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ESPACIOS VECTORIALES REALES
Nociones previas
Antes de definir la estructura algebraica de espacio vectorial necesitamos conocer otras estructuras algebraicas, el grupo y el cuerpo.
- Un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto G de elementos
y una operación interna y cerrada ( +) que opera con los elementos del conjunto G y que
cumple las siguientes propiedades:
- Asociativa: ( a +b)+c=a+(b+c)=a+b+c, ∀a,b,c∈G.
- Existencia en G de elemento neutro: 0 +a =a+ 0 =a, ∀a∈G.
- Existencia del opuesto de cualquier elemento de G: ∀a ∈G, ∃(−a)∈G/a+(−a)= 0. Si además la operación es conmutativa: a + b=b+a, ∀a,b∈ G el grupo se denomina conmutativo o abeliano.
- Un cuerpo es una estructura algebraica formada por un conjunto K de elementos
y dos operaciones internas y cerradas, suma ( + )y producto interno ( ⋅) que verifican:
(K,+) tiene estructura de grupo. El producto interno verifica las siguientes propiedades:
- Asociativa: a ⋅b⋅c=( a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c), ∀a,b,c∈K.
- Distributiva respecto de la suma: a ⋅( b+c)=a⋅b+a⋅c, ∀a,b,c∈K.
- Existencia en K de elemento neutro: 1 ⋅a =a⋅ 1 =a, ∀a∈K.
- Existencia del inverso de cualquier elemento de K distinto del neutro de la suma: ∀ a∈K( a≠ 0 ),∃a−^1 ∈K/a⋅a−^1 =a−^1 ⋅a= 1.
Espacio vectorial
Es una estructura algebraica formada por :
- Un grupo conmutativo (V,+) cuyos elementos se denominan vectores.
- Un cuerpo conmutativo (K,+,⋅) cuyos elementos se denominan escalares.
- Un producto externo que opera un escalar (k∈K) con un vector (v∈V) dando como resultado un vector (k⋅v∈V). Cumple las siguientes propiedades:
- Distributiva respecto de la suma de vectores: k ⋅( u+v)=k⋅u+k⋅v, ∀k∈K, ∀u,v∈V.
- Distributiva respecto de la suma de escalares: ( k +k')⋅v=k⋅v+k'⋅v, ∀k,k'∈K, ∀v∈V.
- Pseudoasociativa: ( k ⋅k')⋅v=k⋅(k'⋅v), ∀k,k'∈K, ∀v∈V.
- El elemento neutro coincide con el neutro del producto del cuerpo K: 1 ⋅v =v, ∀v∈V. Ejemplos de espacios vectoriales
2 = {( , a b ) / a b, ∈ ℜ}es el conjunto de pares de números reales
3 = { ( , , ) /a b c a b c, , ∈ℜ}es el conjunto de ternas de números reales
n= { ( a 1 , a 2 , K, an ) / a 1 , a 2 , K ,an∈ ℜ} es el conjunto de n-tuplas o n-adas de
números reales
Propiedades de los espacios vectoriales
- El producto de un escalar por el vector nulo es el vector nulo: k ⋅ 0 = 0 , ∀k∈K.
- El producto del escalar nulo por cualquier vector es el vector nulo: 0 ⋅v = 0 , ∀v∈V.
- k ⋅( −v)=(−k)⋅v=−(k⋅v), ∀k∈K, ∀v∈V.
- Son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos igual al vector nulo es la que tiene todos los escalares nulos:
Si k 1 ⋅ v 1 +k 2 ⋅v 2 +K+kn ⋅vn= 0 ⇒k 1 =k 2 =L=kn= 0
Interpretación geométrica
En 2 hay infinitos pares de vectores linealmente independientes, basta que no sean
colineales (proporcionales). Tres o más vectores de 2 serán necesariamente linealmente dependientes.
En 3 hay infinitas ternas de vectores linealmente independientes, basta que no
sean coplanares. Cuatro o más vectores de 3 serán necesariamente linealmente dependientes.
