¡Descarga tema7 y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
PARTE III^ INFERENCIAPARTE III. INFERENCIA Conceptos básicos 1 Planteamiento^ del^ problema
:^ población^ y^ muestra
- Planteamiento del problema: población y muestra2. Pasos previos al proceso de inferencia:a. selección de los elementos de la muestrab definición de estadísticos y propiedadesb. definición de estadísticos y propiedades Inferencia sobre la media de una población 1 E ti^ ió^ t^
l 1.^ Estimación puntual2.^ Intervalos de confianza3.^ Tamaño de la muestra Inferencia sobre la proporción poblacional 1. Estimación puntual
Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
- Intervalos de confianza
Planteamiento del problema. Población y muestraUn operador de telefonía desea comercializar unUn operador de telefonía desea comercializar unnuevo tipo de tarjeta prepago. Quiere analizar: El gasto^ de^ los^ consumidores
en^ productos
prepago^ medido en gasto mensual medioprepago, medido en gasto mensual medio La^ proporción
de^ clientes^
de^ telefonía^
que
utilizan prepago.
Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
Planteamiento del problema. Población y muestra El objetivo es obtener una estimación del valor verdadero de losáparámetros poblacionales desconocidos Imposible realizar una medida directa del parámetro por razones decoste, rapidez, o destrucción de los elementos en el propio procesocoste, rapidez, o destrucción de los elementos en el propio procesode investigación. Se trata de determinar el parámetro a través delexamen de unos pocos elementos de la población: MUESTRALa inferencia estadística se define como la colección de técnicas que La inferencia^ estadística^ se^ define
como^ la^ colección^ de
técnicas^ que nos permiten inferir a la población los resultados obtenidos en lamuestra. Es^ imposible
hacer^ inferencias exactas
y^ seguras ,^ y d f^
d d^ d^ l^ f^ b l d d d
é por tanto definiremos una medida de la confiabilidad de éstas queexpresaremos^ en^ términos
de^ probabilidad;^
en^ otras^ palabras, vamos^ a^ hacer^
inferencias^ inseguras
y^ el^ grado^ de incertidumbre (posibilidad de error) vamos a medirlo con laprobabilidad
Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
Planteamiento del problema. Población y muestra
MUESTRA
POBLACIÓN
INFERENCIA A ESTUDIO
INFERENCIAESTADÍSTICAESTADÍSTICA Proceso por el cuál se utiliza lainformación^ de^ una^ muestrapara^ extraer^ conclusionessobre la población Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
S l^ ió^ d^
l^ l
d^ l
Selección de los elementos de la muestra
a. Selección de los elementos de la muestraMuestreo:^ proceso
mediante^ el^ cual
se^ seleccionan^
los
Muestreo:^ proceso
mediante^ el^ cual
se^ seleccionan^
los
elementos de una muestra.
Objetivo: seleccionar una muestra
que garantice con un coste razonable la representatividad de lapoblaciónpoblación.^ ^ Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S).
Si:
^ Cada elemento de la población tiene igualprobabilidad de ser extraído que el restoprobabilidad de ser extraído que el restoy por tanto cada muestra tiene la mismaprobabilidad de ser escogida que el restoprobabilidad de ser escogida que el restode las muestras.
Muestreo^ CON Muestreo^ CON reemplazamiento^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
En^ la^ realidad^ las^ muestras
se^ obtienen^ sin^ reemplazamiento
con^ objeto^ de^ que
Selección de los elementos de la muestra
En la realidad las muestras se obtienen sin reemplazamiento con objeto de queel^ mismo^ elemento^ de^ la^ población^ no^ aparezca^ repetido^ en
la^ muestra
(restaría^ representatividad
a^ la^ misma).^ Habitualmente
el^ tamaño^ de^ la población^ es^ muy^ grande
respecto^ del^ tamaño
de^ la^ muestra^ y^ en
este
población^ es^ muy^ grande
respecto^ del^ tamaño
de^ la^ muestra^ y^ en
este
contexto el muestreo sin reemplazamiento es equivalente al muestreo conreemplazamiento.En caso contrario: muestreo en población finitaS^ d^
bl^ ió^ 2 000 000 d
l^ t^ l^ i Supongamos que de una población con 2.000.000 de elementos seleccionamosuna^ muestra^ aleatoria
de^ tamaño^ 100.^
Vamos^ a^ comprobar
que^ es
prácticamente^ equivalente
utilizar un muestreo con reemplazamiento o sin reemplazamientoreemplazamiento.M est eo con^ eempla amiento
Muestreo sin reemplazamiento (^) (^1) ( ) ... 1 22000000 n P X^ P X^ P X ^ ^ ^
(^1) ( ) (^5 07) P X E ^ (^120000001) ^5 07 P X E Muestreo con reemplazamiento
Muestreo sin reemplazamiento 2000000 ^ ^ ^ (^5 07) P X E 219999991 5.27^07 P X E ^ (^10001999000) Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
