1
Tema 8
Análisis de Sensibilidad
Ramón Álvarez-Valdés,
Departament d’Estadística i Investigació Operativa
Universitat de València
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Sensibilidad en el método simplex: cambios en términos, matriz A y restricciones. - Prof. , Apuntes de Matemáticas
En este documento se analiza el proceso de sensibilidad en el método del simplex mediante el análisis de cambios en el vector de términos independientes, matriz a y restricciones. Se explican los efectos de estos cambios en la solución óptima y cómo recuperar la identidad de la base utilizando el método de las dos fases.
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
1 / 31
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Tema 8Análisis de Sensibilidad Ramón Álvarez-Valdés,Departament d’Estadística i Investigació Operativa Universitat de València
Introducción
- En la mayor parte de las aplicaciones
prácticas de la Programación Lineal
- Por tanto, es importante poder determi
nar la nueva solución óptima,
- Por otra parte, a veces las restriccio
nes del problema no son totalmente rígid
as
- En estos casos, interesa saber cómo af
ectarían a la solución óptima
- El estudio del cambio en la solución óptima cuando cambian elementos del probl
ema
- Estudiaremos diversos aspectos:
- cambio en el vector de costes
c
los datos no se conocen con exactitud, s
ino que se estiman cuando se conocen datos más precisos, si
n volver a resolver desde el principio sino que pueden modificarse posibles cambios en los elementos
del problema: costes, RHS,... se conoce como Análisis de Sensibili
dad
- Supondremos que hemos resuelto óptimamente el problema original:
Min^ cx. s a^ =^ Ax^ b^0 ≥^ x
- cambio en el vector de términos in
dependientes^ b
- cambio en la matriz
A
- adición de una nueva variable - adición de una nueva restricción
1.- Cambio en el vector de costes \
2.-^ es básica xk^ cambios en
y en todos los
: →^
j z^
z 1 1 ( )
1 (0, 0,..,^ , 0,.., 0) j^ j^ B^ j j^ B^ j^
j^ k^
k^ j j^ j^ k^ k^
kj z^ c^ c B^ a
c^ c B^ a^
c^ c^
c^ B^ a z^ c^ c^ c^ −^ −^ y
−
′^ ′^
′ −^ =^ −
=^ −^
+^ −^
= ′= − + −^
yj
(^ )^ (^
(^ )^ (^
)^ (^ )
En particular, para
:
0 ′^ ′^ ′^
′ =^ −^ =
−^ +^ −
= ′
′ =^ −^ +^
−^ +^ −
= k^ k^ k^ k^
k^ k k k k^ k^ kk^ k^
k
j^ k^ z^ c^
z^ c^ c^ c z^ c^ c^
c^ y^ c^ c 0 1 ( )
1 La función objetivo:
− ′ (^) ′^ ′= = =^ +^ − B B^ B^ k^
k^ k z^ c B^ b^ c b
c b^ c^ c b
Cuando actualizamos los
:^ si^
:^0
entra en la base si^ :^
0 la solución contin
úa siendo óptima
′^
′ −^ ∃^
−^ >^ → ′∀ − ≤^ → j^ j^
j^ j^
j j^ j z^ c^ j z^ c^
x j^ z^ c
5
Ejemplo de cambio en el vector de costes 2 Min x x^ x − + − 1 2 3. 6 s a x x^ x + +^ ≤ 1 2 32 4 x x − + ≤ 1 2 , ,^0 x x x^ ≥ 1 2 3 1 2 3 4
5 2 -1^45
Base^ x^ x^ x^^ -1^2
x^ x^ RHS x x^
