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Asignatura: estadistica, Profesor: Miguel Ángel Álvarez Espinosa, Carrera: Economía, Universidad: UAM
Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
HORRA NAVARRO, Julián, capítulo 4 y 5 CAO ABAB, R. et al., capítulo 4 y 5 CASAS SÁNCHEZ, J.M.; SANTOS PEÑA, J., capítulo 1 y 2
Desigualdad de Independencia Chebyshov V. aleatorias bidimensionales
Modelos de distribución
Momentos de las Concepto distribuciones
En el capítulo anterior hemos desarrollado los conceptos básicos de la probabilidad sobre los resultados de un experimento aleatorio. Los experimentos aleatorios pueden dar lugar a resultados de naturaleza cuantitativa o cualitativa (números o categorías de una variable, respectivamente).
Ejemplo de experimentos aleatorios cuantitativos:
Ejemplo de experimentos aleatorios cuantitativos:
Desigualdad de Independencia Chebyshov V. aleatorias bidimensionales
Modelos de distribución
Momentos de las Concepto distribuciones
Cuando trabajamos con resultados cualitativos de un experimento aleatorio, es de gran utilidad asignar un valor numérico a cada resultado del espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio analizado. Esta relación entre los sucesos del espacio muestral y el valor numérico que se le asigna la establecemos mediante la variable aleatoria (V.A.).
Ejemplo de variable aleatoria:
Supongamos un experimento aleatorio que consiste en lanzar dos monedas al aire (C = cara, X = cruz).
Sucesos elementales de E = { XC , XX , CC , CX }
Si definimos la variable aleatoria X cono el número de caras que aparecen al lanzar las dos monedas podemos establecer la siguiente correspondencia entre los sucesos del espacio muestral (E) y los posibles valores de X:
Sucesos Función V.A. Posibles valores de la V.A. A 1 = XC X( A 1 ) = X( XC )= 1 A 2 = XX X(Ai) X( A 2 ) = X( XX ) = 0 A 3 = CC número de caras X( A 3 ) = X( CC ) = 2 A 4 = CX X( A 4 ) = X( CX ) = 1
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Momentos de las Concepto distribuciones
Se dice que una V.A. es discreta si puede tomar un número finito o infinito, pero numerable, de posibles valores.
Ejemplo de V.A. discreta:
Número de llamadas recibidas en una centralita, número de goles marcados en un partido, número de valores pares al lanzar un dado dos veces… Si llamamos X a la V.A., entonces X puede tomar cualquiera de los valores X = 0 , 1 , 2 , 3 …
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Momentos de las Concepto distribuciones
Se dice que una V.A. es continua si puede tomar un número infinito (no numerable) de valores, o bien, si puede tomar un número infinito de valores correspondientes a los puntos de uno o más intervalos de la recta real.
Ejemplo de V.A. continua:
Ejemplos típicos de V.A. continuas son aquellos que hacen referencia a medidas físicas tales como tiempo, peso, longitud. Por ejemplo, si representamos por X es tiempo que dedica un alumno a hacer un examen cuya duración máxima es de dos horas, entonces tenemos una V.A. que puede tomar infinitos valores en el intervalo [0,120] (medida la V.A. X en minutos).
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Representación gráfica de una función de cuantía de X :
Por tanto, vemos que la función de cuantía es una función que indica cuál es la probabilidad de que la V.A. tome cada uno de sus posibles valores.
El campo de variación de la V.A. es el conjunto de xi para los cuales existe probabilidad.
P(X=xi)
xi
0,
0,
0,
0,
1,
0 1 2
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Momentos de las Concepto distribuciones
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La V.A. continua se estudiará de forma diferente al caso discreto, ya que en este caso no podemos asignar probabilidad a cada uno de los infinitos valores de la variable. Esto tiene una implicación muy importante: la probabilidad de que una V.A. continua tome un valor concreto es NULA→ P( X = xi )=0.
Esto no implica que el suceso xi sea imposible, sino que su probabilidad es infinitesimalmente pequeña y puede ser despreciada.
Ejemplo:
Sabiendo que un autobús puede llegar entre las 10.00 y las 10.10, ¿cuál es la probabilidad de que el autobús llegue a las 10 horas, 3 minutos, 3 décimas, 4 centésimas, 7, milésimas, 5 diez- milésimas? Esta probabilidad es tan pequeña, tan precisa, que puede ser despreciada.
Por ello, en el caso de las V.A. continuas nos fijaremos en la probabilidad de un intervalo.
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Recordemos de Estadística Descriptiva lo que representaban los histogramas de frecuencias relativas.
Ejemplo: Distribución de frecuencias relativas de los tiempos de llegada entre dos coches de un total de 100 coches a una gasolinera
Intervalo de tiempo (min.) nº de coches frecuencia relativa
0<X≤ 1 10 0, 1<X≤ 2 20 0, 2<X≤ 3 30 0, 3<X≤ 4 20 0, 4<X≤ 5 10 0, X>5 10 0,
100 1,
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En estadística descriptiva estudiábamos la información de las variables estadísticas obteniendo su correspondiente distribución de frecuencias así como una serie de medidas resumen tales como la media, mediana, moda, varianza, etc. que sintetizaban la información de la variable, pudiendo establecer comparaciones entre distintas distribuciones.
En este curso nos encontramos en una situación análoga, ya que toda la información sobre una V.A. X está recogida en su función de probabilidad P(X) o en su función de densidad f(x) según se trate de variables discretas o continuas, respectivamente. Pero en muchas ocasiones hay que realizar comparaciones entre dos o más distribuciones de probabilidad y éstas son más fáciles de realizar mediante valores característicos de las V.A., que directamente con sus distribuciones de probabilidad.
Por ello, y de forma similar a la estadística descriptiva, estudiaremos algunas características de las V.A., como la media o la varianza.
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