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ACTIVIDAD CALIFICADA – T
TAREA
I. DATOS INFORMATIVOS:
Título : Ejercicios sobre inecuaciones lineales,
programación
lineal, límites, interpretación gráfica y métodos de
cálculo.
Tipo de participación : grupal (máximo de 4 participantes)
Plazo de entrega : Décima semana de clase (Semana 10)
Medio de presentación : Aula virtual / menú principal / T
Calificación : 0 a 20 – 15% del promedio final
II. EVIDENCIA DE APRENDIZAJE:
Desarrolla un trabajo práctico en el que se resuelve ejercicios y problemas sobre
Sistema de Inecuaciones Lineales, Optimización y límites de funciones elementales
vinculadas a su especialidad y afines.
III. INDICACIONES
Para el desarrollo del trabajo práctico se debe considerar:
- El contenido de los módulos 7, 8 y 9 revisados en la unidad.
- Condiciones para el envío:
El documento debe ser presentado en archivo de Ms. Word (.doc).
Graba el archivo con el siguiente formato:
T3_(nombre del curso)_Apellidos y nombres completos
Ejemplo: T3_Matemática básica _MMM
- Extensión del trabajo:
La extensión mínima será de 2 páginas (caras).
- Asegúrese de enviar el archivo correcto y cumplir con las condiciones de
envío, de lo contrario, no habrá opción a reclamos posteriores.
NOTA: Si el/la estudiante comete cualquier tipo de plagio su puntuación
automática será cero (0).
IV. ANEXOS:
- El trabajo práctico se desarrolla según el formato establecido:
El desarrollo de la solución de cada problema debe ser con orden y
claridad fundamentado con los conocimientos adquiridos.
Durante el desarrollo de solución de cada problema debe ser
preciso, coherente, bien organizado, fácil de comprender y
cuidadoso en la ortografía y redacción.
La respuesta de cada pregunta y/o ítem se muestra de forma
explícita, coherente con el desarrollo de cada problema.
V. RÚBRICA DE EVALUACIÓN:
La asignación del puntaje máximo a cada criterio es aplicable si este se cumple a
nivel satisfactorio. El docente del curso determina el puntaje de cada ítem de
acuerdo a su juicio de experto.
Cada pregunta presenta su respectiva rúbrica
PREGUNTA Nº 01
Grafica la
solución de
cada
inecuación del
SIL (por
separado)
usando un
punto de
prueba y una
tabulación
respectiva
(1 punto)
Elabora la
región
solución del
SIL mediante
un gráfico y lo
sombrea.
(1 punto)
Justifica
matemáticamente
el proceso para
hallar las
coordenadas de
los vértices de la
región solución
(1 punto)
Determina en una
tabla las
coordenadas de
todos los vértices
que conforman la
región solución del
SIL
(1 punto)
ítem a a b b
PREGUNTA 02:
Grafica la
solución de cada
restricción (por
separado)
usando un punto
de prueba y una
tabulación
respectiva.
(1 punto)
Forma la
región factible
mediante un
gráfico y lo
sombrea.
(1 punto)
Justifica
matemáticamente el
proceso para hallar
las coordenadas de
los vértices de la
región factible
(1 punto)
Determina las
coordenadas del
vértice que
maximiza la
función objetivo
(1 punto)
ítem a a b b
PREGUNTA 03:
Usa la notación de
límite y
fundamenta la
indeterminación
0/
(1 punto)
Encuentra el
valor del límite
haciendo uso de
la factorización.
(1 punto)
Usa la notación
de límite y
fundamenta la
indeterminación
0/
(1 punto)
Encuentra el
valor del límite
haciendo uso de
la racionalización
(1 punto)
ítem a a b b
{
2 x + y ≤ 30
3 x − 2 y ≤ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
Considerando la rúbrica de evaluación, determine:
a) La región solución mediante un gráfico.
b) Los vértices que conforman la región solución.
SOLUCIÓN
A) La región factible haciendo uso de las restricciones.
PARA HALLAR LA REGIÓN FACTIBLE DEBEMOS SEGUIR LO SIGUIENTE
Se localiza los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones del sistema.
2 x + y ≤ 30
2 x + y = 30
y = 30 − 2 x
3ª Punto de prueba (0,0)
⇒Tenemos (0,30) y (15,0)
4ª Se sombrea el punto elegido
3 x − 2 y ≤ 24
⇒ Ecuación
2 x + y ≤ 30
verdadero
⇒ Ecuación
x y
0 30
15 0
3 x − 2 y = 24
y =
− 24 − 3 x
3ª Punto de prueba (0,0)
⇒Tenemos ( 0 , − 12 ) y (8,0)
4ª Se sombrea el punto elegido
x ≥ 0 , y ≥ 0
3 x − 2 y ≤ 24
verdadero
x y
0 -
12
8 0
B) Los vértices que conforman la región solución.