Coordenadas de un vector
Si un vector v es combinación lineal de los vectores {v 1 , v 2 ,K ,vn},
v = k 1 ⋅v 1 +k 2 ⋅v 2 +K+kn ⋅v n,
las coordenadas de v respecto de los vectores {v 1 , v 2 ,K ,vn} son los escalares
{k 1 , k 2 ,K, kn}.
Propiedades
- Un conjunto de vectores linealmente independientes no puede contener al vector nulo.
- Un conjunto de vectores linealmente independientes no puede contener dos vectores iguales ni dos vectores proporcionales.
- Teorema de unicidad de las coordenadas: Si un vector v es combinación lineal de un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces las coordenadas de v respecto de esos vectores son únicas.
- Cualquier conjunto de vectores que contenga al
_ 0 será linealmente dependiente,
ya que
_ 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores
- Cualquier conjunto de vectores que contenga dos vectores iguales o dos vectores proporcionales será linealmente dependiente
Sistema generador y base de un espacio vectorial Sistema generador de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores
{v 1 , v 2 ,K ,vs}tales que todo vector de V sea combinación lineal de ellos:
∀v ∈V, v=k 1 ⋅v 1 +k 2 ⋅v 2 +K+ks ⋅v s Base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores que además de ser sistema generador son linealmente independientes.
Observaciones a la definición anterior Base = Sistema de referencia Puesto que una base es un sistema generador, todo vector del espacio queda precisado mediante sus coordenadas en relación a la base, al ser tal especificación única por ser los vectores de la base linealmente independientes (teorema de unicidad de las coordenadas).
La elección de una base equivale entonces a escoger un sistema de referencia con respecto al cual situar los elementos de dicho espacio.
Ejemplo
Dado el conjunto de vectores {( − 1 , 2 ),( 1 , 1 ),( 3 , 5 )}
a) Compruebe que es un sistema generador de ^2 b) Halle las coordenadas del vector (0,1) respecto de dichos vectores
c) Demuestre que {( − 1 , 2 ),( 1 , 1 )}es base de ^2
d) Halle las coordenadas del vector (0,1) respecto de dicha base Teoremas de las bases
- De todo sistema generador finito de un espacio vectorial V puede extraerse una base.
- Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces todo conjunto de n vectores linealmente independientes es base de V.
- Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces no pueden existir más de n vectores linealmente independientes en V.
Consecuencia 2 3 4
dim( ) 2 dim( ) 3 dim( ) 4
dim( n^ ) n
M
MATRICES Y ESPACIOS VECTORIALES
El rango de una matriz de orden n × m es un escalar r ≤ min{n ,m}que es igual al
orden del mayor determinante no nulo que podemos encontrar en la matriz.
Teorema El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores (filas o columnas) linealmente independientes que hay en la matriz.
Ejemplo
Calcular el rango de
A
Llamamos c 1 , c 2 ,c 3 ,c 4 a las cuatro columnas de la matriz. Si tomamos las dos primeras columnas vemos que todos los determinantes de orden dos que podemos formar son nulos:
21 42 =^0 , 31 62 =^0 , 41 82 =^0 , 43 86 =^0
Esto significa que c 1 y c 2 son linealmente dependientes, en concreto c 2 = 2 ⋅c 1. Vemos a continuación qué ocurre con c 1 y c 3 :
21 75 ≠^0 , luego ya sabemos que el rango va a ser al menos igual a dos y que los
vectores c 1 y c 3 son linealmente independientes.
Terminamos añadiendo c 4 :
= = = , por lo que el rango no ha subido a
tres y c 4 es combinación lineal de c 1 y c 3 ; en concreto, c 4 = c 1 +c 3. Entonces,
rango ( A)= 2. Aplicaciones prácticas del cálculo del rango
- Conocer el máximo número de vectores linealmente independientes que hay en un conjunto de vectores.
- Saber si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores dados. Ejercicio Averigüe si son base de 4 los siguientes vectores:
Ejercicio En el espacio vectorial 3 se consideran los vectores ( a, − 6 ,b),( 1 , 0 , 6 ),( 0 ,− 3 , 2 ).
Encuentre la relación que debe existir entre a y b para que los tres vectores sean linealmente dependientes.