,^ ,^ ,^ ,^
Min^ x^ x x s a^ x^ x −^ +^ −^ x^ x^ +^ +^ +^ x^ x^ x x^ x^ x^ x^ x
−^ +^
+^ = ≥
Resolvemos el problema en la tabla del s
implex: 0 -3^15
-1^ -2^0
x x
óptimo:^ *^
(6, 0, 0),^ *^ =^
= − x^
z
1 2 3
4 5 (^0 )
-1^1 0 3 0
0 Base^ x^ x^
x^ x^ x^
RHS
x x^
Ejemplo de cambio en el vector de costes \
1 1
2.^ Supongamos que cambiamos
2 por^
′^0
−^
= −^ = c c 1 2 3
4 5 0 -3^15
-1^ -2^0
Base^ x^ x^ x^^0 3
x^ x^ RHS x x^
-1^ -2^35
0 -1^0
-1^2
Como^ es básica, cambia toda la primer^1 x x
a fila de la tabla x ′ ′^0 z c − =^1
(^ ( )
)^1
j^ j^ j^ j^
k^ k^ j z^ c^ z^ c ′^ ′^ c^ c^ y −^ =^ −^ +^ −
1
1 1 fila de^ multiplicada por
′^2 −^ =
x^
c^ c óptimo:^ *^ (0, 0, 6),
*^6 = = − x z
Límites de variación de los costes: 1. no básica:− xk^ (^
k^ k^ k^
k^
k^ k
z^ c^ z^
c^ c^
z^ c^ c
′− =^ −^ − ∆
≤^ →^
−^ ≤^ ∆^ ≤ +∞
2.^ básica:−^ xk^ (
)^
j^ j^ j^
j^ kj^
j^ j^ kj
z^ c^ z^
c^ c y^
z^ c^ y^
c
′^ −^ =^ −^
+ ∆^ ≤^ →
−^ ≤ −^
∆^ z^ cj^ j si 0 :^ y kj kj
− c y
−^ >^
−^ ≥ ∆^ z^ c^ − j^ j si 0 : y ckj^ ykj
−^ <^
−^ ≤ ∆
Por tanto:^
max^
:^0
min^
:^0
^
^
^
−^
^
^
^
−^ <
≤^ ∆^ ≤^
−^ >
^
^
^
^
^
^
^
^
^
j^ j^
j^ j kj^
kj kj^
kj
z^ c^
z^ c
y^ c
y
y^
k^ y
′ c c ck
∆^ =^ −
Análisis de sensibilidad con LINDO
MIN -2 X1 + X2 - X3STX1 +^ X2 + X3 < 6- X1 + 2 X^
< 4 END
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE:
1)^ -12. VARIABLE^ VALUE
REDUCED COST X1^ 6.
X2^ 0.
X3^ 0.
ROW^ SLACK OR SURPLUS
DUAL PRICES 2)^ 0.
3)^ 10.
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE^ CURRENT
ALLOWABLE^
ALLOWABLE COEF^ INCREASE
DECREASE X1^ -2.
1.^
INFINITY X2^ 1.
INFINITY^
X3^ -1.
INFINITY^
RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT^ ALLOWABLE
ALLOWABLE RHS^ INCREASE
DECREASE 2 6.^
INFINITY^ 6. 3 4.^
INFINITY^ 10.
2.- Cambio en el vector de términos independientes Si el vector^ se cambia por
b^
b 1
1
−^ se convertirá en
→^ =^
b^ B^ b^
b^ B^ b
será reemplazado por
′^ ′
→^ =^
B^
B
z^ c b^
z^ c b
1
1
,^
no cambiarán
−^
−
→^ =^
−^ =^
j^ j^ j^
j^ B^ j^
j
y^ B^ a^ z
c^ c B^ a
c
1 1
1
El nuevo^ puede calcularse a partir de
l anterior:^
(^ )
−^ −^
−
′^
′^ ′^
=^ =^
+^ −
b^
b^ B^ b^ B^
b^ B^ b^ b
Si las primeras
columnas formaban origi
nalmente la base identidad:
m^ (^
)^
(^ )
1 1
1
m^ ( )
m j^
j j^
j
B^ b^ b^
y^ b^ b^
b^ b^ y^
b^ b
− =^
=
′^
′^ ′^
−^ =^
−^ →^ =
+^ −
∑^
∑
Como los^
no cambian, el único probl
ema puede ser que
−^
z^ c^ j^ j
b
1 - si 0 la base es óptima con nue
va solución
− ′ ′^
=^ ≥^ → b B^ b^
b
-^ si^0
utilizamos el algoritmo d
ual del simplex
para^ recuperar la posibilidad primal
′ ≥^ → b
13
Límites de variación de los términos
independientes:
j^ j^
′ b b bj
∆^ =^ −
Supongamos que las primeras
columnas fo
rmaban originalmente la identidad:
m 11 1 1
1 1
..^ ..^11
..^ ..^ ..^ ..
..^ ..
..^ ..
..^ .. .. ..^ ..^ ..^
..^ ..
..^ ..
