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M
ATEMÁTICAS
II
Grado de Economía
U.D.I. Matemáticas para Economía y Empresa
Dpto. de Economía Aplicada
Facultad de CC. EE. y Empresariales
T
EMA
7.1:
O
PTIMIZACIÓN
C
ONDICIONADA
K
UHN
-T
UCKER Y
H
ESSIANO
O
RLADO
Max. o Min. F(x
1
,...,x
n
)
s.a.
h
1
(x
1
,...,x
n
)=0
M
h
m
(x
1
,...,x
n
)=0
g
1
(x
1
,...,x
n
)≤0
M
g
p
(x
1
,...,x
n
)≤0
Función Lagrangiana asociada a (I): L(x
1
,...,x
n
) = F(x
1
,...,x
n
) −
∑
=
m
i
nii
xxh
1
1
),...,(
λ
−
∑
=
p
i
nii
xxg
1
1
),...,(
µ
.
Las constantes auxiliares λ
1
,...,λ
m
, µ
1
,..., µ
p
se denominan multiplicadores de Lagrange asociados a (I).
Ó
PTIMOS
L
OCALES
C
ONDICIONADOS
MÉTODO DE LAGRANGE
Teorema 1.- (Condiciones necesarias de primer orden. Condiciones de Kuhn-Tucker.)
“Bajo ciertas condiciones de regularidad”, si (a
1
,...a
n
)∈IR
n
es un máximo (mínimo respectivamente) local del
problema (I) ⇒ ∈∃
pm
µµλλ
,...,,,...,
11
IR únicos tales que:
i) (a
1
,...a
n
) es punto crítico de la función de Lagrange.
ii) h
i
(a
1
,...,a
n
)=0 para todo i=1,2,…,m, y g
j
(a
1
,...,a
n
)≤0 para todo j=1,2,…,p.
iii) µ
j
·g
j
(a
1
,...,a
n
)=0 para todo j=1,2,…,p.
iv) µ
j
≥0, (µ
j
≤0, respectivamente) para todo j=1,2,…,p.
Además, para (a
1
,...a
n
),
pm
µµλλ
,...,,,...,
11
verificando i), ii), iii), iv) (candidato a máximo (mínimo) local de
(I)) para averiguar si (a
1
,...a
n
) es un óptimo de (I) aplicamos:
a) Si (a
1
,...a
n
) es máximo local de L(x
1
,...x
n
)
⇒
(a
1
,...a
n
) es un máximo local de (I).
b) Si (a
1
,...a
n
) es mínimo local de L(x
1
,...x
n
)
⇒
(a
1
,...a
n
) es un mínimo local de (I).
c) En otro caso, existe una "duda".
Algunos de los casos en los que existe una duda por el Teorema anterior (Apartado c)) pueden ser soluciona-
dos a través del siguiente resultado:
Problema de Optimización
Condicionada
(I)
Función Objetivo (se supone suficiente-
mente diferenciable)
p restricciones. (g
1
,...,g
p
se suponen
suficientemente diferenciables)
m restricciones. (h
1
,...,h
m
se suponen
suficientemente diferenciables)
