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Matemáticas Empresariales
Tema 1: Espacios Vectoriales
Universidad A . Rey Juan Carlos Matemáticas Empresariales Tema 1: Espacios Vectoriales u Universidad Rey Juan Carlos Idea e “Flechas” del plano Usadas para representar magnitudes “con dirección”: velocidad, fuerza... Se suman: regla del paralelogramo Se multiplican por un número: “prolongación” del vector + Espacio vectorial = conjunto con operaciones parecidas Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 2 Universidad Rey Juan Carlos Preliminares + Un cuerpo lk es un conjunto con suma, resta, multiplicación y división. + Ejemplos de cuerpos: R = números reales Q = números racionales (fracciones) C= números complejos (con parte real y parte imaginaria) + El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto de pares de elementos de esos conjuntos. RxR=R? =((x, y) x,yeR) Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 3 Universidad Rey Juan Carlos Definición . Definición: Un espacio vectorial sobre el cuerpo k es un conjunto Y con dos operaciones (una interna y otra externa) suma uv EV — Bu +veV EV 0 € le —Protncio escalas porvector > 77 e py 2 de modo que se satisfacen los siguientes axiomas: +v=v+4u Vu, veW =| D 2) A+ +W)=(10+V)+w Vu,v,weW 3) existe un vector 0 e Y tal que 0+v=v Vv eV 4) Wi eV Ai) eV tal que 7+(1)=0 Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 4 Universidad Rey Juan Carlos + Ejemplo: Consideramos el conjunto R? con las operaciones siguientes (5, 2).01. Y) ER”, (6,2) +01, 2) = (6 + 91,0 + y) 2eR,(x,1,)€R?, 20(x,x,) = (4x,,0). La tripla (R*,+,0) NO tiene estructura de R -espacio vectorial porque 106,2) = (3,0) 4 (3,2). e Teorema: Sea V un k -espacio vectorial, y €V, A e k. Entonces: . 0-7=0 . 4:0=0 . Chu=-4u . 4u=0=>4=067=0 Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales eo Universidad Rey Juan Carlos Combinación lineal de vectores e Definición: Si Ves un k -espacio vectorial, decimos que un vector we Y es una combinación lineal de %,,....v, €V si W=4 Y, +:::+4,*V, para algunos A A EX. + Ejemplo: En R* todo vector se puede escribir como combinación lineal de 7 =(1,0,0),7 =(0,1,0),£ =(0,0,1): v=(a,b,c)=a:i+b-¡+o-k. Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 8 eo Universidad Rey Juan Carlos Dependencia e independencia lineal * Definición: Sea Y un k -espacio vectorial y S=(7,---,77,) un subconjunto de V. La ecuación 2,1%, +-:-+4,1, =0 tiene al menos la solución trivial A ==:=4,=0. Si ésta es la única solución decimos que S es linealmente independiente. Si tiene más soluciones decimos que S es linealmente dependiente. + Ejemplo: El conjunto ((2,-1,0,3),(1,2,5,-1),(7,-1,5,8)) es linealmente dependiente en R*: 3-(2,-1,0,3)+1+(1,2,5,-1)+(=D)-(7,-1,5,8) =(0,0,0,0) Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales eo Universidad Rey Juan Carlos +. Ejemplo: el conjunto fF=0.0, 0). 7 =(0,1,0),% =(0,0,D)] es linealmente independiente en R*: A"(10,0)+4,-(0,1,0)+2,-(0,0,1)=(0,0,0)>-- (A, 4,4,)=(0,0,0) >4,=0,4,=0,4, =0. e Teorema: Sea V un espacio vectorial y S -- > (a,a+b,c)=(0,0,0) >a=b=c=0> lin. indep. Tenemos (2,3,5) =2(1,1,0) +1(0,1, 0) +5(0,0,1) 2,1 y 5 son las coordenadas de (2,3,5) en la base [(,1,0),(0,1,0),(0,0,D)) . Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 15 eo Universidad Rey Juan Carlos + Teoremas de las bases: * Detodo sistema generador finito se puede extraerse una base. = Si un espacio vectorial Y tiene una base con n vectores, todas las bases de Y tienen n vectores. Dimensión de un espacio vectorial * Definición: Sean [v,,....v,) una base de Y, decimos que Y tiene dimensión n y escribimos dim(V)=n. e Observación-convenio: Si V = (o) decimos que dim(7)=0. Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 16 Universidad Rey Juan Carlos Subespacios vectoriales * Definición: Sea Y un espacio vectorial y Y un subconjunto de Y . Decimos que W es un subespacio vectorial de Y si W tiene estructura de espacio vectorial con la suma y el producto heredados de Y . e Nota: La condición verdadera es que W herede la suma y el producto de Y. e Teorema: Sea V un k-espacio vectorial, W. dim(Z(S5))=1 Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 21 eo Universidad Rey Juan Carlos Subespacios vectoriales y sistemas homogéneos e Teorema: El conjunto de soluciones S de un sistema homogéneo de ,m ecuaciones con n incógnitas A A XA 0 5 olol=l3| 4x=B Am o Am A 0 e a es un subespacio vectorial de R”. e Observación: Rango( 4) = número de filas linealmente independientes = número de ecuaciones “no redundantes” del sistema = número de coordenadas no libres > Dim(S) =n—Rango(4) Matemáticas Empresariales — Tema 1 — Espacios Vectoriales 22 eo Universidad Rey Juan Carlos e Ejercicio: Dados los siguientes subespacio de R* S, =L((1,11),(2,2,2)) S, = ((x.X7,x5,x,) € R*] FM AFM x= 0, x), 041, =0,x, +4x, 2x1, 2x4 =0) *» obtener unas ecuaciones cartesianas de S, = E((11 1),(2,2, 2)) * Obtener una base y unas ecuaciones paramétricas de S,. e Ejercicio: Dado el subespacio generado por los vectores (1,1,1),(1,1,2).(0,0,1) hallar una base y unas ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio. 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