..^ ..^
j^ m i ij^ im^
j i^ i
m^ mj^
mm m^ m
y^ y^
y
b^ b
y^ y^
y^ b
b^ b
y^ y^
y
′^ b b
^ ^ ^ ^
^
^
^ ^ ^ ^
^
^
^ ^ ^ ^
^
^
^ ^ ^ ^
^
=^ +′
^
^ ^ ^ ^
^
^
^ ^ ^ ^
^ ^
^ ^ ^ ^
^
′^
^
^ ^ ^ ^
^
i^ i^ j^
ij
b^ b^ b^
y^ i
m
′ =^ + ∆^
≥^ ∀ =^
b^ b^ y (^ ) i^ j^ ij
→^ ≥ ∆^
− i - si 0 :^ ij
b j^ ij
y^
b y
>^ ≤ ∆^ − i - si 0 :^ ij
b j^ ij
y^
b y
<^ ≥ ∆^ −
Por tanto,^ max
:^0
min
:^0
^
^
^
^
^
^
>^ ≤ ∆^
≤^
^
^
^
−^
^
^
^
^
^
^
i^
i ij^ j
ij ij^
ij
b^
b
y^ b
y
y^
y
Ejemplo de cálculo de límites 1 2 3 4
5 0 -3^15
-1^ -2^0
Base^ x^ x^ x^^0 3
x^ x^ RHS x x^
1.^ Variación de
(^ =^ ):
−^
∆ b y y bj
1 2
1 41 42
max^ ,^
=max^ ,^
=^61
b^ b^
b
^ ^ y^ y
^ ^ −
≤^ ∆^ ≤^
^
^
−^ −^
−^ −
^ ^2
5 2
2.^ Variación de
(^ ):
−^
=^ ∆ b y y^ bj 2
2 (^10) max = max (^52) (^101) b^
b ^ ^ ^ y
^ = −^ ≤^ ∆ ≤^ ∞ ^ ^
^ − −^ En el ejemplo anterior, con tabla óptima ^
:
3.- Cambio en la matriz de coeficientes A 1.- Cambio en las columnas no básicas Supongamos que la columna
no básica
se cambia por^
j^
j a^
a 1 la nueva columna
→^
= y B^ aj j 1 j^ j^ B^
j^ j^ B^ j^
j z^ c^ c B^ a^ c^ c y^
c − ′ ′^
→^ −^ =^
−^ =^ −
-^ si^
0 la solución anterior es óp
tima ′^ −^ ≤^ → z cj^ j - si 0 utilizamos el simplex (pri
mal) introduciendo^
en la base ′^ −^ >^ → j^ j
j z^ c
x
17
3.- Cambio en la matriz de coeficientes A \2 2.- Cambio en las columnas básicas Puede causar problemas graves: que B ya no sea base o
que se pierda la posibilidad prima
l y/o dual
Supongamos que las columnas básicas son:
1, 2,..,^ , y cambiamos
′ por j j
m^
a^ a
1
Calculamos^
− ′ ′(^ base actual)= j j
y^ B^ a^
B
Hay dos posibilidades:
(a)^0
las columnas de
ya no son^
una base:
′ =^ → y jj
B
- añadir variable artificial que ocupe
el lugar de^
en la base xj
- utilizar el método de las dos fases
(b)^0
pivotar sobre^
para recuperar la identidad,
′^
≠^ → jj
jj
y^
y
pero se puede perder la posibilitat prim
al y/o dual
19 1 2 3
4 5 0 -3^15
-1^ -2^0
Base^ x^ x^ x^^0 3
x^ x^ RHS x x^
Ejemplo de cambio en la matriz de coeficientes 1 2 3 1 2 3 4 1 2
5 (^2). 1 2 3 4 5
6 2
4 ,^ ,^ ,^ ,^
0 Min^ x^ x
x s a^ x^ x −^ +^ −^ x^ x^ +^ +^ +^ x^ x^ x x^ x^ x^ x^ x
= −^ +^
+^ = ≥^2
Caso 1:^ Supongamos que cambiamos
por^2
^ ^
^ ′
=^
^ ^
^
^ ^
^
a^
a (^1 0 212 )
^ − (^) y B a
^ ^ ^
′^ ′=^ =^
= ^ ^ ( ) 2 2 2
solución continúa siendo óptim
a
^ ^7 ′^ ′−^ =^ −^
=^ −^ −^
= −^ ≤^ →
z^ c^ c y^ c^ B
tabla óptima:→
(^5) − (^2) (^7)
1 2 3
4 5 0 -3^15
-1^ -2^0
Base^ x^ x^ x^^0 3
x^ x^ RHS x x^
Ejemplo de cambio en la matriz de coeficientes \2^1 2 31 2
2 4 1 2 5 1 2 3 4 5
.^
6 2
4 ,^ ,^ ,^ ,^
0 Min^ x^ x
x s a^ x^ x −^ +^ −^ x^ x^ +^ +^ +^ x^ x^ x x^ x^ x^ x^ x
= −^ +^
+^ = ≥
1
Caso 2 (a) :^ Supongamos que cambiamos
por^1
^ ^
^ ′
=^
^ ^
^
−^
^ ^
^
a^
a ( )
1 1 1
11 1
5 1 0 0
0 ,^
no son base
1 1 1
^ ^ −
^ ^
′^ ′^
′^ ′
=^ =^
=^ →^
=^ →
^ ^ ^
^ ^ ^
y^ B^ a^
y^ a
a 6
añadimos variable artificial
con columna
^ método de las dos fases = →^ ^0 ^ x^