PUNTO A:
{
2 x + y = 30
3 x − 2 y = 24
{
( 2 ) 2 x +( 2 ) y =( 2 ) 30
3 x − 2 y = 24
7 x = 84
x = 12
Hallamos y reemplazando em 2x+y=
2 ( 12 )+ y = 30
y = 30 − 24
y = 6
Así que el punto A seria así: (12,6)
Respuesta:
Vértices
que
conforman
la región
Solución
A= (12;6)
B= (0;30)
C= (0;0)
D= (8;0)
- (4 puntos) Sea la función objetivo P = 4 x + y
, sujeta a las restricciones:
28 x + 31 y ≤ 1148
¿ 28 x + 53 y ≤ 1764
¿ 56 x + 25 y ≤ 1704
x ≥ 0
y ≥ 0
Considerando la rúbrica de evaluación, determine
a) La región factible haciendo uso de las restricciones.
b) Las coordenadas del vértice que maximiza la función objetivo.
SOLUCIÓN
A) La región factible haciendo uso de las restricciones.
PARA HALLAR LA REGIÓN FACTIBLE DEBEMOS SEGUIR LO SIGUIENTE
Se localiza los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones del sistema.
28 x + 31 y ≤ 1148
28 x + 31 y = 1148
y =
1148 − 28 x
x y
3ª Punto prueba (0,0)
0 ≤ 1148 (V)
verdadero
4ª Se sombrea la región donde está el punto elegido
56 x + 25 y ≤ 1704
1ª 56 x + 25 y = 1704
y =
1704 − 56 x
x y
3ª Punto prueba (0,0)
(V)
verdadero
4ª Se sombrea la región donde está el punto elegido
x ≥ 0 , y ≥ 0
Se realiza la intersección de todos los semiplanos y el recinto que resulta es la solución
general o región factible.
B) Las coordenadas del vértice que maximiza la función
objetivo.
VERTICES P= 4x+y
A (0,33.283) P = 4 ( 0 )+33.283=33.
B (10,28) P = 4 ( 10 ) + 28 = 68
C (23.286,16) P = 4 ( 23.286 )+ 16 =109.
D (30.429,0) P = 4 ( 30. 429 ) + 0 = 121. 716 MAXIMIZA
E ( 0,0) P = 4 ( 0 )+ 0 = 0
D (30.429,0) maximiza la función objetivo.
- (4 puntos) Calcule los siguientes límites:
a.
lim
x→ 3
x
2
x
3
− x
2
− 6 x
(2puntos)
b.
lim
x → 0
√
x
2
2
− p
√ x
2
2
− q
(2puntos)
SOLUCIÓN:
A)
lim
x→ 3
x
2
x
3
− x
2
− 6 x
2
3
INDETERMINACIÓN
Para eliminar la indeterminacion se emplea el metodo de factorización :
lim
x→ 3
x
2
x
3
− x
2
− 6 x
lim
x → 3
( x + 3 )( x − 3 )
x ( x
2
− x − 6 )
lim
x → 3
( x + 3 ) ( x − 3 )
x ( x − 3 ) ( x + 2 )
( Se eliminanlos iguales )
lim
x → 3
( x + 3 )
x ( x + 2 )
B)
lim
x → 0
√
x
2
2
− p
√ x
2
2
− q
INDETERMINACIÓN
Se elimina la indeterminación :
lim
x → 0
√
x
2
2
− p
√ x
2
2
− q
lim
x → 0
√
x
2
2
− p
√ x
2
2
− q
×
√
x
2
2
√ x
2
2
×
√
x
2
2
√ x
2
2
lim
x → 0
√
x
2
2
2
−( p )
2
(√ x
2
2
2
−( q )
2
×
√ x
2
2
√ x
2
2
lim
x → 0
x
2
2
− p
2
x
2
2
− q
2
×
√
x
2
2
√
x
2
2
lim
x → 0
√
x
2
2
√ x
2
2
2 q
2 p
q
p
- (4 puntos) Una empresa dedicada a la venta de buzos en La Victoria, dispone para la
confección de 500 m de tela algodón y 520 m de tela poliéster. Cada pantalón del buzo
necesita 1 m de algodón y 2 m de poliéster; para cada casaca se necesitan 2 m de
algodón y 1 m de poliéster. La ganancia por cada pantalón es de S/ 9 y la ganancia por
cada casaca es de S/ 12. El fabricante sabe que sus máquinas en promedio demoran 4
minutos en confeccionar un pantalón y 10 minutos en confeccionar una casaca; él
promete entregar un pedido en una semana trabajando sus máquinas de lunes a viernes
8 horas diarias.
a) Modele la función objetivo y elabore el SIL para las restricciones.
b) ¿Cuánto será el pedido máximo de buzos (casaca y pantalón) que podrá entregar en
una semana de trabajo? ¿Cuánto será su ganancia máxima?
