esa variable es 0 : 038 la variable es signiÖcativa al 4%: (c) El coeÖciente estimado de meduc indica que, manteniendo Öjos los aÒos de educaciÛn, la experiencia laboral y los aÒos de educaciÛn del padre, un aumento de un aÒo en los aÒos de educaciÛn de la madre supone un aumento de un 1 :17% en el salario del hijo. Puesto que el p-valor del contraste de signifcatividad para esa variable es 0 : 064 la variable es signiÖcativa al 7%: (d) Tenemos que contrastar
H 0 : 2 = 3 = 0 H 1 : 2 6 = 0 y/o 3 6 = 0
Para hacer este contraste tenemos que imponer estas dos restricciones, estimar el modelo restringido y comparar las sumas cuadr·ticas del modelo restringido y no restringido mediante un estadÌstico F. El modelo restringido es
log(wage) = 0 + 1 educ + 4 exper + u
El estadÌstico de contraste es
F =
(SCRr SCRnr) = 2 SCRnr=(722 4 1)
F 2 ; 717 bajo H 0
donde SCRnr es la suma cuadr·tica residual del modelo no restringido y SCRr es la suma cuadr·tica residual del modelo restringido. Utilizando los resultados de la estimaciÛn del modelo no restringido y del modelo restringido tenemos que SCRnr = 106: 781997 y SCRr = 109: 073975 ; y por tanto
F =
El p-valor del contraste es P rob(F 2 ; 717 > 7 :69) = 0: 00049 y podemos rechazar la hipÛtesis nula a cualquier nivel de signiÖcaciÛn razonable: NÛtese que el p-valor de este contraste es mucho m·s pequeÒo que los p-valores de los contrastes de signiÖcatividad individual de las dos variables utilizados en los apartados anteriores. El motivo es que los aÒos de educaciÛn del padre y la madre est·n fuertemente correlacionados y por tanto los errores est·ndar de los coeÖcientes estimados de estas dos variables son relativamente grandes.
(e) Tenemos que contrastar
H 0 : 2 = (^3) H 1 : 2 6 = (^3)
para eso tenemos que reparametrizar el modelo. DeÖnimos = 2 (^3) y sustituimos 2 = + 3 en el modelo (1)
log(wage) = 0 + 1 educ + 2 f educ + 3 meduc + 4 exper + u = 0 + 1 educ + ( + 3 ) f educ + 3 meduc + 4 exper + u = 0 + 1 educ + f educ + 3 (f educ + meduc) + 4 exper + u
DeÖniendo peduc = f educ + meduc; el modelo reparametrizado que tenemos que estimar es:
log(wage) = 0 + 1 educ + f educ + 3 peduc + 4 exper + u
y la hipÛtesis que tenemos que contrastar es
H 0 : = 0 H 1 : 6 = 0
Utilizando los resultados de la estimaciÛn vemos que el p-valor del contraste es 0 : 98 y por tanto no podemos rechazar la hipÛtesis nula a ning˙n nivel de signiÖcaciÛn razonable. Concluimos que una vez que hemos tenido en cuenta el nivel de educaciÛn y la experiencia laboral, los aÒos de educaciÛn del padre y la madre tienen el mismo efecto sobre el salario de los hijos.
