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Mª Carmen Carollo-Pedro Faraldo
Boletín 4. Variable aleatoria. Variable aleatoria continua
Ejercicio 1.- Una variable aleatoria continua, X, tiene por función de densidad la siguiente:
0 enotrocaso
si 0 x 6 36
kx ( )=
2
f x
a) Encuentra k para que f(x) sea función de densidad. Representa ésta gráficamente. b) Halla la función de distribución de la variable X. c) Halla la media, la varianza y la desviación típica. d) Calcula las probabilidades siguientes: P (0< X 1); P(X > 3); P(X< 2); P(X 1’5).
Ejercicio 2.- Para establecer el precio a pagar por cada litro de leche, una central lechera ha dividido, atendiendo al contenido de materia grasa por litro en %, la leche recibida en su factoría, en tres categorías: Categoría l: contenido de materia grasa inferior al 4% Categoría 2: contenido de materia grasa entre el 4% y el 5% Categoría 3: contenido de materia grasa superior al 5% Por estudios anteriores, se sabe que el porcentaje de materia grasa por litro de leche procesado por esta empresa es una variable aleatoria, X, con la siguiente función de densidad:
f ( ) = x
2(6 - x) 9
si 3 < x < 6
0 en otro caso
Sabiendo que el precio de un litro de leche, pagado por esta empresa, es de 0.20 € para la categoría 1, 0.30 € para la categoría 2 y 0.40 € para la categoría 3, obténgase el precio medio del litro de leche pagado por la empresa láctea.
Ejercicio 3.- El diámetro del nido de una cierta especie animal es una variable aleatoria normal con media 20 cm. y desviación típica 0’1 cm. De estudios anteriores el nido se considera no anómalo si el diámetro está comprendido entre 19’804 cm. y 20’196 cm. a) Calcular el tanto por ciento de nidos anómalos. b) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 nidos haya alguno anómalo. c) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 40 nidos la décima parte o más sean anómalos.
Mª Carmen Carollo-Pedro Faraldo
Ejercicio 4.- En el ecosistema de los manantiales de Comal (EEUU) habita el escarabajo rifle, una especie en peligro de extinción. El tamaño de los machos es una variable normal de media 0.32 cm y de desviación típica 0.1 cm. El tamaño de las hembras tiene media 0.41cm y desviación típica 0.08 cm. a) Calcula la probabilidad de que un macho mida más de 0.6 cm. b) Calcula la probabilidad de que un escarabajo rifle mida más de 0.6 cm, si los machos representan un 53% de la población del escarabajo rifle. c) Si se toman 80 escarabajos rifle, calcula la probabilidad de que menos del 5% midan más de 0.6 cm.
Ejercicio 5.- En un estudio de la presión diastólica de una clase de enfermos del corazón se obtuvo, mediante larga experiencia, que la media de las presiones diastólicas es 90 mm. de Hg y la desviación típica es de 12 mm de Hg, siendo la población de presiones aproximadamente normal. a) Calcular la probabilidad de que la presión diastólica de un paciente del grupo difiera de la media en menos de 20 unidades. b) Determinar el valor de la presión diastólica tal que sólo el 5% de los pacientes tengan una presión diastólica superior a dicho valor.
Ejercicio 6.- En una estación agronómica se ha obtenido un tipo de semilla de maíz de calidad extra que germina en el 98% de los casos. El maíz se comercializa en bolsas de 500 semillas y se garantiza la germinación de un 96% como mínimo ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa no cumpla la garantía?
Ejercicio 7.- Se está realizando un estudio de reproducción controlada de una especie animal en peligro de extinción. Se sabe que la presentación de anomalías genéticas aparece con una probabilidad del 5%. Determinar un número de anomalías, de manera que se garantice que la probabilidad de no superar dicho número sea de al menos el 95%, en los casos siguientes: a) Un día en el que hay 5 reproducciones. b) Un día en el que hay 80 reproducciones. c) Un día en el que hay 900 reproducciones.
Ejercicio 8.- De acuerdo con un estudio publicado por un equipo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente el 49% de los consumidores de Valium en ese estado Norteamericano son directivos de empresas. Se seleccionan al azar 1000 consumidores de Valium en Massachusetts, ¿cuál es la probabilidad de que entre 482 y 510, ambos valores incluidos, sean directivos de empresa?
Ejercicio 9.- Un Biólogo comprobó que la probabilidad, de que al inyectar a una rata un determinado producto sobreviviera después de una semana, era de 0’5. Si el Biólogo inyectó el producto a un lote de 100 ratas, se pide calcular: a) Probabilidad de que vivan más de 65 ratas. b) Probabilidad de que vivan más de 40 y menos de 60. c) Probabilidad de que vivan menos de 30. d) Probabilidad de que vivan más de 45.