SOLUCIÓN:
A) Modele la función objetivo y elabore el SIL para las restricciones
Se necesita tomar incógnitas, donde:
x= número de pantalones
y= número de casacas
Así que la función objetivo viene a ser:
F ( x , y )= 9 x + 12 y
Elaboración del SIL-RESTRICCIONES
Datos: X (PANTALON) Y (CASACA) DISPONE
ALGODON 1 2 500
POLIESTER 2 1 520
TIEMPO 4 10 2400
*2400= (8 HORAS x 60 MINUTOS) 5 DIAS
{
x + 2 y ≤ 500
2 x + y ≤ 520
4 x + 10 y ≤ 2400
x ≥ 0
y ≥ 0
El número de “x” y “y” no pueden ser negativos por eso se pone como
restricción.
B) ¿Cuánto será el pedido máximo de buzos (casaca y pantalón) que podrá entregar en
una semana de trabajo? ¿Cuánto será su ganancia máxima?
3ª Punto prueba (0,0)
0 ≤ 520 (V)
verdadero
4ª Se sombrea la región donde está el punto elegido
4 x + 10 y ≤ 2400
1ª 4 x + 10 y = 2400
y =
2400 − 4 x
x y
3ª Punto prueba (0,0)
0 ≤ 2400 (V)
verdadero
4ª Se sombrea la región donde está el punto elegido
PUNTO D:
{
( x + 2 y = 500 ) (− 2 )
2 x + y = 520
{
− 2 x − 4 y =− 1000
2 x + y = 520
− 3 y =− 480
y = 160
Hallamos x reemplazando en x + 2 y = 500
x + 2 y = 500
x + 2 ( 160 )= 500
x + 320 = 500
x = 180
Así que el punto C seria así: (180,160)
Los puntos son: A= (0,0), B= (0,240), C= (180,160) , D= (100,200) y E= (260,0)
Valores de función objetivo en vértices.
VERTICES P= 9x+12y
A (0,0) P = 9 ( 0 ) + 12 ( 0 )= 0
B (0,240) P = 9 ( 0 ) + 12 ( 240 )= 2880
C (100,200) P = 9 ( 100 )+ 12 ( 200 )= 3300
D (180,160) P = 9 ( 180 )+ 12 ( 160 ) = 3540
E ( 260,0) P = 9 ( 260 )+ 12 ( 0 )= 2340
D ( 180,160) presenta un valor max. De 3540.
C)
Así que : ¿Cuánto será el pedido máximo de buzos (casaca y pantalón) que podrá
entregar en una semana de trabajo? ¿Cuánto será su ganancia máxima?
El pedido máximo que se puede entregar en una semana de trabajo es 180 pantalones y 160 casacas y
su ganancia máxima es de 3540 soles.
- (4 puntos) En la empresa IMAGE S.A. la función costo total de producción (en miles de
soles) es C(x), cuya regla de correspondencia está dada por: C ( x )=
9 x
2
x − 10
donde x es
el número de artículos producidos (en cientos) por la empresa.
a) ¿Cuál es el costo total de producción para 500 artículos?
b) Si la producción se aproxima a los 1000 artículos, ¿a qué valor se aproxima el costo
total?
SOLUCIÓN
A) COSTO DE PRODUCCCIÓN SE HALLA CON LA FUNCIÓN: C
x
9 x
2
x − 10
TE DICEN QUE HALLES DE 500 ARCTICULOS, DONDE x=NUMERO DE
ARCTIULOS EN CIENTOS, ES DECIR “x=5 CIENTOS DE ARTICULOS”
REEMPLAZAMOS:
C
x
9 x
2
x − 10
C ( x )=
2
C ( x )=
C ( x )=
El costo de la empresa es de 135 mil soles cuando la producción es de
500 artículos.
B) SI LA PRODUCCIÓN SE APROXIMA A LOS 1000 ARTICULOS, SE INFIERE
QUE “x=10 cientos de artículos”. Y para hallar aproximaciones de costo se da
así:
lim
x → 10
9 x
2
x − 10
2
INDETERMINACIÓN
Para eliminar la indeterminacion se emplea el metodo de factorización :
lim
x → 10
9 x
2
x − 10
¿. lim
x → 10
( x ¿¿ 2 − 100 )
x − 10
lim
x → 10
9 ( x + 10 )( x − 10 )
x − 10
¿ lim
x→ 10
c ( x )= lim
x → 10
9 ( x + 10 )= 9 ( 10 + 10 )= 180
Cuando se aproxima la producción a los 1000 artículos, el costo de la
empresa se aproxima a 180 mil soles.
