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Asignatura: Cálculo infinitesimal, Profesor: , Carrera: Matemáticas, Universidad: US
Tipo: Apuntes
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“Las matem´aticas tienen un triple fin. Deben suministrar un instrumento para el estudio de la naturaleza. Pero eso no es todo; tiene un fin filos´ofico y, me atrevo a decirlo, un fin est´etico. Deben ayudar al filosofo a profun- dizar las nociones de n´umero, de espacio, de tiempo. Y, sobre todo, sus adeptos encuentran en ellas goces an´alogos a los que proporcionan la pin- tura y la m´usica.”
Henri Poincar´e
Como ya comentamos en la introducci´on del Tema II, el concepto de funci´on tal como hoy lo entendemos se introduce por la necesidad de su estudio como ente aut´ono- mo, m´as precisamente del estudio de algunas de sus propiedades como la continuidad y la derivabilidad. El tema que nos ocupa lo vamos a dedicar a la continuidad y, para ello, adoptaremos un punto de vista local: definiremos que entendemos por que una funci´on sea continua en un punto para, a continuaci´on, decir que es continua en un conjunto cuando lo es en todos sus puntos.
La definici´on que vamos a utilizar se debe a Karl Weirstrass (1815-1897) y es la que podeis encontrar en la mayoria de los textos. Est´a definici´on se basa en el concepto de l´ımite de una funci´on introducido por Cauchy
“Cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan inde- finidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de ´el en tan poco como queramos, este ultimo valor se llama el limite de todos los dem´as”
A. Cauchy
Como observa Poincare en la cita que he elegido para iniciar este tema, a los ma- tem´aticos nos preocupa que nuestro saber se exprese de forma rigurosa y bella. Con ese objetivo a principios del siglo XX se desarrollo una nueva rama de las Matem´ati- cas, La Topolog´ıa, en que, entre otros, se formalizaron los conocimientos acerca de las funciones continuas. El tema lo vamos a iniciar con una secci´on dedicada a introducir algunas nociones de topolog´ıa, aunque en el segundo cuatrimestre vais a estudiar una asignatura en que estas se os explicar´an con m´as detalle y generalidad.
Definici´on 1. Sea A ⊂ R y a ∈ R.
Supongamos que para todo δ > 0 se tiene (a, a + δ ) ∩ A 6 = 0. Se dice que el/ l´ımite por la derecha de f en a es ∈ R, y escribiremos l´ımx→a+ f (x) = l, si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x − a < δ entonces | f (x) −| < ε.
Supongamos que para todo para todo δ > 0, (a − δ , a) ∩ A 6 = 0. Se dice que el/ l´ımite por la izquierda de f en a es ∈ R, y escribiremos l´ımx→a− f (x) = l, si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < a − x < δ entonces | f (x) −| < ε.
TEOREMA 8. Son equivalentes:
Demostraci´on: Probemos la parte no trivial. Supongamos que existen l´ım x→a+ f (x) = l´ım x→a− f (x) = `. Dado ε > 0 existe δ 1 > 0 tal
que si a < x < a + δ 1 entonces | f (x) − | < ε, y existe δ 2 > 0 tal que si a − δ 2 < x < a entonces | f (x) −| < ε. Sea δ = m´ın{δ 1 , δ 2 }. Si 0 < |x − a| < δ entonces | f (x) − `| < ε.
Relaci´on con los l´ımites de sucesiones El siguiente teorema establece una relaci´on entre los l´ımites de sucesiones y los l´ımites de funciones que ser´a muy ´util
TEOREMA 9. Sea f : A ⊂ R → R, y a un punto de acumulaci´on de A. Entonces l´ım x→a f (x) = , sii para cualquier sucesi´on (xn) con xn 6 = a para todo n ∈ N tal que l´ım n→∞ xn = a se tiene l´ım n→∞ f (xn) =.
Demostraci´on: Supongamos que l´ım x→a f (x) = `. Entonces, por definici´on de l´ımite, para todo ε > 0
existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces | f (x) − `| < ε. Sea (xn) una sucesi´on tal que xn 6 = a y l´ım n→∞ xn = a. Entonces existe n 0 ∈ N tal que
si n > n 0 entonces 0 < |xn − a| < δ. As´ı | f (xn) − | < ε y hemos demostrado que l´ım n→∞ f (xn) =.
Rec´ıprocamente, supongamos que l´ım n→∞ f (xn) = ` para toda sucesi´on (xn) con xn 6 = a
y con l´ım n→∞ xn = a. Si no fuese l´ım x→a f (x) = ` existir´ıa ε > 0 tal que para todo δ > 0 existe
x con 0 < |x − a| < δ y | f (x) − | ≥ ε. En particular, para todo n ∈ N existe xn con 0 < |xn − a| < 1 /n pero | f (xn) −| ≥ ε. As´ı la sucesi´on (xn) converge claramente hacia a pero la sucesi´on ( f (xn)) no converge hacia `.