Ejercicio Dados los vectores u 1 = ( 1 , 1 , 0 ),u 2 =( 0 , 2 , 1 ),u 3 =( 1 , 0 , 1 ),u 4 =( 2 ,− 3 , 1 ): a) ¿Son linealmente independientes? b) ¿Son sistema generador? c) ¿Forman base? d) Seleccione entre ellos una base y calcule las coordenadas respecto de ella del vector (2,-1,-3)
Ejemplo
{( 1 , 1 , 1 ),( 2 , 2 , 2 )}es un sistema generador del subespacio anterior pero no es una base.
Una base podría ser {( 1 , 1 , 1 )}o {( 2 , 2 , 2 )}.
Observación Todos los conceptos ya vistos en relación con los espacios vectoriales, tales como bases, coordenadas, etc, son extensibles a los subespacios vectoriales, ya que un subespacio vectorial no es más que un espacio vectorial dentro de otro.
Dimensión de un subespacio vectorial Dim(S) = Máximo número de vectores linealmente independientes que pueden encontrarse en S = Número de vectores de una base cualquiera de S
Dado que S ⊂V⇒ 0 ≤dim(S)≤dim(V)
Si dim(S) = 0
⇒ S = 0 _ y si dim(S) = dim(V) ⇒S =V
Si S = L( v 1 , v 2 ,L, vs )⇒dim(S)=rango(v 1 ,v 2 ,K.vs),
ya que {v 1 , v 2 ,K, vs}son un sistema generador de S.
Subespacios vectoriales y sistemas homogéneos El conjunto de soluciones x = ( x 1 , x 2 , K , x n) ∈ n de un sistema homogéneo AX = 0
con A ∈ Mm× n, X∈Mn× 1 , 0 ∈Mm× 1 y con m<n, es un subespacio vectorial de n
S = { x=( x 1 ,x 2 ,K, xn)∈ℜn/AX= 0 }es un subespacio vectorial de n.
Rango(A) = Número de ecuaciones no redundantes en AX = 0 = Número de filas en A que son linealmente independientes = Número de coordenadas que no están libres en los vectores de S. En consecuencia, tenemos que Dim(S) = Dim(V) – Rango(A)
Ecuaciones paramétricas y cartesianas de un subespacio vectorial
- Ecuaciones paramétricas → Ecuaciones cartesianas
S = L v( 1 , v 2 , K , vs ) = { x ∈ n/ x = k 1 ⋅ v 1 + k 2 ⋅ v 2 + K + k s ⋅ vs ,ki∈}
dim(S) = Rango (v 1 ,v 2 ,K,vs )=r≤s
Se verifica que ∀x ∈S, x es combinación lineal de la base {v 1 , v 2 ,K ,vr}, con lo que
rg (v 1 ,v 2 ,K, vr ,x)= rg(v 1 ,v 2 ,K,vr)= r. Haciendo que todos los determinantes de orden
r+1 sean nulos, se obtienen las ecuaciones cartesianas de S, es decir, el sistema homogéneo que caracteriza S.
Ejemplo Dado el subespacio L(( 1 , 1 , 1 ),( 2 , 2 , 2 )),
tenemos que 1 dim( ) 1 1 2
rg S y las ecuaciones paramétricas de S son
S = {x =( x 1 ,x 2 ,x 3 )/x= λ( 1 , 1 , 1 )}.
Podemos saber el número de ecuaciones cartesianas de S: Dim(S) = Dim(V) – Rango(A) ⇒ Rango(A) = 2 = número de ecuaciones cartesianas de S.
Para hallar las ecuaciones cartesianas de S formamos una matriz que contenga una base de S y un vector genérico ( x 1 ,x 2 ,x 3 ):
3
2
1
x
x
x rg todos los determinantes de orden dos han de ser nulos.
3 2 1 1 2
(^1) = − = =x −x = x x x x x
x {( , , )/ 0 , 0 }
⇒ S= x 1 x 2 x 3 x 2 −x 1 = x 3 −x 1 =
b) Obtenga una base y las ecuaciones paramétricas de S 2 Ejercicio Dado el subespacio generado por los vectores ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 1 ), halle una base y
las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio.
