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ALGEBRA (UGR)

EJERCICIOS ALGEBRA LINEAL (RESUELTOS) NUM

ENTEROS

JAVIER LOBILLO, FCO. 12-

DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

Grado en Ingeniería Informática

Curso 2010-

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS TEMA 2

1. Sean a y b dos números enteros primos relativos. Demuestra que a + b y a − b son primos relativos, o mcd(a + b, a − b) = 2.

Solución:

Como mcd(a, b) = 1, por el Teorema de Bezout, existen u, v ∈ Z tal que au + bv = 1. Consideremos ahora u′^ = u + v y v ′^ = u − v. Entonces

(a + b)u′^ + (a − b)v ′^ =(a + b)(u + v ) + (a − b)(u − v ) = =au + bv + au + bv = =

Luego mcd(a + b, a − b)| 2. Las opciones son por tanto mcd(a + b, a − b) = 1 o mcd(a + b, a − b) = 2.

2. Calcula todas las soluciones enteras del sistema de ecuaciones diofánticas: { x + y + z = 50 x + 13 y + 31 z = 116

¿Hay alguna solución tal que x, y , z ∈ N?

Solución:

Despejando de la primera ecuación tenemos que x = 50 − y − z. Sustituyendo ahora en la segunda, la ecuación diofántica que tenemos que resolver es 12 y + 30z = 66.

Como mcd(12, 30) = 6| 66 , la ecuación tiene solución. Dividiendo la ecuación entre 6 , la ecuación queda simplificada a 2 y + 5z = 11 dónde ahora el máximo común divisor de los coeficientes ( 2 y 5 ) es 1.

Calculemos ahora por el algoritmo de euclides extendido los coeficientes de Bezout de 2 y 5 :

2 5 2 1 0 0 2 2 1 0 1 - 0 1 0 1

obteniendo que 2 ×(−2)+5×(1) = 1. Multiplicando por 11 (el lado derecho de la ecuación), tenemos que 2 × (−22) + 5 × (11) = 11, teniendo así una solución particular: y 0 = − 22 , z 0 = 11. El conjunto total de soluciones será y = −22 + 5k, z = 11 − 2 k, para todo k ∈ Z.

Las soluciones del sistema de ecuaciones diofánticas será entonces x = 50 − y − z = 50 + 22 − 5 k − 11 + 2k = 61 − 3 k,y = −22 + 5k, z = 11 − 2 k, para todo k ∈ Z.