Selección de los elementos de la muestra
Ejemplo. Supongamos que extraemos una muestra consumidores de telefoníamóvil, de tamaño n, con objeto de estimar la proporción de ellos que utilizanprepagop^ p g X ^1 v.a. que representa si el individuo 1 de la muestra utiliza prepago o no. Tomará elvalor 1 si utiliza prepago y el valor 0 en caso contrario^ a o^ s u^ ^ .......^ X X X^ X ^ ^ ^1 2 n X
a p^ pago y^ a o^0
aso^ o^ a o v a^ que representa si el individuo n de la muestra utiliza prepago o no
Tomará el X n v.a. que representa si el individuo n de la muestra utiliza prepago o no. Tomará elvalor 1 si utiliza prepago y el valor 0 en caso contrarioUna vez que cada individuo de la muestra nos diga si utiliza
o no tarjeta prepago^ la muestra se Una vez que cada individuo de la muestra nos diga si utiliza, o no, tarjeta prepago,
la muestra se convertirá en una sucesión de 1`s y 0
´s y deja de ser una variable aleatoria.^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
Definición de estadísticos y propiedades
b. Definición de estadísticos y propiedades.Estadístico^
í^
ó
Estadístico.^
Un estadístico es un resumen de la información muestral. Es función de la muestra y por tanto es una
variable
aleatoria^ que^ puede
tomar^ tantos^ valores
como^ posibles^ muestras
aleatoria^ que^ puede
tomar^ tantos^ valores
como^ posibles^ muestras podamos seleccionar de la población
n x Media de la muestra
xi (^1) i x n Varianza de la muestra
n^2 x^ x ^ i 2 1 i S^11 n n xi Proporción muestral
^1 i^ p n Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
Definición de estadísticos y propiedades
Resultado 2: La varianza de la media muestral
,^ es igual a la varianza de la población dividida por el tamaño de la muestra^ ^
(^2) (^2) Var x x n La varianza de la mediamuestral disminuye conforme n aumenta el tamaño de laaumenta el tamaño de lamuestra se^ llama^ error^ de^ muestreo
o^ error^ estándar^
de^ la
x media^ y mide la variabilidad de la media muestral^ media^ y^ mide^ la^ variabilidad
de^ la^ media^ muestral n^ (ERROR TÍPICO EN EXCEL)^ Lo que varía la media muestralde una muestra a otra
Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
Definición de estadísticos y propiedades
Resultado 3: Si la población es normal,
ñ
, (^) x N n
para cualquier tamaño muestralResultado 4: Si la población de la que se obtiene la muestra
n
Resultado 4: Si la población de la que se obtiene la muestraNO es Normal y siempre que n >30, el Teorema Central delLímite permite establecer la normalidad de la media muestraly utilizar el resultado 3y utilizar el resultado 3.
Distribución deprobabilidad de lamedia muestral^ x Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
ó^ ó^
ó
Estimación por intervalos de la media de una poblaciónLimitación de la estimación puntual: no proporciona ninguna informaciónacerca del error que podemos cometer al estimar por este procedimiento. El método de^ estimaciónestimación
porpor^ intervalosintervalos^ de confianza resuelve el
^ El método de^ estimaciónestimación
porpor^ intervalosintervalos^ de confianza resuelve el
problema.^ Este^ método
proporciona^ la^ probabilidad
de^ error, t^ di^ d^ b bilid d
d^ l^
t j^ d^ t entendiendo por probabilidad de error el porcentaje de muestras queestiman “mal”. A cambio, el método no es tan preciso como la estimación puntual. Enlugar^ de^ asignar^
un^ valor^ único^ como
estimación^ de^ la
media
desconocida, proporciona infinitos valores: todos los de un
intervalo. Intervalo= media muestral
±^ Margen de error^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
Estimación por intervalos de la media de una población¿Cómo determinamos el margen de error?Basándonos en:^ ^ ^ ,^ ^^ x^ N^ ^ n ^
Como^ σ^ será^ habitualmente desconocida, y siempre que n >
n^
y^ p^ q 30, podemos sustituir^ σ^ por S,(desviación típica de la muestra) Los intervalos de confianza que vamos a determinar se basan en tamañost^ l^
muestrales mayores que 30
Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
Estimación por intervalos de la media de una poblaciónEl 99% de todas las medias estarán a una distancia igual ade la verdadera media poblacional, lo que permite
2.57 n construir un intervalo
de valores para la media de la población como:
^
^ ^ ^
^
2.57^ 2.57xx n
n ^
nn Nivel deconfianza del
Distribución deprobabilidad de^ x confianza delintervalo
x
^ 2.57^ 2.57nn^
2.57x
n^ 2.57x^
n^ n^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
5 n
Distribución de^ x^ ^ ^ ^ ^ ^ , x N^ ^ ,^ ^ n^ ^ ^ 1, 96x n
1, 96x 0, 95n 0 955 (^2) x n
(^2) x n 0, 955 0 , 9 9 ^ 2.57x n
2.57x n 0 9 9 70 , 9 9 7 ^3 x n
(^3) x n