Ejemplos
l´ım x→ 0
sen x x
l´ım x→ 0
log( 1 + x) x
El l´ım x→ 0
sen
x
no existe.
l´ım x→ 0
x sen
x
Propiedades de los l´ımites de funciones
PROPOSICI ON´ 10. a) El l´ımite si existe es ´unico.
b) Supongamos que l´ımx→a f (x) = l y que existe δ > 0 tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a − δ , a + δ ). Entonces l ≥ 0.
c) Supongamos que l´ımx→a f (x) = l, l´ımx→a g(x) = l y que existe δ > 0 tal que f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ (a − δ , a + δ ). Entonces l´ımx→a h(x) = l
L´ımites infinitos y l´ımites en el infinito
Definici´on 11. Sea f : A ⊂ R → R y a un punto de acumulaci´on de A. Se dice que f tiende hacia mas infinito cuando x tiende hacia a y se simboliza l´ım x→a f (x) = +∞ si para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ en- tonces f (x) > M. An´alogamente se define el l´ımite l´ım x→a f (x) = −∞.
Sea f : A ⊂ R → R y +∞ un punto de acumulaci´on de A. Se dice que f tiende hacia cuando x tiende a mas infinito y se simboliza l´ım x→+∞ f (x) = si para todo ε > 0 existe M > 0 tal que si x > M entonces | f (x) − | < ε. An´alogamente se define el l´ımite l´ım x→−∞ f (x) =.
Sea f : A ⊂ R → R y +∞ un punto de acumulaci´on de A. Se dice que f tiende hacia +∞ cuando x tiende a mas infinito y se simboliza l´ım x→+∞ f (x) = +∞ si para todo si para todo M 1 > 0 existe M 2 > 0 tal que si x > M 2 entonces f (x) > M 1. An´alogamente se definen los l´ımites l´ım x→+∞ f (x) = −∞ y l´ım x→−∞ f (x) = ±∞.
Algebra de l´^ ´ ımites
PROPOSICI ON´ 12. Sean f , g : A ⊂ R → R, a un punto de acumulaci´on de A y ambas funciones tienen l´ımite en a, donde a ∈ R ∪ {+∞} ∪ {−∞}.
a) Las funciones f + g y f .g tienen l´ımite en a y
l´ım x→a ( f + g)(x) = l´ım x→a f (x) + l´ım x→a g(x) l´ım x→a ( f g)(x) = l´ım x→a f (x) l´ım x→a g(x).
b) Si l´ımx→a f (x) 6 = 0 entonces
l´ım x→a
f (x)
l´ımx→a f (x)
Algebra de l´´ ımites
PROPOSICI ON´ 18. Sean f , g : A ⊂ R → R, a ∈ A, y ambas continuas en a a) Las funciones f + g y f .g son continuas en a
b) Si f (a) 6 = 0 entonces
f (x)
es continua en a
b) Las funciones elementales son continuas en sus dominios de definici´on.
PROPOSICI ON´ 19. Sean f : A ⊂ R → R, g : B ⊂ R → R a ∈ A, f (a) ∈ B. Si f continua en a y g continua en f (a), entonces g ◦ f es continua en a.
Demostraci´on: tenemos que probar que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ A y |x − a| < δ entonces |g ◦ f (x) − g ◦ f (a)| < ε..
(*) Sabemos, por ser g continua en f (a), que existe δ 1 > 0 tal que si y ∈ B y |y − f (a)| < δ 1 entonces |g(y) − g( f (a))| < ε.
(**) Por ser f continua en a, dado δ 1 > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ A y |x − a| < δ entonces | f (x) − f (a)| < δ 1.
Si tomamos y = f (x) de () y (*) se deduce lo que queremos probar.
Teorema de Bolzano
TEOREMA 20. Teorema de Bolzano Si f : [a, b] → R es continua y f (a) f (b) < 0 entonces existe al menos un x ∈ (a, b) tal que f (x) = 0.
Demostraci´on: Supondremos que f (a) < 0 < f (b). Caso de ser f (b) < 0 < f (a) la prueba es an´aloga. Consideramos el conjunto
A := {x ∈ [a, b] : f es negativa en el intervalo [a, x]}.
Veamos que A 6 = 0 /. En efecto, como f (a) < 0 y como f es continua en a existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ [a, a + δ ), luego [a, a + δ ) ⊆ A. Adem´as, como f (b) > 0 existe alg´un δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (b − δ , b] luego todos los puntos del intervalo (b − δ , b] son cotas superiores de A. Seg´un el axioma del supremo existe α = sup A. Se sigue del razonamiento anterior que a < α < b.
Veamos que f (α) = 0 descartando las posibilidades f (α) < 0 y f (α) > 0. Supon- gamos primero que f (α) < 0. Como f es continua en α, existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (α −δ , α +δ ). Ahora existe x 0 ∈ A tal que α −δ < x 0 ≤ α. Esto significa que f es negativa en el intervalo [a, x 0 ]. Pero si α < x 1 < α + δ entonces f tambi´en es negativa en el intervalo [x 0 , x 1 ] y por lo tanto f es negativa en el intervalo [a, x 1 ]. Esto significa que x 1 ∈ A y como x 1 > α esto contradice el hecho de ser α una cota superior de A. Supongamos ahora que f (α) > 0. Como f es continua en α existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (α − δ , α + δ ). Ahora existe x 0 ∈ A tal que α − δ < x 0 < α, pero esto significa que f es negativa en [a, x 0 ], lo cual contradice que f (x 0 ) > 0.
COROLARIO 21. Si f : [a, b] → R es continua y f (a) < c < f (b) entonces existe x ∈ (a, b) tal que f (x) = c.
Teorema de Heine Borel
TEOREMA 22. Teorema de Heine Borel Si f : [a, b] → R es continua existen d, c ∈ [a, b] tal que f (d) ≤ f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ [a, b]. Diremos que f alcanza el m´aximo en c y el m´ınimo en d.
Demostraci´on: vamos a hacer la prueba para el m´aximo, el caso del m´ınimo es an´alogo. En prime lugar probamos que f [a, b] est´a acotado superiormente. Lo haremos por reducci´on al absurdo.Si f [a, b]) no est´a acotado, entonces para todo n ∈ N existir´ıa xn ∈ [a, b] tal que f (xn) > n.Pero al ser [a, b] compacto existe una subsucesi´on conver- gente xnk → c ∈ [a, b]. Por continuidad tendr´ıamos f (xnk ) → f (c) lo que contradice que f (xnk ) > nk. Al estar f [a, b] acotado superiormente existe su supremo α ≥ f (x) para todo x ∈ [a, b]. Bastar´ıa probar que existe c ∈ [a, b] tal que α = f (c). Si α es el supremo de f [a, b]), por la caracterizaci´on del supremo, existe xn ∈ [a, b] tal que f (xn) → α. Al ser [a, b] compacto existe una subsucesi´on convergente xnk → c ∈ [a, b]. Pero por continuidad tendr´ıamos f (xnk ) → f (c) y por tanto f (c) = α.
COROLARIO 23. Si f : [a, b] → R es continua, entonces f ([a, b]) es un intervalo.
Demostraci´on: sean
m := m´ın
f (x) : x ∈ [a, b]
y
M := m´ax
f (x) : x ∈ [a, b]
Utilizando el corolario del teorema de Bolzano, se tiene que f ([a, b]) = [m, M].
Observaci´on 24. De la demostraci´on del Teorema de Heine-Borel se puede deducir que en su enunciado se puede cambiar la hip´otesis de que el dominio sea un intervalo cerrado y acotado acotado por la m´as general de que el dominio sea compacto.
TEOREMA 25. Si f : (a, b) → R es mon´otona creciente entonces existen los l´ımites laterales f (x 0 +), f (x 0 −) en cada punto x 0 ∈ (a, b). M´as precisamente,
f (x 0 −) = sup{ f (x) : a < x < x 0 } ≤ f (x 0 ),
f (x 0 ) ≤ ´ınf{ f (x) : x 0 < x < b} = f (x 0 +).
Adem´as, si a < x 1 < x 2 < b entonces
f (x 1 −) ≤ f (x 1 +) ≤ f (x 2 −) ≤ f (x 2 +).
Comentarios bibliogr´aficos
La cita de Poincare con la que se inicia el Tema est´a sacada de su ensayo H.Poincare, El valor de la ciencia. Ediciones KRK, 2008
Para el estudio de las propiedades del l´ımite he seguido el libro F. J. P´erez Gonz´alez. C´alculo Diferencial e Integral de Funciones de Una Variable. la ver- si´on online se puede consultar en www.ugr.es/ fjperez/textos/calculo-diferencial-integral-func-una-var.pdf
La propiedades de las funciones continuas en un intervalo se ha seguido el es- quema de R. Bartle y D. Sherbert , Introducci´on al An´alisis Matem´atico de una Variable.Editorial Limusa, 1984.
